2023-2024学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）6的算术平方根是（ ）
A．6B．﹣6C．D．±
2．（2分）我国在环保方面取得的成就，为可持续发展奠定了基础．以下四个环保标志分别是“绿色食品”“节水”“安全饮品”“循环再生”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）若代数式的值为0，则实数x的值为（ ）
A．x＝0B．x＝1C．x＞0D．x≥1
4．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．“在标准大气压下，将水加热到100℃，水会沸腾”是随机事件
B．随机事件是可能会发生，也可能不会发生的事件
C．投掷一枚硬币10次，一定有5次正面向上
D．“事件可能发生”是指事件发生的机会很多
5．（2分）如图，△ABC中AB边上的高线为（ ）
A．ADB．CEC．AFD．BG
6．（2分）下列变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2分）在一个不透明的袋子中，装有白球、红球若干个，各球除颜色外都相同．某校初二五班30名同学做实验，从袋中任意摸一球，记录颜色后将球放回袋中搅匀，再进行下一次摸球试验．每人做20次这样的摸球试验后，进行累计，发现全班试验中摸出红球共100次，估计袋中红球与白球数量的比值约为（ ）
A．1：5B．1：6C．1：11D．1：12
8．（2分）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣5B．m＜﹣5
C．m＞﹣5且m≠﹣3D．m≠﹣3
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）在括号内填入适当的整式对分式变形：，变形的依据是 ．
11．（2分）计算：（3+1）（3﹣1）＝ ．
12．（2分）如图，将一副直角三角尺按下图放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的斜边平行，两三角尺的某顶点重合，则图③中的∠α＝ °．
13．（2分）如图，点B，C，F，E在同一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是 ；根据你添加的条件，本题中判定两个三角形全等所用的方法为 ．
14．（2分）国庆期间，某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于50元的顾客均有一次转动转盘的机会．如图，转盘被平均分为8等份，指针固定不动，转动转盘，转盘停止后，当指针指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针指向3或5时，该顾客获二等奖；若指针指向分界线则重转．顾客转动一次转盘，获一等奖或二等奖的可能性大小为 ．
15．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC＝1，．BD平分∠ABC．则
（1）∠C＝ °；
（2）点D到BC的距离为 ．
16．（2分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点O在AB上，且AO＝4，点E是边BC上一动点，连接OE，将线段OE绕点O逆时针旋转得到线段OD，且∠DOE＝60°．
（1）连接DE，则△ODE的形状为 ；
（2）当点E在边BC上运动时，连接CD，则CD的最小值为 ．
三、解答题（本题共68分，第17-21每小题5分；第22-23每小题5分；24题5分，
17．（5分）计算：．
18．（5分）计算：×3﹣2．
19．（5分）解方程：﹣＝．
20．（5分）如图，AC，BD交于点O，OA＝OD，∠1＝∠2．
求证：AB＝CD．
21．（5分）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”
题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？
22．（6分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．
（1）利用尺规作图，作△ABC中AC边上的高BD（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：．
23．（6分）已知a2+a﹣1＝0，求代数式的值．
24．（5分）台球技艺中包含了许多物理、数学的知识．图1是台球桌面的一部分，由于障碍球E的阻挡，击球者想通过正面击打主球M，使其撞击台球桌边框（仅碰撞一次），经过一次反弹后正面撞击到目标球F．球的反弹路径类似于光的反射光路．台球桌面抽象为长方形，球抽象为点，如图2，请在AD边上作出撞击点P，使得∠MPA＝∠FPD，并用数学知识进行证明．
锦囊：某同学阅读理解题意后，先画了一个草图（如图3）进行分析，发现“要保证∠1＝∠2，只需保证∠1＝∠3即可”．
25．（6分）2023年8月29日华为Mate 60系列正式开售，某用户购买后进行手机测试，分别在5G和4G网络环境下，下载容量为920兆的同一个文件，发现在5G网络环境下载所需时间比4G网络环境下载的时间少105秒，测得5G网络环境下载的速度是4G网络环境下载速度的11.5倍，问该用户在5G网络环境下载文件的速度是每秒多少兆？
26．（6分）小明根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究分式的运算规律．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：；
第5个： ．
……
（2）观察、归纳，发现规律，得出猜想：
第n个等式可以表示为： （n为正整数）．
（3）证明（2）中的猜想．
27．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为射线BC上一点（不与点B，C重合），连接AD并延长到点E，使得DE＝AD，连接BE．过点B作BE的垂线交直线AC于点F．
（1）如图1，点D在线段CB上，且DB＜CD．
①请补全图形；
②判断CD，DB，CF之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，请画出图形，直接写出CD，DB，CF之间的数量关系．
（3）基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题．
28．（7分）在6×6的正方形网格中，小正方形的边长为1，网格线的交点为格点，△ABC为格点三角形（顶点都在格点上）．对于点P与格点△ABC给出如下定义：点P为网格中一点（与点B，C不共线），连接PA，PB，PC，若PA与△PBC的某条边相等，则称P为△ABC的关联点．
（1）如图1，在格点P1，P2，P3中，是△ABC关联点的是 ；
（2）如图2，若点P为△ABC的关联点，当点P是△ABC内部（不含边界）的格点时，请标出所有满足条件的点P的位置；
（3）如图2，E是△ABC的边AC上一点（不与点A，C重合），过点E作AC的垂线，与△ABC边AB（或BC）交于点F．若线段EF上存在△ABC的两个关联点，求线段AE的取值范围．
2023-2024学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（2分）6的算术平方根是（ ）
A．6B．﹣6C．D．±
【分析】根据算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
【解答】解：6的算术平方根是，
故选：C．
【点评】本题考查了求一个数的算术平方根，熟记算术平方根的概念是解题关键．
2．（2分）我国在环保方面取得的成就，为可持续发展奠定了基础．以下四个环保标志分别是“绿色食品”“节水”“安全饮品”“循环再生”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．（2分）若代数式的值为0，则实数x的值为（ ）
A．x＝0B．x＝1C．x＞0D．x≥1
【分析】根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可．
【解答】解：∵代数式的值为0，
∴3x＝0且x﹣1≠0，
解得x＝0．
故选：A．
【点评】本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零分子为零的条件是解题的关键．
4．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．“在标准大气压下，将水加热到100℃，水会沸腾”是随机事件
B．随机事件是可能会发生，也可能不会发生的事件
C．投掷一枚硬币10次，一定有5次正面向上
D．“事件可能发生”是指事件发生的机会很多
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：A．标准大气压下，通常加热到100℃，水会沸腾，是必然事件，故A说法错误；
B．随机事件是可能会发生，也可能不会发生的事件，故B说法正确；
C．任意掷一枚质地均匀的硬币，正面和反面的出现是随机的，所以10次不一定有5次正面向上，故C说法错误；
D．事件可能发生是指：会发生，也许不会发生，发生的机会大小不确定，故D说法错误；
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（2分）如图，△ABC中AB边上的高线为（ ）
A．ADB．CEC．AFD．BG
【分析】直接利用高线的概念（从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高）得出答案．
【解答】解：如图，∵CE⊥BA延长线于E，
∴△ABC中AB边上的高线是线段CE．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键．
6．（2分）下列变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据分式的基本性质和分式的加减法法则逐个判断即可．
【解答】解：A．当x＝3，y＝2时，＝，＝，
所以此时，故本选项不符合题意；
B．＝＝a+b，故本选项不符合题意；
C．当x＝2，y＝2时，+＝＝1，＝＝，
所以此时+，故本选项不符合题意；
D．＝a6b2，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质和分式的加减，能正确根据分式的基本性质和分式的加减法法则进行计算是解此题的关键．
7．（2分）在一个不透明的袋子中，装有白球、红球若干个，各球除颜色外都相同．某校初二五班30名同学做实验，从袋中任意摸一球，记录颜色后将球放回袋中搅匀，再进行下一次摸球试验．每人做20次这样的摸球试验后，进行累计，发现全班试验中摸出红球共100次，估计袋中红球与白球数量的比值约为（ ）
A．1：5B．1：6C．1：11D．1：12
【分析】根据频率估计概率的方法解答．
【解答】解：试验总次数为：30×20＝600（次），
∵全班试验中摸出红球共100次，
∴估计袋中红球与白球数量的比值约为100：500＝1：5．
故选：A．
【点评】本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
8．（2分）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣5B．m＜﹣5
C．m＞﹣5且m≠﹣3D．m≠﹣3
【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解是正数列出，且x≠1，从而求出m的取值范围．
【解答】解：，
方程两边同乘x﹣1，得
3x+m＝5（x﹣1），
解得，
∵x≠1，
∴，
∴m≠﹣3，
∵方程的解是正数，
∴，
∴m＞﹣5，
∴m＞﹣5且m≠﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣1≥0，再求出答案即可．
【解答】解：要使代数式有意义，必须x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记代数式中a≥0是解此题的关键．
10．（2分）在括号内填入适当的整式对分式变形：，变形的依据是 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的数，分式的值不变 ．
【分析】根据分式的基本性质进行解题即可．
【解答】解：n2÷n＝n，
则＝，
变形的依据是：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的数，分式的值不变．
故答案为：mn，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的数，分式的值不变．
【点评】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
11．（2分）计算：（3+1）（3﹣1）＝ 17 ．
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：原式＝（3）2﹣12
＝18﹣1
＝17
故答案为：17．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键．
12．（2分）如图，将一副直角三角尺按下图放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的斜边平行，两三角尺的某顶点重合，则图③中的∠α＝ 75 °．
【分析】先根据平行线的性质得出∠A＝∠ABE＝30°，再由三角形内角和定理求出∠BFE的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵AC∥BE，
∴∠A＝∠ABE＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣∠ABE﹣∠E＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∴∠α＝180°﹣∠BFE＝180°﹣105°＝75°．
故答案为：75．
【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，熟知直角三角板的性质是解题的关键．
13．（2分）如图，点B，C，F，E在同一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是 ∠A＝∠D ；根据你添加的条件，本题中判定两个三角形全等所用的方法为 AAS ．
【分析】BC＝EF，根据AB∥DE，得到∠B＝∠E，只需添加一组相等的对应角即可．
【解答】解：添加的条件是：∠A＝∠D．证明如下：
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
故答案为：∠A＝∠D；AAS．（答案不唯一）
【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
14．（2分）国庆期间，某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于50元的顾客均有一次转动转盘的机会．如图，转盘被平均分为8等份，指针固定不动，转动转盘，转盘停止后，当指针指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针指向3或5时，该顾客获二等奖；若指针指向分界线则重转．顾客转动一次转盘，获一等奖或二等奖的可能性大小为 ．
【分析】根据概率的大小与面积的关系，列出算式计算即可求得顾客转动一次转盘，获一等奖或二等奖的可能性大小．
【解答】解：3÷8＝．
故顾客转动一次转盘，获一等奖或二等奖的可能性大小为．
故答案为：．
【点评】本题考查了可能性的大小，关键是熟悉知识点：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
15．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC＝1，．BD平分∠ABC．则
（1）∠C＝ 45 °；
（2）点D到BC的距离为 ﹣1． ．
【分析】（1）根据勾股定理逆定理求出△ABC是直角三角形，∠A＝90°，再根据等腰三角形的性质求解即可；
（2）过点D作DM⊥BC于点M，根据角平分线的性质及等腰直角三角形的性质求出DM＝CM＝AD，再根据线段的和差求解即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC＝1，BC＝，
∴AB2+AC2＝12+12＝BC2＝，
∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
故答案为：45；
（2）过点D作DM⊥BC于点M，
∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DM⊥BC，
∴AD＝DM，
∵∠C＝45°，∠DMC＝90°，
∴DM＝CM＝AD，
∵BC＝BM+CM，
∴BC＝AB+DM，
∵＝1+DM，
∴DM＝﹣1，
即点D到BC的距离为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
16．（2分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点O在AB上，且AO＝4，点E是边BC上一动点，连接OE，将线段OE绕点O逆时针旋转得到线段OD，且∠DOE＝60°．
（1）连接DE，则△ODE的形状为 等边三角形 ；
（2）当点E在边BC上运动时，连接CD，则CD的最小值为 2 ．
【分析】（1）由旋转的性质得出OD＝OE，由等边三角形的判定可得出结论；
（2）在BC上取点M，使BM＝BO，连接OM，FD，证明△BOM是等边三角形，由全等三角形的性质得出OB＝OM，∠BOM＝∠BMO＝60°，证明△BOE≌△MOD（SAS），得出∠OMD＝∠B＝60°，证出点D在过点M且平行于直线AB的直线上，过点C作CN⊥DM于点N，求出CN的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵将线段OE绕点O逆时针旋转得到线段OD，且∠DOE＝60°．
∴OD＝OE，
又∵∠DOE＝60°，
∴△ODE是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）在BC上取点M，使BM＝BO，连接OM，FD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝6，∠ACB＝∠B＝60°，
∵OA＝6，
∴OB＝AB﹣OA＝2，
∵BM＝OB＝2，∠B＝60°，
∴△BOM是等边三角形，
∴OB＝OM，∠BOM＝∠BMO＝60°，
∴∠BOM＝∠DOE，
∴∠BOE＝∠MOD，
∴△BOE≌△MOD（SAS），
∴∠OMD＝∠B＝60°，
∴∠BOM＝∠OMD＝60°，
∴∠B+∠BMD＝180°，
∴MD∥AB，
∴点D在过点M且平行于直线AB的直线上，
过点C作CN⊥DM于点N，
∵C为定点，
∴当点D与点N重合时，CD最小，
∵BM＝2，BC＝6，
∴CM＝BC﹣BM＝4，
∵∠BMO＝∠OMD＝60°，
∴∠DMC＝60°，
∴MN＝CM＝2，
∴CN＝＝2，
∴CD的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-21每小题5分；第22-23每小题5分；24题5分，
17．（5分）计算：．
【分析】根据立方根、二次根式的性质、零指数幂、绝对值的意义进行化简，再计算加减即可．
【解答】解：原式＝2﹣2﹣1+﹣1＝﹣2．
【点评】本题考查了立方根、二次根式的性质、零指数幂、化简绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（5分）计算：×3﹣2．
【分析】先根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的减法法则进行计算即可．
【解答】解：×3﹣2
＝3﹣4
＝3﹣4
＝9﹣4
＝5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
19．（5分）解方程：﹣＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：9x﹣3﹣2＝13，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20．（5分）如图，AC，BD交于点O，OA＝OD，∠1＝∠2．
求证：AB＝CD．
【分析】根据等腰三角形的判定推出OB＝OC，则AC＝DB，利用SAS证明△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴OB＝OC，
∵OA＝OD，
∴OB+OD＝OC+OA，
即AC＝DB，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴AB＝CD．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△DCB是解题的关键．
21．（5分）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”
题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？
【分析】将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【解答】解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺．
由题意得x2+52＝（x+1）2．
解得x＝12．
∴x+1＝13．
答：水深12尺；芦苇长13尺．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
22．（6分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．
（1）利用尺规作图，作△ABC中AC边上的高BD（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）过点A作AF⊥BC于点F，交BD于点O，证明∠CBD＝∠CAF，可得结论．
【解答】（1）解：如图，线段BD即为所求；
（2）证明：过点A作AF⊥BC于点F．
∵BD⊥AC，
∴∠OFB＝∠ODA＝90°，
∵∠BOF＝∠AOD，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠BAF＝∠CAF，
∴∠CBD＝∠BAC．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
23．（6分）已知a2+a﹣1＝0，求代数式的值．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
∵a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1，
∴原式＝＝1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
24．（5分）台球技艺中包含了许多物理、数学的知识．图1是台球桌面的一部分，由于障碍球E的阻挡，击球者想通过正面击打主球M，使其撞击台球桌边框（仅碰撞一次），经过一次反弹后正面撞击到目标球F．球的反弹路径类似于光的反射光路．台球桌面抽象为长方形，球抽象为点，如图2，请在AD边上作出撞击点P，使得∠MPA＝∠FPD，并用数学知识进行证明．
锦囊：某同学阅读理解题意后，先画了一个草图（如图3）进行分析，发现“要保证∠1＝∠2，只需保证∠1＝∠3即可”．
【分析】作点M关于直线AD的对称点N，连接FN交AD于点P，连接PM，点P即为所求．
【解答】解：如图，点P即为所求．
理由：∵M，N关于直线AD对称，
∴PA垂直平分线段MN，
∴PM＝PN，
∴∠MPA＝∠NPA，
∵∠NPA＝∠DPC，
∴∠APM＝∠DPF，
∴点P即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用对称轴的性质解决实际问题．
25．（6分）2023年8月29日华为Mate 60系列正式开售，某用户购买后进行手机测试，分别在5G和4G网络环境下，下载容量为920兆的同一个文件，发现在5G网络环境下载所需时间比4G网络环境下载的时间少105秒，测得5G网络环境下载的速度是4G网络环境下载速度的11.5倍，问该用户在5G网络环境下载文件的速度是每秒多少兆？
【分析】设该用户在4G网络环境下载文件的速度是每秒x兆，则该用户在5G网络环境下载文件的速度是每秒11.5x兆，利用下载时间＝下载文件的容量÷下载速度，结合在5G网络环境下载所需时间比4G网络环境下载的时间少105秒，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入11.5x中，即可求出结论．
【解答】解：设该用户在4G网络环境下载文件的速度是每秒x兆，则该用户在5G网络环境下载文件的速度是每秒11.5x兆，
根据题意得：﹣＝105，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是所列方程的解，且符合题意，
∴11.5x＝11.5×8＝92（兆）．
答：该用户在5G网络环境下载文件的速度是每秒92兆．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
26．（6分）小明根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究分式的运算规律．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：；
第5个： ．
……
（2）观察、归纳，发现规律，得出猜想：
第n个等式可以表示为： （n为正整数）．
（3）证明（2）中的猜想．
【分析】（1）根据前4个等式左右两边变化的数字与序号间的关系即可写出第5个等式；
（2）根据（1）中等式左右两边变化的数字与序号间的关系即可写出第n个等式；
（3）利用分式的运算法则分别计算（2）中等式的左右两边，结果相同即猜想正确．
【解答】解：（1）根据前4个等式左右两边变化的数字与序号间的关系可得第5个等式为：，
故答案为：；
（2）根据（1）中等式左右两边变化的数字与序号间的关系可猜想第n个等式为：，
故答案为：；
（3）证明：左边＝，
右边＝＝＝，
∴．
【点评】本题考查数字类变化规律探究，解答时涉及分式的运算，能够发现等式左右两边变化的数字与等式序号间的关系是解题的关键．
27．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为射线BC上一点（不与点B，C重合），连接AD并延长到点E，使得DE＝AD，连接BE．过点B作BE的垂线交直线AC于点F．
（1）如图1，点D在线段CB上，且DB＜CD．
①请补全图形；
②判断CD，DB，CF之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，请画出图形，直接写出CD，DB，CF之间的数量关系．
（3）基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题．
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②过点E作EG⊥BC于G，如图所示：根据全等三角形的性质得到CD＝DG，AC＝EG，根据余角的性质得到∠FBC＝∠BEG，根据全等三角形的判定和性质定理得到CF＝BG，于是得到结论；
（2）如图2，过点E作EG⊥BC于G，如图所示：根据全等三角形的性质得到CD＝DG，AC＝EG，根据余角的性质得到∠FBC＝∠BEG，根据全等三角形的判定和性质定理得到CF＝BG，于是得到结论；
（3）根据全等三角形的性质以及线段的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）①补全图形如图所示；
②CD＝DB+CF，
证明：过点E作EG⊥BC于G，如图所示：
∴∠EGD＝∠ACD＝90°，
在△ACD和△EGD中，
，
∴△ACD≌△EGD（AAS），
∴CD＝DG，AC＝EG，
∵AC＝BC，
∴EG＝BC，
∵BF⊥BE，
∴∠EBF＝90°，
∴∠FBC+∠EBG＝90°，
∵∠EBG+∠BEG＝90°，
∴∠FBC＝∠BEG，
在△BCF和△EGB中，
，
∴△BCF≌△EGB（ASA），
∴CF＝BG，
∴DB+BG＝DB+CF＝CD，
即CD＝DB+CF；
（2）如图2，CF＝BD+CD；
过点E作EG⊥BC于G，如图所示：
∴∠EGD＝∠ACD＝90°，
在△ACD和△EGD中，
，
∴△ACD≌△EGD（AAS），
∴CD＝DG，AC＝EG，
∵AC＝BC，
∴EG＝BC，
∵BF⊥BE，
∴∠EBF＝90°，
∴∠FBC+∠EBG＝90°，
∵∠EBG+∠BEG＝90°，
∴∠FBC＝∠BEG，
在△BCF和△EGB中，
，
∴△BCF≌△EGB（ASA），
∴CF＝BG，
∴CF＝BG＝BD+DG＝BD+CD；
（3）如图1，点D在线段CB上，判断AF于CD之间的数量关系，并证明．
AF＝2CD；
证明：∵△BCF≌△EGB，
∴CF＝BG，
∵△ACD≌△EGD，
∴CD＝DG＝CG＝（BC﹣BG）＝（AC﹣CF）＝AF，
∴AF＝2CD；
【点评】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解答的关键是结合图形分析清楚角与角，边与边之间的关系．
28．（7分）在6×6的正方形网格中，小正方形的边长为1，网格线的交点为格点，△ABC为格点三角形（顶点都在格点上）．对于点P与格点△ABC给出如下定义：点P为网格中一点（与点B，C不共线），连接PA，PB，PC，若PA与△PBC的某条边相等，则称P为△ABC的关联点．
（1）如图1，在格点P1，P2，P3中，是△ABC关联点的是 P1，P3 ；
（2）如图2，若点P为△ABC的关联点，当点P是△ABC内部（不含边界）的格点时，请标出所有满足条件的点P的位置；
（3）如图2，E是△ABC的边AC上一点（不与点A，C重合），过点E作AC的垂线，与△ABC边AB（或BC）交于点F．若线段EF上存在△ABC的两个关联点，求线段AE的取值范围．
【分析】（1）根据“△ABC的关联点”的定义，即可解决问题；
（2）根据“△ABC的关联点”的定义作图即可；
（3）作AB的中垂线l交AB、AC于T、E2，以点A为圆心，BC的长为半径作⊙A，交AB于P2，结合图形可知，当≤AE≤4时，线段EF上存在△ABC的两个关联点．
【解答】解：（1）如图1，连接P1C，
∵P1A＝P1B＝1，
∴P1为△ABC的关联点；
连接P2A、P2B、P2C，
∵P2A＝，P2B＝P2C＝，BC＝2，
∴P2不是△ABC的关联点；
连接P3A、P3B、P3C，
∵P3A＝2，P3B＝2，P3C＝2，BC＝2，
∴P3为△ABC的关联点，
故答案为：P1，P3．
（2）如图2，△ABC中，BC＝2，
∵P1A＝BC＝2，P2A＝P2B＝P2C＝，
∴点P1、P2为△ABC内部（不含边界）的关联点，点P1、P2即为所求．
（3）解：如图，作AB的中垂线l交AB、AC于T、E2，以点A为圆心，BC的长为半径作⊙A，交AB于P2，
∵E1F1⊥AC，当点F1与点P2重合时，线段E1F1与l交于点P1，
则AP1＝P1C，AP2＝BC＝2，∠BAC＝45°，
∴AE1＝AF1•cs∠BAC＝2•cs45°＝；
∵AT＝AB＝2，
∴AE2＝AT＝4；
综上所述，结合图形可知，当≤AE≤4时，线段EF上存在△ABC的两个关联点，
∴AE的取值范围是：≤AE≤4．
【点评】本题是三角形新定义问题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，新定义“△ABC的关联点”的理解和应用，熟练掌握并应用新定义是解题关键．