2022-2023学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）5的算术平方根是（ ）
A．±5B．25C．D．
2．（2分）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，现发现约有400多种证明方法．下面四个图形是证明勾股定理的图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2分）使得分式值为零的m的值是（ ）
A．m＝0B．m＝2C．m≠﹣3D．m≠3
4．（2分）用直角三角板作△ABC的高，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，则底边上的高为（ ）
A．12B．C．D．18
6．（2分）如图，数轴上M，N，P，Q四点中，与对应的点距离最近的是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
7．（2分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2分）如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动．C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．如图2，若∠BDE＝84°，则∠CDE的度数是（ ）
A．65°B．68°C．66°D．70°
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）要使式子有意义，则x可取的一个数是 ．
10．（2分）下面是大山同学计算的过程：
（1）运算步骤[2]为通分，其依据是 ；
（2）运算结果的分子m应是代数式 ．
11．（2分）如果等腰三角形的一个内角为80°，那么其它两个角的度数为 ．
12．（2分）若|x﹣5|+＝0，则x+y＝ ．
13．（2分）依据下列给出的事件，请将其对应的序号填写在横线上．
①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品；
②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻；
③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等；
④小明打开电视，正在播放广告；
必然事件 ；不可能事件 ；随机事件 ．
14．（2分）下面是代号分别为A，B，C，D的转盘，它们分别被分成2个、4个、6个、8个面积相等的扇形．
（1）用力转动转盘 （填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等；
（2）用力转动转盘 （填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性大小是．
15．（2分）如图，在△ABC中，AB⊥AC，∠C＝55°，点E为BA延长线上一点，点F为BC边上一点，若∠E＝30°，则∠CFE的度数为 ．
16．（2分）如图，△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于E，若AB＝6，BC＝9，则DE的长为 ．
三、解答题（本题共68分，第17-21题每题5分，第22-27题每题6分，第28题7分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）计算：．
19．（5分）解方程：．
20．（5分）已知x＝3y，求代数式的值．
21．（5分）已知：△ABC．
求作：点P，使得点P在AC上，且PA＝PB．
作法：
①分别以A，B为圆心，大于AB的同样长为半径作弧，两弧分别交于M，N；
②作直线MN，与AC交于P点．
点P为所求作的点．
根据上述作图过程
（1）请利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AM，BM，AN，BN．
∵AM＝ ，AN＝BN，
∴M，N在线段AB的垂直平分线上．
即MN是线段AB的垂直平分线．
∵点P在直线MN上，
∴PA＝PB（ ）（填写推理的依据）．
22．（6分）已知：如图，点B是线段AC上一点，AD∥BE，AB＝BE，∠D＝∠C．求证：BD＝EC．
23．（6分）如图，将线段CD放在单位长为1的小正方形网格内，点A，B均落在格点上．
（1）按下列要求画图（保留必要的画图痕迹，不必写画法）：
①请在线段CD上画出点P，使得PA+PB的和最小；
②请在线段CD上画出点Q，使得QA+QB的和最小；
（2）请观察、测量或计算按（1）中要求所画的图形．
①PA+PB的和最小的依据是 ；
②QA+QB＝ （直接写出答案）．
24．（6分）学校为了丰富学生体育活动，计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每个篮球的价格比每个的排球价格多4元，已知学校用2000元购买篮球的个数与用1800元购买排球的个数相等．求每个篮球、每个排球的价格．
25．（6分）若关于x的分式方程的解为正数，求正整数a的值．
26．（6分）已知：如图，A，B，D三点在同一直线上，△ABC和△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）求证：BE＝AD，BE⊥AD；
（2）已知BD＝2AB，CE＝，求AB的长．
27．（6分）将分式的分母因式分解后，可以把一个分式表示成两个分式的和或差．观察下列各式，解答下面问题：
…
（1）；
（2）计算：．
28．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点B关于AC边的对称点为D，连接CD，过点A作AE∥CD且AE＝CD，连接CE，DE．
（1）依题意补全图形；
（2）判断AB和DE的数量关系并证明；
（3）平面内有一点M，使得DM＝DC，EM＝EB，求∠CDM的度数．
2022-2023学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）5的算术平方根是（ ）
A．±5B．25C．D．
【分析】根据算术平方根的含义和求法，可得：数5的算术平方根为，据此解答即可．
【解答】解：数5的算术平方根为．
故选：D．
【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
2．（2分）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，现发现约有400多种证明方法．下面四个图形是证明勾股定理的图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的证明方法和中心对称图形与轴对称图形的概念，正确记忆中心对称图形与轴对称图形的概念是解题关键．
3．（2分）使得分式值为零的m的值是（ ）
A．m＝0B．m＝2C．m≠﹣3D．m≠3
【分析】根据分式的值为0的条件求出m的值即可．
【解答】解：∵分式值为零，
∴m＝0且m+3≠0，
∴m＝0．
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
4．（2分）用直角三角板作△ABC的高，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：A、B、D均不是高线．
故选：C．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
5．（2分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，则底边上的高为（ ）
A．12B．C．D．18
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质得出BD＝CD＝，再根据勾股定理求出AD的长即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，
∴BD＝CD＝，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝2，
即底边上的高为2，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．（2分）如图，数轴上M，N，P，Q四点中，与对应的点距离最近的是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【分析】先估算出2﹣的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴﹣2＞﹣＞﹣3，
∴﹣1＜2﹣＜0，
∴点N距离此点最近．
故选：B．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
7．（2分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用分式的加减法，分式的乘除法对各项进行运算即可．
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、
＝
＝，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、
＝
＝，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．（2分）如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动．C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．如图2，若∠BDE＝84°，则∠CDE的度数是（ ）
A．65°B．68°C．66°D．70°
【分析】由等腰三角形的性质可得∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角的性质可求∠COD的度数，即可求解．
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠CDO+∠COD＝2∠COD，
∴∠DEC＝2∠COD，
∵∠COD+∠DEC＝∠BDE，
∴3∠COD＝84°，
∴∠COD＝28°，
∴∠DEC＝∠DCE＝56°，
∴∠CDE＝68°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，外角的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）要使式子有意义，则x可取的一个数是 4（答案不唯一） ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出2x﹣3≥0，再求出不等式的解集，最后求出答案即可．
【解答】解：要使式子有意义，必须2x﹣3≥0，
解得：x≥，
所以x可取的一个数是4，
故答案为：4（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，注意：式子中a≥0．
10．（2分）下面是大山同学计算的过程：
（1）运算步骤[2]为通分，其依据是 分式的基本性质 ；
（2）运算结果的分子m应是代数式 3x ．
【分析】（1）根据通分是运用分式的基本性质进行求解；
（2）通过分子去括号、合并同类项进行计算求解．
【解答】解：（1）分式的通分是运用分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；
（2）通过运算得，
＝
＝，
故答案为：3x．
【点评】此题考查了分式加减运算的能力，关键是能准确理解运算的知识依据，并能进行正确地计算．
11．（2分）如果等腰三角形的一个内角为80°，那么其它两个角的度数为 80°或20° ．
【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．
故答案为：80°或20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
12．（2分）若|x﹣5|+＝0，则x+y＝ 2 ．
【分析】根据非负数的性质，可得x﹣5＝0，y+3＝0，即可解答．
【解答】解：∵|x﹣5|+＝0，
∴x﹣5＝0，y+3＝0，
解得：x＝5，y＝﹣3，
x+y＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了非负数的性质，解决本题的关键是熟记非负数的性质．
13．（2分）依据下列给出的事件，请将其对应的序号填写在横线上．
①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品；
②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻；
③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等；
④小明打开电视，正在播放广告；
必然事件 ① ；不可能事件 ③ ；随机事件 ②④ ．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品，是必然事件；
②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻，是随机事件；
③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等，是不可能事件；
④小明打开电视，正在播放广告，是随机事件；
则必然事件是①；可能是近是③；随机事件是②④，
故答案为：①；③；②④．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
14．（2分）下面是代号分别为A，B，C，D的转盘，它们分别被分成2个、4个、6个、8个面积相等的扇形．
（1）用力转动转盘 A （填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等；
（2）用力转动转盘 C （填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性大小是．
【分析】（1）指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等，可得阴影区域的面积等于白色区域的面积；
（2）指针落在阴影区域的可能性＝×转盘的面积，可得阴影区域的面积所占大小．
【解答】解：（1）用力转动转盘A（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等．
故答案为：A；
（2）6×＝2．
故用力转动转盘C（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性大小是．
故答案为：C．
【点评】此题考查了几何概率，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是熟练掌握几何概率公式．
15．（2分）如图，在△ABC中，AB⊥AC，∠C＝55°，点E为BA延长线上一点，点F为BC边上一点，若∠E＝30°，则∠CFE的度数为 65° ．
【分析】根据直角三角形的性质求出∠B，再根据三角形的外角性质求出∠CFE．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝55°，
则∠B＝90°﹣∠C＝35°，
∵∠CFE是△BEF的外角，
∴∠CFE＝∠B+∠E＝35°+30°＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
16．（2分）如图，△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于E，若AB＝6，BC＝9，则DE的长为 ．
【分析】由角平分线的性质得出DE＝DA，再根据HL证明Rt△ABD≌Rt△EBD得出BE的长，根据勾股定理求出AC的长，设DE＝x，则CD＝3﹣x，再根据勾股定理得出方程求解即可．
【解答】解：∵AC⊥AB，DE⊥BC，BD平分∠ABC，
∴DE＝DA，
在Rt△ABD与Rt△EBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴BE＝AB＝6，
∵BC＝9，
∴CE＝3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC＝＝＝3，
设DE＝x，则CD＝3﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，
CD2＝ED2+CE2，
即（3）2＝x2+32，
解得x＝，
即DE的长为，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-21题每题5分，第22-27题每题6分，第28题7分）
17．（5分）计算：．
【分析】先算除法，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝3﹣2﹣
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
18．（5分）计算：．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝
＝
＝x+2．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
19．（5分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+x﹣3＝x﹣2，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x＝1．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20．（5分）已知x＝3y，求代数式的值．
【分析】直接把x＝3y代入分式，化简求值即可．
【解答】解：∵x＝3y，
∴
＝（﹣）•
＝（3﹣）×
＝×
＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的乘除运算，整体代入求值．
21．（5分）已知：△ABC．
求作：点P，使得点P在AC上，且PA＝PB．
作法：
①分别以A，B为圆心，大于AB的同样长为半径作弧，两弧分别交于M，N；
②作直线MN，与AC交于P点．
点P为所求作的点．
根据上述作图过程
（1）请利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AM，BM，AN，BN．
∵AM＝ BM ，AN＝BN，
∴M，N在线段AB的垂直平分线上．
即MN是线段AB的垂直平分线．
∵点P在直线MN上，
∴PA＝PB（ 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等 ）（填写推理的依据）．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用线段的垂直平分线的性质判断即可．
【解答】（1）解：如图，点P即为所求；
（2）证明：连接AM，BM，AN，BN．
∵AM＝BM，AN＝BN，
∴M，N在线段AB的垂直平分线上．
即MN是线段AB的垂直平分线．
∵点P在直线MN上，
∴PA＝PB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）．
故答案为：BM，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（6分）已知：如图，点B是线段AC上一点，AD∥BE，AB＝BE，∠D＝∠C．求证：BD＝EC．
【分析】由平行线的性质可得∠A＝∠EBC，由“AAS”可证△ABD≌△BEC，可得BD＝EC．
【解答】证明：∵AD∥BE
∴∠A＝∠EBC
在△ABD和△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（AAS），
∴BD＝EC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
23．（6分）如图，将线段CD放在单位长为1的小正方形网格内，点A，B均落在格点上．
（1）按下列要求画图（保留必要的画图痕迹，不必写画法）：
①请在线段CD上画出点P，使得PA+PB的和最小；
②请在线段CD上画出点Q，使得QA+QB的和最小；
（2）请观察、测量或计算按（1）中要求所画的图形．
①PA+PB的和最小的依据是 两点之间，线段最短 ；
②QA+QB＝ 4 （直接写出答案）．
【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形；
①作点B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于点P，使得PA+PB的和最小，点P就是所求的点；
②作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点Q，使得QA+QB的和最小，点Q就是所求的点；
（2）①根据两点之间线段最短解答；
②根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）①根据轴对称的性质可知：PA+PB的和最小的依据是两点之间，线段最短；
故答案为：两点之间，线段最短；
②根据轴对称的性质可知：QA＝QA′，
∴QA+QB＝QA′+QB＝A′B＝＝＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了作图—应用与设计作图，轴对称的性质﹣最短路径问题，掌握轴对称的性质、勾股定理等知识是解题的关键．
24．（6分）学校为了丰富学生体育活动，计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每个篮球的价格比每个的排球价格多4元，已知学校用2000元购买篮球的个数与用1800元购买排球的个数相等．求每个篮球、每个排球的价格．
【分析】设每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为（x﹣4）元，由题意：学校用2000元购买篮球的个数与用1800元购买排球的个数相等．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为（x﹣4）元，
由题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
则x﹣4＝40﹣4＝36，
答：每个篮球的价格为40元，每个排球的价格为36元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25．（6分）若关于x的分式方程的解为正数，求正整数a的值．
【分析】解分式方程，可得出x＝3﹣a，结合原分式方程的解为正数，可得出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，由x﹣1≠0，可得出a≠2，进而可得出正整数a的值．
【解答】解：原方程可化为：2x+a+x﹣5＝2（x﹣1），
∴x＝3﹣a．
∵原方程的解为正数，
∴3﹣a＞0，
∴a＜3，
∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
∴3﹣a≠1，
∴a≠2，
∴正整数a的值为1．
【点评】本题考查分式方程的解以及解一元一次不等式，正确表示分式方程的解，注意分母不等于0是求解本题的关键．
26．（6分）已知：如图，A，B，D三点在同一直线上，△ABC和△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）求证：BE＝AD，BE⊥AD；
（2）已知BD＝2AB，CE＝，求AB的长．
【分析】（1）利用SAS证明△ACD≌△BCE，得AD＝BE，∠BEC＝∠ADC，即可证明结论；
（2）设AB＝x，则BD＝2x，在Rt△BDE中，由勾股定理得，（2x）2+（3x）2＝（）2，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°．
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC，
∴∠DBE＝∠DCE＝90°，
∴BE⊥AD；
（2）解：∵DE＝CE＝，
设AB＝x，则BD＝2x，
∴BE＝AD＝3x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
（2x）2+（3x）2＝（）2，
解得x＝（负值舍去），
∴AB＝．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△ACD≌△BCE是解题的关键．
27．（6分）将分式的分母因式分解后，可以把一个分式表示成两个分式的和或差．观察下列各式，解答下面问题：
…
（1）；
（2）计算：．
【分析】读懂题意，利用分式的基本性质变形，计算即可．
【解答】解：（1）＝﹣；
（2）
＝++
＝（﹣）+（﹣）+（﹣）
＝（﹣+﹣+﹣）
＝（﹣）
＝．
【点评】本题考查了分式的加减运算，分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．
28．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点B关于AC边的对称点为D，连接CD，过点A作AE∥CD且AE＝CD，连接CE，DE．
（1）依题意补全图形；
（2）判断AB和DE的数量关系并证明；
（3）平面内有一点M，使得DM＝DC，EM＝EB，求∠CDM的度数．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）结论：AB＝DE，证明四边形ACDE是平行四边形，推出AC＝DE，可得结论；
（3）分两种情形：如图2中，当∠CDM是钝角．证明△ABE≌△DEM（SSS），推出∠BAE＝∠EDM＝135°，即可解决问题，如图3中，当∠CDM′是锐角时，同法可得∠ADM′＝∠BAE＝135°解决问题．
【解答】解：（1）图形如图1所示：
（2）结论：AB＝DE．
理由：∵AE＝CD，AE∥CD，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴AC＝DE，
∵AB＝AC，
∴AB＝DE；
（3）如图2中，当∠CDM是钝角．
∵AE＝CD，CD＝DM，
∴AE＝DM，
∵AB＝DE，BE＝EM，
∴△ABE≌△DEM（SSS），
∴∠BAE＝∠EDM，
∵AB＝AC，∠BAC＝30°，B，D关于AC对称，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∵AE∥CD，
∴∠EAD＝∠ADC＝75°，
∴∠BAE＝30°+30°+75°＝135°，
∴∠EDB＝∠BAE＝135°，
∴∠CDM＝360°﹣75°﹣﹣30°﹣135°＝120°．
如图3中，当∠CDM′是锐角时，同法可得∠ADM′＝∠BAE＝135°，
∴∠CDM′＝135°﹣75°﹣30°＝30°，
综上所述，∠CDM的值为120°或30°．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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