江苏省南京市金陵中学2025-2026学年高一上学期1月阶段性测试数学含解析（word版）

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一.选择题（共7小题）
1. 设全集，集合，，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二倍角公式可得集合间的关系.
【详解】因为，所以，即，
所以或.
于是集合.
故选：B
2. 已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用“”分段法，以及指数函数、对数函数的性质确定的大小关系.
【详解】因函数在上为增函数，则，
又因在上为减函数，则，
函数在上为减函数，则，
所以.
故选：A
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】 分析函数的单调性，并根据零点存在定理可确定函数的零点所在区间.
【详解】函数的定义域为.
因为函数是增函数，且在和上分别单调递增，
所以在和上分别单调递增.
当时，恒成立，所以无零点；
当时，，f1=1>0，所以函数的零点所在区间为.
故选：B.
4. 已知，且，则的最小值是（ ）
A. 49B. 51C. 53D. 55
【答案】A
【解析】
【分析】根据结合基本不等式求解即可.
【详解】因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故选：A.
5. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数图象并结合奇偶性的定义与函数值的正负逐个排除求解即可.
【详解】根据图象可知，是奇函数，
对于A，由题意得，
则是奇函数，符合题意，故A正确，
对于B，，
则是奇函数，令，则，
当时，在上单调递减，
则，与图象不符，故B错误，
对于C，由题意得，，
则，
可得不是奇函数，故C错误，
对于D，由题意得，
，
则
可得不是奇函数，故D错误.
故选：A.
6. 函数和的定义域均为，已知为偶函数，为奇函数，对于，均有，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可得出关于、的方程组，解出这两个函数值，即可得出的值.
【详解】函数和的定义域均为，函数为偶函数，则，
因为函数为奇函数，所以，可得，
因为，所以①，
，即，可得②，
联立①②可得，，故.
故选：B.
7. 已知正实数a，b，满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，则，再代入已知，可得关于的一元二次方程有正实数根，再根据求解即可.
【详解】令，则，
则，
由题意知关于的一元二次方程有正实数根，
因为，，
所以，解得，
即.
所以的取值范围是.
故选：D
8. 已知定义在上的单调函数满足.若对，使成立，则n的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】先根据函数的单调性求出的表达式,再分别求出在上的最大值
在上的最大值,最后根据已知条件求出的最小值.
【详解】设,t为常数,则.且在上单调，由已知可知,
即即,解得且在上单调递增.所以在上的最大值为.
在上的最大值.
∵对,，，…，,使得成立,只需
,即,即.
故选:B.
二.多选题（共4小题）
9. 下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A. 若，，则
B. 若且，则
C. 若，则x的值为1
D. 命题，的否定是：，
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用不等式的性质推理判断A；作差比较大小判断B；利用基本不等式，结合正弦函数的有界性判断C；利用存在量词命题的否定判断D.
【详解】对于A，由，得，又，则，，A正确；
对于B，由且，得，则，B错误；
对于C，当时，，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当时取等号，则，
而，，因此，即，C正确；
对于D，命题，的否定是：，，D正确.
故选：ACD
10. 已知函数，其部分图象如图所示，其中B为最高点，，，则（ ）
A. B. 若，则
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用三角函数的图像性质求，由此确定函数解析式并判断AC，解方程判断B，再结合函数的周期判断D.
【详解】由题意，过点作轴垂线，垂足为，
中，，
，，
解得，，的最大值为，故A错误；
根据，解得的周期，所以，
，结合，
即，，又属于函数的递减区间，
解得，所以，故C正确；
令，则或，
解得或，，所以，故B正确；
根据是周期为4的函数，可得是周期为12的周期函数，
所以，
结合，，，
，，，，
可得，故D错误.
故选：BC
11. 关于函数的说法正确的是（ ）
A. 是奇函数.
B. 对于任意，均存在使得.
C. 存在，使得方程的根为有限个.
D. 对于任意，直线与的图象有无穷多个交点.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据奇函数的定义即可判断A，根据函数的余弦函数的有界性即可求解B，根据与的图象有无数个交点，即可判断C，根据，利用余弦函数的周期性以及时，函数，即可求解D.
【详解】对于A, 的定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，A正确，
对于B，对任意的，存在，使得，此时,故B正确，
对于C，令，则，
由于函数与的图象有无数个交点，而因此有无数个实数根，故C错误，
对于D, 令，令，
当不同时为0时，当时，函数，且在连续，而函数为周期函数，因此两个函数图象有无数个交点，
当同时为0时，有无数个实数根，因此对于任意，直线与的图象有无穷多个交点，D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：根据，分别考虑函数以及的图象特征，即可根据图象交点情况求解.
三.填空题（共3小题）
12. 函数的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】设,求得的取值范围,再根据为递增函数可得其值域.
【详解】设，结合二次函数的性质可知t的取值范围是,
因为为递增函数,所以.
所以函数的值域为.
故答案为 .
【易错警示】形如 (,且)的函数的值域问题，要注意根据函数的值域以及底数a的取值范围确定.
【点睛】本题考查了复合函数的值域得解法,属于基础题.
复合函数的值域是通过分解为两个简单函数,利用两个简单函数的性质来做的.
13. 将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合， 则的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数的图象变换求出平移后所得函数的解析式，结合诱导公式可得出关于的表达式，即可解出正实数的最小值.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，
因为，
由题意可知，函数的图象与函数的图象重合，
所以，可得，
因为，故当时，取最小值.
故答案为：.
14. 已知实数x，y满足，，则_____________.
【答案】e
【解析】
【分析】变形给定等式并构造函数，借助函数单调性求解即得.
【详解】由，得，即，
由，得，即，
因此，是方程的解，而函数都是增函数，
则函数是增函数，于是，所以.
故答案为：
四.解答题（共5小题）
15. 已知命题：函数在区间上没有零点；命题，使得成立.
（1）若和均为真命题，求实数的取值范围；
（2）若和其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出当命题p为真时，根据对数函数的单调性列不等式解得或；再求出当命题q为真，利用有解问题结合二次函数的最值解得.即可求得命题p，q均为真命题时的取值范围；
（2）根据命题p，q一真一假分类列不等式组求解范围，最后求并集即可.
【小问1详解】
若为真命题，函数在区间上单调递增，
因为在区间上没有零点，
所以或者，得或，
若为真命题，令，其开口向上，对称轴为，
所以，
因为，使得成立，所以，
所以，
若和均为真命题，则，解得或，
即实数的取值范围为；
小问2详解】
若p真，q假，则，解得；
若p假，q真，则，解得；
综上，实数a的取值范围是.
16. 如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为．
（1）当时，求弧中点E到弦BC的距离，
（2）当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）设半径为，由弧长公式及周长得，利用垂径定理结合解直角三角形可得；
（2）根据扇形面积公式结合基本不等式可求得扇环面积最大值即可．
【小问1详解】
设内圆弧半径为，则，
所以，
所以，则，
设交于，
则由垂径定理得，，
当时，，所以，
所以，
即点E到弦BC的距离为．
【小问2详解】
由（1）得，
则，
，
当且仅当，即，取得最大值.
17. 已知函数在上有最小值，无最大值，且满足．
（1）求的最小正周期．
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且对满足的，有．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由已知得范围，由得时，函数取到最小值，从而求出，确定周期；（2）(i）由已知可得，求出值；（ii）由恒成立，得恒成立，求解可得实数的取值范围.
【小问1详解】
由在上有最小值，无最大值，
可知，故有．
又与在一个最小正周期内，且，
所以时，函数取到最小值，
所以．故有．
又因为，所以．
所以函数的最小正周期．
【小问2详解】
（ⅰ）由可知，中一个对应最大值，一个对应最小值．
对于函数其最大值与最小值对应的相邻的距离为半个最小正周期．
所以有（借助图象理解，如图）．
即．
（ⅱ）由以上可得，．
因为对任意的，都有成立，
所以当时，恒成立．
由可得，此时，
由可得，此时．
所以，解得．
即实数的取值范围为．
18. 已知定义在上的函数（且）.
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）若，函数，，求函数的值域；
（3）若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断并证明.
（2）求出值，判断的单调性，并求出时的范围，再变形并借助二次函数求出值域.
（3）化简函数并探讨其性质，进而脱去函数不等式中法则“h”转化为二次函数在闭区间上恒成立问题求解.
【小问1详解】
函数是上的奇函数，
证明：由，得，，
所以函数是上的奇函数.
【小问2详解】
由，得，即，而，解得，
函数，函数在上都是增函数，
因此是上的增函数，故当时，，
，
则当时，，当时，，
所以函数的值域是.
【小问3详解】
当时，函数在上都是增函数，
因此是上的增函数，而，
当时，；当时，，
因此，，故函数是上的偶函数，且在上单调递减，
不等式，
因此，则依题意对任意，恒成立，
则，即，解得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第3问，化简函数，并探讨其性质是求解问题的关键.
19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都存在n个不同的实数、、…、，使得（其中，），则称为的“n重覆盖函数”.如是的“4重覆盖函数”.
（1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；
（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
（3）若为的“9重覆盖函数”，求的最大值.
【答案】（1）不是；理由见解析
（2）；
（3）
【解析】
分析】（1）取，此时只有唯一实数使得，进而判断；
（2）先求得函数的值域为，进而将问题转化为函数图像与有两个交点问题，再结合函数进一步转化为当时，函数与有且只有一个交点问题，再结合二次函数的性质分类讨论求解即可；
（3）由题知对于，都存在9个不同的实数使得，进一步转化为与在有9个交点，再结合三角函数的性质得，再根据求解的范围即可得答案.
【小问1详解】
解：不是的“2重覆盖函数”，理由如下：
当时，，
此时对于，有且只有一个实数是得，
所以，不满足对于任意的，存在个不同的实数，使得，
所以不是的“2重覆盖函数”
【小问2详解】
解：函数的定义域为，即，
因为，
所以，
所以，函数的值域为，
函数的定义域为，
因为为的“2重覆盖函数”，
所以函数图像与有两个交点，
因为，当时，，与有一个交点，
所以，当时，函数与有且只有一个交点，
下面讨论当时，函数情况
当时，与有且只有一个交点，满足题意，
当时，函数开口向下，对称轴为，此时，，故满足函数与有且只有一个交点，
当时，函数开口向上，对称轴为，
当，即时，函数对称轴在，由于，故函数与有且只有一个交点不恒成立，不满足题意；
当，即时，要使函数与有且只有一个交点只需，解得，故.
综上，实数的取值范围
【小问3详解】
解：由题知，的值域为，
因为为的“9重覆盖函数”，
所以，对于，都存在9个不同的实数使得，
所以，函数有9个实数根，
所以，与在有9个交点，
因为函数的最小正周期为，当时，，
作出函数与的图像，如图，
所以，与在有9个交点需满足，解得，
所以，，
所以，解得，
所以，的最大值为
【点睛】本题是函数新定义问题，主要二次函数，对数函数，三角函数的图像及性质，考查了逻辑推理能力，运算求解能力，数形结合思想等.第二问解题的关键在于将问题转化为时，函数与有且只有一个交点问题求解，再结合二次函数的性质求解；第三问解题的关键在于转化为，与在有9个交点问题，再结合三角函数的性质作图求.