湖南省岳阳市岳阳县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

这是一份湖南省岳阳市岳阳县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题，共25页。试卷主要包含了 设i- ，， 已知直线l等内容，欢迎下载使用。

已知空间向量a=(1,-2,1),5=(-1,0,-1) ，则向量i 在向量i 上的投影向量是 ()
B. C. D.
已知圆ci ：x2+y-2x+my+l=0(meR) 关于直线x+2y+1=I 对称， 圆c: ：
, 则圆ci 与圆c: 的位置关系是 ()
A. 内含B. 相交C. 外切D. 外离
已知椭圆的右焦点为F(3,0) ，过点F 的直线交椭圆于 ，B两点，若AB 的中点坐标为(1,-1) ，则E 的方程为 ()
B.
C. D.
如图所示，三棱柱ABC-AB G 中，若E 、F 分别为AB ，AC 靠近点 的三等分点，平面EBGF将三棱柱分成左右两部分体积为和V: ，那么 ()
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1. 设i-(1,-2.4) ，
，若i ,15
，则 k=
()
A. 4
B.
C. 17
D.
-17
2. 已知直线l: ax+y-l=0，
A 1B. 2
，则 a=
C. 1 或 2
(
)
D. -l或 2
A. 7:5B. 14:13C. 5:7D. 13:14
设圆锥曲线两个焦点分别为F,凡，若曲线上存在点p满足=4:3:2 ，则曲线的离心率等于
或 B. 或2C. 或 2D. 或
已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆上第—象限的—点， 的重心和内心分别为 M，N， 且 轴.又点Q(m, n)是该椭圆上任—点，则的最大值为 ()
A. 2B. C. D. 1
二、多选题（ 每题 5 分，共 15 分）
已知随机事件 、 发生概率分别为 ， ，则下列说法正确的是 ()
若 与 互斥，则
若 与 相互独立，则
若 ，则事件i与B相互独立
若 ，则
已知抛物线c: y2=2px(p>0) 的焦点为F ，准线为l: x=-1 ， d ，B为抛物线上两点， M(2,1) 为线段AB 的中点， 为坐标原点，则下列结论正确的有 ()
p = 2
OA 上 OB
若点P为抛物线上—点，则Lpf 周长的最小值为
已知椭圆C: ， F,凡是其左右焦点， P(X, Y) 是椭圆 C 上任意—点，则下列说法正确的是 ()
的最大值是4
的最大值是4
取最小值时，点 的坐标为
若p(x, y) 也在抛物线 y=2px lp>0) 上，则 到点的最小距离为
三、填空题（ 共 15 分）
椭圆 的焦距为．
已知点 ， r. 为椭圆左、右焦点，点 P 为该椭圆上—点， 且满足
, 若SPFE的外接圆面积是其内切圆面积的 9 倍，则该椭圆的离心率为
在平面上给定相异两点 A ，B ，设 P 点在同—平面上且满足， 当 且 时，P 点的轨迹是—个圆， 这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现， 故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线
（a>(l ， b>0），A ，B 为双曲线的左、右顶点， C，D 为双曲线的虚轴端点， 动点 P 满足
, ara8 面积的最大值为， src 面积的最小值为4 ，则双曲线的离心率为.
四、解答题（ 共 80 分）
如图， 在空间四边形0ABC 中， D 为BC 的中点， 点E 满足 ， 设 ， :i ，
.
试用向量 ， i ， i 表示向量 ；
若0A= 0B=0C =2 ， LAO C =LB OC = LAO =(' ， 求 的值．
已知椭圆 C 的方程为 （ ）上顶点为A(0,2) ， 离心率为 .
求椭圆 C 的方程；
若斜率为2 的直线 l 经过椭圆 C 的左焦点， 且与椭圆 C 相交于 M，N 两点， 求MN 的长.
已知椭圆 的离心率为，且过点 ，其左、右顶点分别为A,B ， P,Q
为椭圆C 上异于A,B 的两点．
求椭圆 的方程．
设直线AP, B! 的斜率分别为 ， 且直线r 过定点 ．
①设 和 的面积分别为5,5, ， 求 的最大值；
②证明为定值， 并求出该定值．
甲、乙两人组成“监利—中队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜—个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ， 乙每轮猜对的概率为 ． 在每轮活动中， 甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
求“监利—中队”在两轮活动中猜对3 个成语的概率．
若某人在两轮活动中至少猜对 1 个成语，则该人可获得“优秀队员”称号， 求“监利—中队” 的甲、乙两人中恰有—人获得此称号的概率．
已知 的两个顶点Ff-5,0) ， r:5,0) ，点 G 为 的重心，边2F,2r: 上的两条中线的长度之和为 6 ，记点 G 的轨迹为曲线 E．
求曲线 E 方程；
若点 P 是曲线 E 上的任意—点， A(-2,0) ， B(2,0) ， ， ， 直线 PC，PD 与 x
轴分别交于点 M，N．
①求的最大值；
②判断是否为定值． 若为定值， 求出该定值；若不为定值， 求出它的最大值．
2025 年 12 月高二数学月考试题
— 、单选题（ 每题 5 分， 共 40 分）
【答案】B
【解析】
【分析】 根据空间向量平行的性质进行求解即可.
【详解】 因为 ，所以 - s，故选：B
2. 已知直线l: a+y-l=0， ，则 a= ()
A. 1B. 2C. 1 或 D. -l或 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据两条直线平行的条件， 列出a 满足的方程以及不等式， 即可求得答案.
【解析】
【分析】 根据空间向量坐标运算求出数量积及模长， 再结合投影向量公式计算即可.
【详解】 由已知可得，
所以向量 在向量 上的投影向量是 .
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1. 设i=(1,-2,4)
， b=(2, k,8) ，若
，则 k= (
)
A. 4
B.
C. 17
D.
-17
【详解】 由题意可知直线l: ax+y-l=0，
，
故ax(-a)-(a-2)xl=0且axl-(a-2)x(-1)⃞0 ，
解得a=-2 ，故选：B
3. 已知空间向量a=(l,-2,1), b=(-1,0,-1) ，则向量i 在向量i 上的投影向量
是 ()
A. B. C.
D.
【答案】D
故选：D.
已知圆ci ：x'+y-2x+my+l=0(meR) 关于直线x+2y+1=I 对称， 圆 ：
, 则圆ci 与圆c: 的位置关系是 ()
A. 内含B. 相交C. 外切D. 外离
【答案】B
【解析】
【分析】 先根据对称求出 值，然后求出圆心距， 进而得出两圆位置关系.
【详解】 因为圆c:+y2-2x+my+l=0 ，即关于直线 ，说明该直线过圆心 ，则有 ，
解得=2 ，所以圆ci 的圆心坐标为c(l,-1) ， 半径为 1，
圆c的圆心坐标为c(2,3) ， 半径为4， 而 .
所以两圆的位置关系是相交.故选：B.
已知椭圆的右焦点为F(3,0) ，过点F 的直线交椭圆于 ，B两点，若 的中点坐标为(1,-1) ，则E 的方程为 ()
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】 运用点差法联立方程组， 求出a,b 的值， 即得椭圆方程.
【详解】设 ，代入椭圆方程可得：，
两式作差可得： (*) ，
又AB 的中点坐标为M(l,-1) ，所以， ，由(*)式可得 ，
又直线AB 的斜率即直线FM 的斜率， ，
所以 ， 而 ，
联立解得 ， b'=9 ， 故椭圆的方程为： .
故选：A．
如图所示，三棱柱ABC-ABC 中，若E 、F 分别为AB ，AC 靠近点 的三等分点，平面EBGF将三棱柱分成左右两部分体积为和V: ，那么 ()
A. 7:5B. 14: l3C. 5:7D. 13:14
【答案】D
【解析】
【分析】利用棱台体积公式求解体积即可得到体积比.
【详解】设三棱柱的高为h ，底面的面积为 ，体积为v ，则 ，因为 、F分别为AB ， AC 靠近点S 的三等分点，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
设圆锥曲线 的两个焦点分别为 ，若曲线 上存在点p满足=4:3:2 ，则曲线的离心率等于
或 B. 或C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，讨论两种情况，分别利用椭圆与双曲线的定义求出a,c 的值，再利用离心率公式可得结果.
【详解】 因为 =4:3:2 ，所以可设 ，
若曲线为椭圆则 ，则 ；
若曲线为双曲线则， ，: ， 故选 .
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率以及双曲线的定义及离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是—个重点也是难点， —般求离心率有以下几种情况：①直接求出a,c ，从而求出 ;②构造 a,c 的齐次式， 求出 ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统—定义求解．
已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为r. ， ，p是椭圆上第—象限的—点， 的重心和内心分别为 M，N， 且MN上X 轴.又点Q(m, n)是该椭圆上任—点，则的最大值为 ()
A 2B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】 设apFE的内切圆N(S, t) 与PF, PF, FE分别切于点A,B,D ，利用切线长定理可得
, 结合椭圆的的定义可得 ， 进而求得 ， 结合已知可得
, 可求得 ， 进而求得椭圆的方程，利用三角代换可求得的最大值.
【详解】 设的内切圆N(S, t) 与PF, PF, FE分别切于点A,B,D ， 如图所示：
则 ．
又因为 ，联立 ， 可得 ，又因为
,
所以 ，所以 ，
因为的重心是三边中线的交点，所以在 上，
由重心性质可得 ， 因为MN上X ，所以 ，解得，所以 ，所以椭圆的方程为 ，
因为Q(m, n) 在椭圆 上，所以 ，
所以， 其中，
当sin(8+p)=1 ， 取最大值， 最大值为 .
故选：B.
C. 若 ，则事件i与B相互独立
D. 若 8ca ，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用互斥事件的概率公式可判断 A 选项；利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断
B 选项；利用独立事件的概念可判断 C 选项； 由交事件的定义可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，若 与互斥，则 ，A 对；对于 B 选项，若 与 相互独立，则 ，
所以， ，B 对；
对于 C 选项，若， 且 ，
所以，事件 与 相互独立，C 对；
对于 D 选项，若 8C1 ，则AB=A「B=B ，所以， ，D 错.故选：ABC.
已知抛物线c: y2=2px(p>0) 的焦点为F ，准线为l: x=-1 ， A ，B为抛物线上两点， M(2,1) 为线段AB 的中点， 为坐标原点，则下列结论正确的有 ()
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【点睛】关键点点睛：关键在于得到
，从而求得
， 进而求得 .
二、多选题（ 每题 5 分，共 15 分）
9. 已知随机事件 、 发生的概率分别为
，
，则下列说法正确的是 ()
A. 若 与 互斥，则
B. 若 与 相互独立，则
p = 2
ky =2
OA 上 0B
若点 为抛物线上—点，则 周长的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先根据准线方程求得抛物线的标准方程，设出点 A，B 的坐标，结合中点坐标公式及抛物线的定义即可逐—判断.
【详解】对于 A， 因为抛物线的准线方程为r--I ， 即 ，解得P=2 ， 故 A 正确；
对于 B ，所以抛物线C: Y2=4X ，所以焦点为F(1,0) ，设 ，因为M(2,1) 为线段AB 的中点，
所以， 即,
所以， 故 B 正确；
对于 C， 因为 ，
所以 ， 故 C 错误；
对于 D， 如图， 过点P,M 分别作准线的垂线， 垂足分别为 ，
由F,M 的坐标可知 ，
所以 的周长为 ，
当且仅当 P 为 与抛物线的交点时， 等号成立，所以 周长的最小值为 ，D 正确.故选：ABD.
已知椭圆C: ， 是其左右焦点， P(X, Y) 是椭圆 C 上任意—点，则下列说法正确的是 ()
的最大值是4
的最大值是4
取最小值时，点 的坐标为
若 p(x,) 也在抛物线 y=2px lp>0) 上，则p(x, 到点的最小距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆及抛物线的定义， 再结合基本不等式及柯西不等式可得.
【详解】 由，得a'=4, h'=$, c'=1 ， 即 .如图：
对于 A： 由椭圆的定义得， 当且仅当时等号
成立，所以 A 正确；
对于 B： 因为丽=(-1-x,-y),网=(1-x,-y) ，所以 ，
又因为 ，所以 ， 又因为xe[-2,2], x2≤4 ，所以 ， 当且仅当 时等号成立.所以 B 错误；
对于C： 由 ，所以 ， 即，
当且仅当， 即 代入 ，解得或，所以当 时， 有最小值， 故 C 正确；
对于 D： 因为PIX, y) 点在抛物线 y=2px l(p>0) 上，抛物线的焦点为，
根据抛物线的定义， P(x, y) 到点的距离等于 P 点到准线的距离 .
因为 ，所以 ，得，
所以p(x, y) 到点的距离 ，
当且仅当 ， 即 （ 负值舍去） 时等号成立.故 D 正确.
三、填空题（ 共 15 分）
椭圆 的焦距为．
【答案】
【解析】
【分析】 由椭圆方程确定长半轴的平方a3 ， 短半轴的平方 ，根据椭圆中a 、b 、 的关系 求出半焦距的平方c' ，从而得到半焦距 ， 由椭圆的焦距为2c计算焦距.
【详解】 由椭圆方程 可知，椭圆的焦点在y 轴上 因为25>9，其中长半轴的平方a' =25 ， 短半轴的平方b' =9 .
根据椭圆中a 、b 、 的关系 ，计算得： ，故c=4(c>0) .椭圆的焦距为2c， 因此焦距为2x4=8 .
故答案为：.
已知点 ， r. 为椭圆 的左、右焦点，点 P 为该椭圆上—点， 且满足
, 若SPFE的外接圆面积是其内切圆面积的 9 倍，则该椭圆的离心率为
【答案】 ##us
【解析】
【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得 ，再根据正弦定理可知外接圆半径
, 由等面积法可知内切圆半径 ， 再根据面积比即可计算出离心率 .
详解】 根据题意画出图象如下图所示：
利用椭圆定义可知 ， 且F月=2c ；又LF, PF: =60" ，利用余弦定理可知：
,
化简可得；
所以的面积为 ；
离心率 .
故答案为： .
在平面上给定相异两点 A ，B ，设 P 点在同—平面上且满足， 当ra 且… 时，P 点的轨迹是—个圆， 这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现， 故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线
( , b>0），A ，B 为双曲线的左、右顶点， C，D 为双曲线的虚轴端点， 动点 P 满足
, 达PAB 面积的最大值为， APCD 面积的最小值为4 ，则双曲线的离心率为.
【答案】
设SPFB的外接圆半径为R ， 内切圆半径为r ；
由正弦定理可得 ， 可得
易知SPFR的周长为 ，
利用等面积法可知 ，解得
；
；
又 的外接圆面积是其内切圆面积的 9 倍， 即 ，
所以， 即可得，所以
；
【解析】
【分析】根据A,B 为双曲线的左、右顶点可设A=(-a,0) , B(a,0) , P(X,) , 由两点间距离公式并化简可得动点P的轨迹方程. 由 A,B为双曲线的左、右顶点可知当P位于圆的最高点时APAB 的面积最大,根据面积最大值求得a . 当P位于圆的最左端时APCD 的面积最小,结合最小面积可求得 ,即可求得双曲线的离心率.
【详解】设A=(-a,0) , B(a,0) , P(x,) ,
依题意,得 ,
即
两边平方化简得 ,则圆心为 ,半径 ,当P位于圆的最高点时达PAB 的面积最大,最大面积为,解得a =4 ；
当P位于圆的最左端时APCD 的面积最小,最小面积为 ,
解得b=3 ,
故双曲线的离心率为 .
故答案为:
【点睛】 本题考查了两点间距离公式的应用,轨迹方程的求法,圆与双曲线的综合应用,双曲线离心率的求法,
属于中档题.
四、解答题（ 共 80 分）
如图， 在空间四边形0ABC 中， D 为BC 的中点， 点E 满足 ， 设 ， :i ，
.
（1） 试用向量 ， i ， i 表示向量 ；
（2）若0A =0B=0C =2 ， LAO C =LB OC = LAO =(' ， 求 的值．
【答案】（1）
.
已知椭圆 C 的方程为 （ ）上顶点为A(0,2) ， 离心率为 .
求椭圆 C 的方程；
若斜率为2 的直线 l 经过椭圆 C 的左焦点， 且与椭圆 C 相交于 M，N 两点， 求MN 的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1） 由题意得到
，再由
即可求解；
（2） 由
， 结合空间向量数量积的运算性质即可求解.
【小问 1 详解】
因为点D为 BC 的中点，
所以
，
因为 ，所以
，
所以
【小问 2 详解】
由题意得 ，
故
（2）
【解析】
【分析】（1） 由题求出a,b,c ， 求出椭圆方程；
（2）利用弦长公式求解.
【小问 1 详解】
由题意， h= 2 且， a'=h'+c' ，得c-tu-15，因此椭圆C方程为 .
【小问 2 详解】
设椭圆左焦点为F(-1,0) ， 直线 的方程为y=2x+2 ， M(x, y) ， N(x:,2) ，
联立直线方程与椭圆方程，可得 ，解得： ， ,.
所以
已知椭圆 的离心率为，且过点 ，其左、右顶点分别为A,B ， P,Q
为椭圆C 上异于A,B 的两点．
求椭圆 的方程．
设直线AP, B! 的斜率分别为 ， 且直线r 过定点．
①设 和 的面积分别为5,5, ， 求 的最大值；
②证明为定值， 并求出该定值．
【答案】（1）
（2）① ; ②证明见解析，
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程；
（2）①设直线 的方程为： 并与椭圆 C 联立方程组，解得
, 分别表示面积 ， 可得， 再用换元法，
令 ，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解.
②由①知可得表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证.
【小问 1 详解】
依题意知：，解得 ，
所以椭圆 C 的方程为：
【小问 2 详解】
①依题意由（ 1） 知A(-2,0), B(2,0) ， 直线ve 的斜率不为0．
设其方程为： ， 并与椭圆 C 联立方程组：
, 得 ，
则 ，
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, 同理：,
所以.
令 , 则,
所以,
因为t之5 ，则 ,
所以 , 结合函数单调性定义知， y 在te[5,+) 时单调递增．所以, 则
所以 的最大值是
②证明： 由①知所以
.
甲、乙两人组成“监利—中队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜—个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ， 乙每轮猜对的概率为 ． 在每轮活动中， 甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
求“监利—中队”在两轮活动中猜对3 个成语的概率．
第 16页/共 20页
若某人在两轮活动中至少猜对 1 个成语，则该人可获得“优秀队员”称号·, 求“监利—中队” 的甲、乙两人中恰有—人获得此称号的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1） 由独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算可得；
（2）利用 计算可得.
【小问 1 详解】
设 A,表示甲两轮猜对 个成语的事件， B, 表示乙两轮猜对 个成语的事件． i=0,1,2 ，根据独立事件的性质， 可得
,,
设 A=“两轮活动‘监利—中队’猜对 3 个成语”，
则 A=ABU AB ， 且A,B: 与A;B, 互斥， 又甲乙的作答相互独立，
所以P(A)=PIA,B)+PAB)=P(A)P(B)+PIA)P(B) ，
因此，“监利—中队”在两轮活动中猜对3 个成语的概率是．
【小问 2 详解】
C= “`监利—中队’的甲、乙两人中恰有—人获得此称号”
,
所以“监利—中队” 的甲、乙两人中恰有—人获得此称号的概率 .
已知 的两个顶点Ff-5,0) ， r:5,0) ，点 G 为 的重心，边2F,2r: 上的两条中线的长度之和为 6 ，记点 G 的轨迹为曲线 E．
求曲线 E 的方程；
若点 P 是曲线 E 上的任意—点， Af-2,0) ， B(2,0) ， cl2, V8) ， ， 直线 PC，PD 与 x
轴分别交于点 M，N．
①求的最大值；
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②判断 是否为定值． 若为定值， 求出该定值；若不为定值， 求出它的最大值．
【答案】（1）
（2）①最大值为 ；②定值 16
【解析】
【分析】（1） 由重心得到 ，从而得到点 的轨迹为以 ，的焦点的椭圆（ 除去两个与 轴的两个交点），从而得到椭圆方程；
（2）①设p(m, n) ， ne[-1,0)w(0,] ，则 ，确定直线 PC 方程，得到点 M 的坐标， 同理得到 N 点坐标，表达出 ，从而求出的最大值；
②表达出 ， 结合 ，得到答案.
【小问 1 详解】
由题意得 ， 且 ，
故，
故点G 的轨迹为以 ， 的焦点的椭圆（ 除去两个与x 轴的两个交点），其中2a=4,2c=2J F ，解得a=2, c=JF，
故 ，
故曲线 E 的方程为 ；
【小问 2 详解】
①设p(m, n) ， ne-1,0)v(0, I] ，则，
则直线 PC 方程为 ，
令y=0 得，
直线 PD 方程为 ，
令y=0 得 ，
则 ，
因为ne-1,0)v(0, I] ，所以，故当n=l 时， ，
② 为定值，理由如下：
因为 ，所以 ，
故.
【点睛】 方法点睛： 圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．