湖南省长沙市雅礼中学2026届高三上学期1月月考（五）数学试卷（Word版附解析）

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命题人：刘晖 审题人：张鎏 周芳芳 张博
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共6页.时量120分钟，满分150分.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则集合的真子集有（ ）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
2. 若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知圆台的上、下底面的面积分别为，，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知平面向量,满足，，则向量在方向上投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则双曲线两条渐近线的夹角大小为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是锐角三角形，，且，则的最大内接正方形的面积为（ ）
A. B. 1C. D. 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列有关说法正确的有（ ）
A. 设随机变量ξ服从正态分布，若，则
B. 记两个变量的样本相关系数为r，若越接近0，线性相关程度越强
C. 已知随机变量，则
D. 数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5
10. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行
C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
D. 过直线平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为
11. 已知 ，其中为常数，且对任意恒成立，则（ ）
A
B.
C.
D.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则___________．
13. 记等差数列的前项和为，若则__________.
14. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若，则________.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 的首项 且满足
（1）求证: 是等比数列；
（2）求数列 的前n项和
16. 海水稻灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为.
（1）请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量；
（2）（i）完成上述残差表；
（ii）在统计学中，常用决定系数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01)
(附：残差，决定系数)
17. 如图，在四棱锥中， 等边三角形，平面，且
，，， ，.
（1）证明: 平面；
（2）若四棱锥的各个顶点均在球的表面上，求球的表面积；
（3）点关于平面的对称点为，求点到平面的距离.
18. 已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围.
19. 已知椭圆 的长轴长为6，短轴长为4，O为坐标原点.
（1）求椭圆M的方程；
（2）求内接于椭圆M的菱形ABCD 的周长的最大值；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，设 且 ，点P 是椭圆M上第一象限的点，直线与直线交于点E，直线与直线交于点，求证: .
海水浓度（‰）
3
4
5
6
7
亩产量 (吨)
0.62
0.58
0.49
0.4
0.31
残差