湖南省长沙市雅礼中学2026届高三上学期月考（五）数学试卷含解析（word版+pdf版）

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命题人：刘晖 审题人：张鎏 周芳芳 张博
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共6页.时量120分钟，满分150分.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则集合的真子集有（ ）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的元素个数计算真子集的个数并列出所有真子集.
【详解】集合，包含2个元素，
故真子集个数为.
故选：A.
2. 若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法求得，则，再判断即可．
【详解】，则，
，在复平面内所对应的点为，位于第二象限．
故选：B．
3. 已知圆台的上、下底面的面积分别为，，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆台的侧面积公式求出母线长，进而求出圆台高，再利用圆台的体积公式即可求解.
【详解】设圆台上、下底面圆的半径分别为，圆台上、下底面圆的面积分别为，圆台高为，母线长为，
因为圆台的上、下底面的面积分别为，，
所以，，解得，，
由题意得，圆台的侧面积为，所以，
作圆台的轴截面，如图：
所以圆台的高，
所以圆台的体积.
故选：C.
4. 已知平面向量,满足，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.
【详解】向量在方向上的投影向量为.
故选：B
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦函数二倍角公式，结合特殊角的正余弦函数值进行求解即可.
【详解】由，
因为，所以，
所以由，
因为，所以.
故选：A
6. 甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由甲第一局获胜并最终以获胜可知第1,4局甲胜，第2,3局甲胜了一场，由独立事件的乘法公式求解即可.
【详解】由甲第一局获胜并最终以获胜可知第1,4局甲胜，第2,3局甲胜了一场，
因为每局比赛甲获胜的概率为，所以甲输的概率为，
所以所求概率为，
故选：C.
7. 已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则双曲线两条渐近线的夹角大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线之间关系及离心率的定义可构造方程求得，由此可得渐近线斜率和倾斜角，根据两直线夹角的范围可确定最终结果.
【详解】椭圆的离心率，双曲线的离心率，
，，，
设双曲线渐近线的倾斜角为，则，即渐近线的倾斜角分别为和，
又两条直线夹角的范围为：，
双曲线两条渐近线的夹角大小为.
故选：B.
8. 已知是锐角三角形，，且，则的最大内接正方形的面积为（ ）
A. B. 1C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的面积公式可求解面积，进而根据等面积法可得，即可根据相似求解正方形的边长得解.
【详解】设，则，
则，
如图：的最大内接正方形为，过作于，交于，
设正方形的边长为，则，故，
由相似可得，即，故，则，
故，
因此正方形的面积为，
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列有关说法正确的有（ ）
A. 设随机变量ξ服从正态分布，若，则
B. 记两个变量的样本相关系数为r，若越接近0，线性相关程度越强
C. 已知随机变量，则
D. 数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性、相关系数的性质，结合二项分布的数学期望公式、数学期望性质、下四分位数的定义逐一判断即可.
【详解】A：因为随机变量ξ服从正态分布，且，
所以，因此本选项说法正确；
B：由样本相关系数的性质可知：越接近0，线性相关程度越弱，因此本选项说法不正确；
C：因为，所以，
所以，因此本选项说法正确；
D：数据1，3，9，4，5，16，7，11从小到大排列为：
1，3，4，5，7，9，11 ，16，
因为
所以这组数据的下四分位数为，因此本选项说法正确.
故选：ACD
10. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行
C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】以正方体顶点为原点建立空间直角坐标系，得到顶点坐标和中点坐标，然后由空间向量的数量求得异面直线与所成角的余弦值，判断A选项；写出点坐标，由空间向量的坐标关系判断直线与直线是否平行，判断B选项；由得到点的运动轨迹，然后求得圆弧的圆心角即可求得路径长，判断C选项；由空间向量投影求得圆心到直线的距离，即可求得圆心到过直线的平面的最大距离，从前求得切面圆的半径，然后得到面积，判断D选项.
【详解】如图，以正方体的顶点为坐标原点建立空间直角坐标系，
∴，，，，，，，
因分别为的中点，则，，则，，
对于A，设与所成的角为，则，故A正确；
对于B，，，则，，故不存在实数使得，故B错误；
对于C，∵，
∴点在侧面的运动轨迹为平面与球截面的圆弧，
球心到平面的距离为，∴圆弧的半径，
故在正方体侧面的运动轨迹圆弧，其长度为，故C错误；
对于D，易得该正方体的内切球的球心，半径，则向量，
∴球心到直线的距离，
∴球心到过直线的平面最大距离为，此时截面为面积最小的圆，
圆的半径，∴此时截面面积，故D正确.
故选：AD.
11. 已知 ，其中为常数，且对任意恒成立，则（ ）
A
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】①构造函数和式，利用三角函数线性组合的有界性；②利用绝对值不等式放缩，推导参数绝对值和的范围；③构造特殊角度的函数和，分析函数的最大值；运用以上性质逐步推导各选项的正确性；
【详解】，
，A正确；
，
，B不正确；
，
，C正确；
，
，
D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，结合对数运算即可求解.
【详解】由题意知，，．
故答案为：
13. 记等差数列的前项和为，若则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质结合前项和公式求解即可.
【详解】由题意得，所以.
故答案为：.
14. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程利用韦达定理求出，，利用平面向量数量积公式及数量积坐标表示分别求，得到，而，代入即可求出答案.
【详解】抛物线的焦点为，
易知直线斜率不为，设直线的方程为，
联立，则，
所以，，
所以，
因为，，所以，
又因为，所以，
所以，即，
.
故答案为：.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 的首项 且满足
（1）求证: 是等比数列；
（2）求数列 的前n项和
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由题可得，据此可完成证明；
（2）由（1）结合分组求和法可得答案.
【小问1详解】
因，则，
又，所以，
从而，则是以为首项，公比为4等比数列.
【小问2详解】
由（1）可得：.
则
16. 海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为.
（1）请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量；
（2）（i）完成上述残差表；
（ii）在统计学中，常用决定系数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01)
(附：残差，决定系数)
【答案】（1）吨.
（2）残差表见解析；，拟合效果较好.
【解析】
【分析】（1）先求出平均数，代入经验回归方程即可求出b，从而求解.
（2）（i）根据经验回归方程求解，从而可得；
（ii）根据公式求出决定系数，进而判断.
【小问1详解】
根据题中数据可知，，
将样本中心点的坐标代入经验回归方程得
，解得，
所以经验回归方程为.
当时，，
即当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量为吨.
【小问2详解】
（i）由经验回归方程可得
，；
，；
，；
，；
，.
所以残差表如下：
（ii）由上数据可知，
，
所以决定系数，与1比较接近，
所以拟合效果较好.
17. 如图，在四棱锥中， 为等边三角形，平面，且
，，， ，.
（1）证明: 平面；
（2）若四棱锥的各个顶点均在球的表面上，求球的表面积；
（3）点关于平面的对称点为，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）;
（3）.
【解析】
【分析】（1）延长，交于，再利用三角形全等证明线面垂直.
（2）利用空间向量求出球心坐标，可得球的表面积.
（3）利用空间向量求出点坐标，从而计算点到面的距离.
【小问1详解】
分别延长，交于，连接，如图.

因平面，即平面，而平面，
所以，.
因为，所以，则为等腰直角三角形，
所以.又因为为等边三角形，则，所以
，所以.而，，
所以平面，即平面.
【小问2详解】
由（1）可知，，两两垂直，则以为坐标原点，
分别以，，所在直线为，，轴，
建立空间直角坐标系，如图.

因为，则，而，则.
所以，，，，.
设球心，球半径为，
则有，，
，，
.
联立以上五个式子，解得，，
所以球的表面积为.
【小问3详解】
设平面的法向量，因为，，
则有，取，则得，因为，
则点到平面的距离为.
设点关于平面的对称点，则，
则点到平面的距离为，则有，
即.因为，则由对称性可得，
则得，代入中的，
解得（同点，故舍）或，则.
由题可取平面法向量为，因为，
则到平面的距离为.
18. 已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导得，再分和讨论即可；
（2）根据必要性探路得，再验证充分性成立即可.
【小问1详解】
由题可知函数的定义域为，
，
当时，，所以的单调递增区间是；
当时，令，解得（舍去），
所以时，时，时，，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是．
综上所述，时，的单调递增区间是，无单调减区间；
时，的单调递减区间是，单调递增区间是．
【小问2详解】
由题可知，可得，
只需证明当时，恒成立，
等价于，令，则，
设，对称轴，
故有．
令，
则，
所以在区间上单调递增，且，
所以，所以恒成立.
即，均有恒成立，
所以实数的取值范围为．
19. 已知椭圆 的长轴长为6，短轴长为4，O为坐标原点.
（1）求椭圆M的方程；
（2）求内接于椭圆M的菱形ABCD 的周长的最大值；
（3）在（2）中取得最大值条件下，设 且 ，点P 是椭圆M上第一象限的点，直线与直线交于点E，直线与直线交于点，求证: .
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据长轴和短轴定义得到方程组，解出即可；
（2）法1：设，再计算出，再设原点到的距离为，从而得到的表达式，最后根据对勾函数的性质得到的最大值，从而得到周长的最大值；法2：同法1得到，则计算得，再利用对勾函数单调性得到最值；法3：设直线的方程为，联立椭圆方程得到韦达定理式，根据得到，再计算的表达式，最后根据对勾函数的性质得到的最大值；法4：直线设的方程为，联立椭圆方程得到的表达式，再计算的表达式，最后根据对勾函数的性质得到的最大值.
（3） 法1：设，求出相关直线方程，从而得到点的坐标，最后证明即可；法2：设直线的方程为，联立椭圆方程求出点坐标，再求出直线的方程，最后得到点的坐标，证明出即可.
【小问1详解】
由题意可知，解得，所以椭圆的方程为．
【小问2详解】
法1：由对称性可知的中点为原点，且，
设，
则，
代入椭圆的方程得，
所以，
所以，
设原点到的距离为，
则，
所以，所以，
由对勾函数性质可知，当或时，，
所以菱形的周长的最大值为．

法2：由法1可知，
所以，
设，
由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，
且，
则，所以，
所以菱形的周长的最大值为，
法3：①当直线的斜率不存在时，不妨设，
计算得，菱形的周长为；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，整理得，
设，
则，且，
因为，所以，
所以
，
所以．
所以原点到直线的距离为，
设，则，
所以，所以，
由对勾函数性质可知，当或时，，
所以菱形的周长的最大值为．
法4：①直线的斜率不存在时，，菱形的周长为；
②直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，整理得，
所以，
同理可得，
因为，所以，
设，所以．
所以，
设，
则，当且仅当，即时等号成立，
又因为，，
则由对勾函数性质可知，所以，
综上，菱形的周长的最大值为．
【小问3详解】
法1：设，则，其中，
由题可知，易知直线的方程为，
直线的方程为，
直线的方程为，
直线的方程为，
联立，解得，
所以点为，
联立，解得，
所以点为，
所以
，
所以，所以.
法2：设直线的方程为，
联立，整理得，
因为，所以，
所以点，
所以直线的方程为，
令，所以，
所以点为，
由题易知直线的方程为，直线的方程为．
联立，解得，
所以点，
所以，
所以，所以．

海水浓度（‰）
3
4
5
6
7
亩产量 (吨)
0.62
0.58
0.49
04
0.31
残差





海水浓度（‰）
3
4
5
6
7
亩产量 (吨)
0.62
0.58
0.49
0.4
0.31
残差