2022-2023学年北京市海淀区育英学校八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市海淀区育英学校八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．B．C．x2D．x
2．（3分）下列图形中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）在▱ABCD中，∠A+∠C＝110°，则∠B的大小为（ ）
A．155°B．125°C．70°D．55°
4．（3分）已知点（﹣5，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣8x+7上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法比较
5．（3分）2022年12月4日11时01分，神舟十四号载人飞船与空间站组合体成功分离返回地球，为了欢迎在中国空间站出差183天的航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲回家，北京市育英学校举行了“我的航天梦”英语演讲比赛．有9名学生通过海选进入决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）
A．众数B．频率C．平均数D．中位数
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．四个角都相等的四边形是正方形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．菱形的对角线平分每组对角
7．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝2x平行，且经过点A（0，6），则一次函数的解析式为（ ）
A．y＝2x﹣3B．y＝2x+6C．y＝﹣2x﹣3D．y＝﹣2x﹣6
8．（3分）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是两条对角线AC，BD的中点，若EH＝6，且AD≠BC，则以下说法不正确的是（ ）
A．EH∥GFB．GF＝6C．AD＝12D．BC＝12
9．（3分）如图，一次函数y＝k1x+b1的图象l1与y＝k2x+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）“实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性能的重要指标．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过40岁和年龄在40岁以上将客户分为A，B两组，从A，B组各抽取10位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”数据整理成图，其中“⊙”表示A组的客户，“*”表示B组的客户．
下列推断不正确的是（ ）
A．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于B组
B．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差低于B组
C．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值低于B组
D．这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位数落在B组
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11．（3分）化简的结果为 ．
12．（3分）若有意义，则m能取的最小整数是 ．
13．（3分）已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 ．
14．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若AC＝6，BC＝8，则CD＝ ．
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的四个顶点都在坐标轴上．若A（﹣4，0），B（0，﹣3），则菱形ABCD的面积是 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为 ．
17．（3分）若一次函数y＝（3m﹣1）x﹣m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是 ．
18．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+4与x，y轴分别交于点A，B，若将该直线向右平移5单位，线段AB扫过区域的边界恰好为菱形，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共46分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）+2﹣1+（2023﹣π）0．
20．（5分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE＝AB，连接CE、DE、AC，CE与AD交于点F．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若∠AFC＝2∠B．求证：四边形ACDE是矩形．
21．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长．
22．（5分）设一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣5，﹣3）两点．
（1）求该函数表达式；
（2）若点C（a+2，2a﹣1）在该函数图象上，求a的值；
（3）设点P在x轴上，若S△ABP＝12，求点P的坐标．
23．（5分）某校为了解该校七年级和八年级学生线上数学学习的情况，从这两个年级的学生中，各随机抽取了20名学生进行有关测试，获得了他们的成绩（百分制，且成绩均为整数），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．该校抽取的八年级学生测试成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分为4组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．该校抽取的八年级学生测试成绩在70≤x＜80这一组的数据是：70 70 74 74 75 75 75 76 77 78
c．该校抽取的七、八年级学生测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）此次测试成绩80分及80分以上为优秀．
①记该校抽取的七年级学生中成绩优秀的人数是n1，抽取的八年级学生中成绩优秀的人数为n2，比较n1，n2的大小，并说明理由；
②若该校七年级有200名学生，八年级有180名学生，假设该校七、八年级学生全部参加此次测试，估计该校七年级和八年级学生中成绩优秀的人数共有多少人．
24．（5分）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）．
（1）求b，m的值；
（2）垂直于y轴的直线y＝a与直线l1，l2分别相交于C，D，若线段CD长为2，求a的值．
25．（5分）在正方形ABCD中，点E是射线AC上一点，点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，且CF＝AE，连接BE，EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，直接写出BE与EF的数量关系；
（2）当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否成立，并证明你的结论；
（3）当点B，E，F在一条直线上时，求∠CBE的度数．（直接写出结果即可）
26．（6分）规定：若直线l与图形M有公共点，则称直线l是图形M的关联直线．已知：矩形ABCD的其中三个顶点的坐标为A（t，0），B（t+2，0），C（t+2，3）
（1）当t＝1时，如图以下三个一次函数y1＝x+4，y2＝﹣x+2，y3＝x+2中， 是矩形ABCD的关联直线；
（2）已知直线l：y＝x+2，若直线l是矩形ABCD的关联直线，求t的取值范围；
（3）如果直线m：y＝tx+2（t＞0）是矩形ABCD的关联直线，请直接写出t的取值范围．
2022-2023学年北京市海淀区育英学校八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30分。每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1．（3分）下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．B．C．x2D．x
【分析】根据二次根式的定义解答即可．
【解答】解：是三次根式；
x，x2是整式；
是二次根式．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式是解题的关键．
2．（3分）下列图形中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，C选项中一个x值对应多个y值，与函数的概念不一致，由此即可求解．
【解答】解：A图形中，一个x值对应唯一的y值，符合函数的定义，故不符合题意；
B图形中，一个x值对应唯一的y值，符合函数的定义，故不符合题意；
C图形中，一个x值对应多个y值，不符合函数的定义，故符合题意；
D图形中，一个x值对应唯一的y值，符合函数的定义，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查函数的定义，理解函数的定义，将图形与函数的定义结合是解题的关键．
3．（3分）在▱ABCD中，∠A+∠C＝110°，则∠B的大小为（ ）
A．155°B．125°C．70°D．55°
【分析】根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝110°，
∴∠A＝∠C＝55°，
∴∠B＝125°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
4．（3分）已知点（﹣5，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣8x+7上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法比较
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，进而可得出结论．
【解答】解：直线y＝﹣8x+7中，
∵k＝﹣8＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵﹣5＜3，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数的增减性是解题的关键．
5．（3分）2022年12月4日11时01分，神舟十四号载人飞船与空间站组合体成功分离返回地球，为了欢迎在中国空间站出差183天的航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲回家，北京市育英学校举行了“我的航天梦”英语演讲比赛．有9名学生通过海选进入决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）
A．众数B．频率C．平均数D．中位数
【分析】根据题意，可以选取合适的统计量，从而可以解答本题．
【解答】解：∵有9名学生参加比赛，一名学生想知道自己能否进入前5名，
∴这名学生要知道这组数据的中位数，
故选：D．
【点评】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．四个角都相等的四边形是正方形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．菱形的对角线平分每组对角
【分析】根据矩形的判定、正方形的判定、和平行四边形的判定以及菱形的性质判断即可．
【解答】解：A、对角线平分且相等的四边形是矩形，错误；
B、四个角和四条边都相等的四边形是正方形，错误；
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误；
D、菱形的对角线平分每组对角，正确；
故选：D．
【点评】此题考查正方形的判定，关键是根据矩形的判定、正方形的判定、和平行四边形的判定以及菱形的性质解答．
7．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝2x平行，且经过点A（0，6），则一次函数的解析式为（ ）
A．y＝2x﹣3B．y＝2x+6C．y＝﹣2x﹣3D．y＝﹣2x﹣6
【分析】根据函数y＝kx+b的图象与直线y＝2x平行，且经过点A（0，6），即可得出k和b的值，即得出了函数解析式．
【解答】解：∵函数y＝kx+b的图象与直线y＝2x平行，
∴k＝2，
又∵函数y＝2x+b的图象经过点A（0，6），
∴b＝6，
∴一次函数的解析式为y＝2x+6，
故选：B．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式，关键是正确得出函数解析式的系数．
8．（3分）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是两条对角线AC，BD的中点，若EH＝6，且AD≠BC，则以下说法不正确的是（ ）
A．EH∥GFB．GF＝6C．AD＝12D．BC＝12
【分析】由三角形中位线定理可得EH∥AD，EH＝AD，GF∥AD，GF＝AD，可得EH∥GF，EH＝GF＝6，AD＝2EH＝12，利用排除法可求解．
【解答】解：∵E、F是AB、CD的中点，G、H是AC、BD的中点，
∴EH∥AD，EH＝AD，GF∥AD，GF＝AD，
∴EH∥GF，EH＝GF＝6，AD＝2EH＝12，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线定理是本题的关键．
9．（3分）如图，一次函数y＝k1x+b1的图象l1与y＝k2x+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据直线l1与直线l2的交点坐标就是方程组的解，通过观察图形得出交点坐标．
【解答】解：由图象可知，两条直线的交点坐标为（﹣3，2），
∴方程组的解是，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，数形结合思想是解题的关键．
10．（3分）“实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性能的重要指标．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过40岁和年龄在40岁以上将客户分为A，B两组，从A，B组各抽取10位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”数据整理成图，其中“⊙”表示A组的客户，“*”表示B组的客户．
下列推断不正确的是（ ）
A．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于B组
B．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差低于B组
C．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值低于B组
D．这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位数落在B组
【分析】结合图象，依次判断，利用排除法可求解．
【解答】解：
由图象可得：A组的客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值在350左右，B组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值在450左右，故A选项不合题意；
由图象可得：A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的数据波动比B组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的数据波动小，即A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差比B组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差小，
故B选项不合题意；
由图象可得：这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的从大到小排序，第10位，第11位都在B组，故选项D不合题意；
故选项C符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了统计的应用，主要考查了方差，中位数等知识，看懂图形是本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11．（3分）化简的结果为 2 ．
【分析】根据二次根式的性质进行化简．
【解答】解：＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：＝|a|是解题的关键．
12．（3分）若有意义，则m能取的最小整数是 2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出m的范围，进而求出m能取的最小整数．
【解答】解：由题意得：2m﹣3≥0，
解得：m≥，
则m能取的最小整数是2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
13．（3分）已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或 ．
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为：＝；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为：＝5；
综上，第三边的长为：5或．
故答案为：5或．
【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．
14．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若AC＝6，BC＝8，则CD＝ 5 ．
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵点D是斜边AB的中点，
∴DC＝AB＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的四个顶点都在坐标轴上．若A（﹣4，0），B（0，﹣3），则菱形ABCD的面积是 24 ．
【分析】根据已知条件与菱形的轴对称性，可得坐标原点O就是菱形ABCD对角线的交点，再根据菱形的性质可得菱形对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以S菱形＝4S△AOB．
【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（0，﹣3）．
∴OA＝4，OB＝3．
∴S△AOB＝OA•OB＝6．
∵菱形是轴对称图形，且菱形ABCD的四个顶点都在坐标轴上．
∴菱形对角线的交点为坐标原点O．
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×6＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了菱形的性质．熟记菱形的对角线互相垂直且平分并把菱形分成四个全等的直角三角形是解题的关键．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为 3 ．
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB＝6，由勾股定理求出AD即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∴AD＝＝＝3；
故答案为：3．
【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
17．（3分）若一次函数y＝（3m﹣1）x﹣m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是 0≤m＜ ．
【分析】由函数的图象不经过第一象限得到关于m的不等式组，解不等式组可求出m的取值范围．
【解答】解：∵函数图象不经过第一象限，
∴，
∴0≤m＜，
故答案为：0≤m＜．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，解答此题的关键是熟知一次函数的性质，特别需注意的是函数的图象不经过第一象限但有可能经过原点，这是此题的易错点．
18．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+4与x，y轴分别交于点A，B，若将该直线向右平移5单位，线段AB扫过区域的边界恰好为菱形，则k的值为 ± ．
【分析】根据菱形的性质知AB＝5，由一次函数图象的性质和两点间的距离公式解答．
【解答】解：令y＝0，则x＝﹣，即A（﹣，0）．
令x＝0，则y＝4，即B（0，4）．
∵将该直线向右平移5单位，线段AB扫过区域的边界恰好为菱形，
∴AB＝5，则AB2＝25．
∴（﹣）2+42＝25．
解得k＝±．
故答案是：±．
【点评】考查了菱形的性质和一次函数图象与几何变换，解题的关键是根据菱形的性质得到AB＝5．
三、解答题（本大题共8小题，共46分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）+2﹣1+（2023﹣π）0．
【分析】（1）先算乘法，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂的意义化简，再进行加减运算即可．
【解答】解：（1）
＝3﹣4+6
＝5；
（2）+2﹣1+（2023﹣π）0
＝4﹣++1
＝﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
20．（5分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE＝AB，连接CE、DE、AC，CE与AD交于点F．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若∠AFC＝2∠B．求证：四边形ACDE是矩形．
【分析】（1）证明AE＝CD，AE∥CD，即可证得；
（2）证明△AEF是等腰三角形，则可以证得AD＝EC，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证得．
【解答】证明：（1）∵▱ABCD中，AB＝CD且AB∥CD，
又∵AE＝AB，
∴AE＝CD，AE∥CD，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）∵▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAF＝∠B，
又∵∠AFC＝∠EAF+∠AEF，∠AFC＝2∠B
∴∠EAF＝∠AEF，
∴AF＝EF，
又∵平行四边形ACDE中AD＝2AF，EC＝2EF
∴AD＝EC，
∴平行四边形ACDE是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定方法，正确证明△AEF是等腰三角形是关键．
21．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长．
【分析】（1）易证四边形BFDE是平行四边形，再结合已知条件证明邻边EB＝ED即可得到平行四边形BFDE是菱形；
（2）设BF＝x，所以可得DE＝BE＝x，AE＝8﹣x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AE2＝DE2+AD2，求出x的值即可．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB．
∴∠ABD＝∠EDB．
∴EB＝ED．
∴平行四边形BFDE是菱形；
（2）解：∵ED∥BF，∠C＝90°，
∴∠ADE＝90°．
设BF＝x，
∴DE＝BE＝x．
∴AE＝8﹣x．
在Rt△ADE中，AE2＝DE2+AD2
∴（8﹣x）2＝x2+42
解得x＝3，
∴BF＝3．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质以及勾股定理的运用，熟记菱形的各种判定方法和性质是解题的关键．
22．（5分）设一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣5，﹣3）两点．
（1）求该函数表达式；
（2）若点C（a+2，2a﹣1）在该函数图象上，求a的值；
（3）设点P在x轴上，若S△ABP＝12，求点P的坐标．
【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣5，﹣3）两点，可以求得该函数的表达式；
（2）将点C坐标代入（1）中的解析式可以求得a的值；
（3）由题意可求直线y＝x+2与x轴的交点坐标，根据三角形的面积公式可求点P坐标．
【解答】解：（1）根据题意得：
解得：
∴函数表达式为y＝x+2
（2）∵点C（a+2，2a﹣1）在该函数图象上，
∴2a﹣1＝a+2+2
∴a＝5
（3）设点P（m，0）
∵直线y＝x+2与x轴相交
∴交点坐标为（﹣2，0）
∵S△ABP＝|m+2|×|3|+|m+2|×|﹣3|＝12
∴|m+2|＝4
∴m＝2或﹣6
∴点P坐标（2，0）或（﹣6，0）
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．
23．（5分）某校为了解该校七年级和八年级学生线上数学学习的情况，从这两个年级的学生中，各随机抽取了20名学生进行有关测试，获得了他们的成绩（百分制，且成绩均为整数），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．该校抽取的八年级学生测试成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分为4组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．该校抽取的八年级学生测试成绩在70≤x＜80这一组的数据是：70 70 74 74 75 75 75 76 77 78
c．该校抽取的七、八年级学生测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）此次测试成绩80分及80分以上为优秀．
①记该校抽取的七年级学生中成绩优秀的人数是n1，抽取的八年级学生中成绩优秀的人数为n2，比较n1，n2的大小，并说明理由；
②若该校七年级有200名学生，八年级有180名学生，假设该校七、八年级学生全部参加此次测试，估计该校七年级和八年级学生中成绩优秀的人数共有多少人．
【分析】（1）根据八年级抽取了20名学生，从小到大排列第10，11名学生的成绩为76分，77分，即可求出m的值；
（2）①分别求出七、八两个年级的优秀学生人数，进而可得结论；
②用样本的优秀率估计总体的优秀率，根据总人数和优秀率求得优秀人数．
【解答】解：（1）八年级抽取了20名学生，从小到大排列第10，11名学生的成绩为76分，77分，故中位数m＝（分），
故答案为：76.5；
（2）①由七年级成绩的中位数为79.5可得n1＝10，
由题意可得n2＝6+2＝8，
∴n1＞n2；
②200×+180×＝100+72＝172（人），
答：估计该校七年级和八年级学生中成绩优秀的人数共有172人．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
24．（5分）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）．
（1）求b，m的值；
（2）垂直于y轴的直线y＝a与直线l1，l2分别相交于C，D，若线段CD长为2，求a的值．
【分析】（1）由点P（1，b）在直线l1上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线l2中，即可求出m值；
（2）由点C、D的横坐标，即可得出点C、D的纵坐标，结合CD＝2即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点P（1，b）在直线l1：y＝2x+1上，
∴b＝2×1+1＝3；
∵点P（1，3）在直线l2：y＝mx+4上，
∴3＝m+4，
∴m＝﹣1．
（2）当y＝a时，xC＝；
当y＝a时，xD＝4﹣a．
∵CD＝2，
∴|﹣（4﹣a）|＝2，
解得：a＝或a＝．
∴a的值为或．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出b、m的值；（2）根据CD＝2，找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程．
25．（5分）在正方形ABCD中，点E是射线AC上一点，点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，且CF＝AE，连接BE，EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，直接写出BE与EF的数量关系；
（2）当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否成立，并证明你的结论；
（3）当点B，E，F在一条直线上时，求∠CBE的度数．（直接写出结果即可）
【分析】（1）证明△ECF是等腰直角三角形即可．
（2）图形如图2所示：（1）中的结论仍然成立，即EF＝BE．只要证明BE＝DE，△DEF是等腰直角三角形即可．
（3）图形如图2所示：（1）中的结论仍然成立，即EF＝BE．只要证明∠CBF＝∠CFB即可．
【解答】解：（1）如图1中，结论：EF＝BE．
理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，
∵AE＝EC，
∴BE＝AE＝EC，
∵CM平分∠DCG，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝90°，
∵CF＝AE，
∴EC＝CF，
∴EF＝EC，
∴EF＝BE．
（2）图形如图2所示：（1）中的结论仍然成立，即EF＝BE．
理由：连接ED，DF．
由正方形的对称性可知，BE＝DE，∠CBE＝∠CDE
∵正方形ABCD，
∴AB＝CD，∠BAC＝45°，
∵点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，
∴∠DCF＝45°，
∴∠BAC＝∠DCF，
由∵CF＝AE，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF，∠ABE＝∠CDF，
∴DE＝DF，
又∵∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠CDF+∠CDE＝90°，
即∠EDF＝90°，
∴△EDF是等腰直角三角形
∴EF＝DE，
∴EF＝DE．
（3）如图3中，当点B，E，F在一条直线上时，∠图形如图2所示：（1）中的结论仍然成立，即EF＝BE．
CBE＝22.5°．
理由：∵∠ECF＝∠EDF＝90°，
∴E，C，F，D四点共圆，
∴∠BFC＝∠CDE，
∵∠ABE＝∠ADE，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝∠CBE，
∴∠CBF＝∠CFB，
∵∠FCG＝∠CBF+∠CFB＝45°，
∴∠CBE＝22.5°．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．（6分）规定：若直线l与图形M有公共点，则称直线l是图形M的关联直线．已知：矩形ABCD的其中三个顶点的坐标为A（t，0），B（t+2，0），C（t+2，3）
（1）当t＝1时，如图以下三个一次函数y1＝x+4，y2＝﹣x+2，y3＝x+2中， y2＝﹣x+2，y3＝x+2 是矩形ABCD的关联直线；
（2）已知直线l：y＝x+2，若直线l是矩形ABCD的关联直线，求t的取值范围；
（3）如果直线m：y＝tx+2（t＞0）是矩形ABCD的关联直线，请直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据关联直线的定义即可求解；
（2）先得到D（t，3），分别求得直线l：y＝x+2经过D（t，3），B（t+2，0）的t的值，再根据关联直线的定义即可求解；
（3）先得到D（t，3），分别求得直线l：y＝tx+2（t＞0）经过D（t，3）的t的值，再根据关联直线的定义即可求解．
【解答】解：（1）当t＝1时，A（1，0），B（3，0），C（3，3），D（1，3），
则三个一次函数y1＝x+4，y2＝﹣x+2，y3＝x+2中，y2＝﹣x+2，y3＝x+2是矩形ABCD的关联直线；
故答案为：y2＝﹣x+2，y3＝x+2；
（2）由矩形的性质得D（t，3），
当y＝3时，t+2＝3，解得t＝1；
当y＝0时t+2+2＝0，解得t＝﹣4．
故t的取值范围为﹣4≤t≤1；
（3）由矩形的性质得D（t，3），
当y＝3时，t2+2＝3，解得t＝±1（负值舍去）．
故t的取值范围为0＜t≤1．
【点评】本题考查一次函数综合题，涉及新定义，一次函数图象及特点，利用代入法求交点是解答此题的关键．平均数
中位数
众数
七年级
78
79.5
79
八年级
79
m
75
平均数
中位数
众数
七年级
78
79.5
79
八年级
79
m
75