2022-2023学年北京市东城区景山中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市东城区景山中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．把一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0配方后，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x﹣1）2＝5D．（x﹣1）2＝3
3．若点A（﹣3，y1），B（1，y2）都在直线y＝x+5上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2
C．y1＜y2D．无法比较大小
4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
5．在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A．a（1+x）2＝70%aB．a（1﹣x）2＝70%a
C．a（1+x）2＝（1﹣70%）aD．a（1﹣x）2＝（1﹣70%）a
6．在5次英语听说机考模拟练习中，甲、乙两名学生的成绩（单位：分）如表．若要比较两名学生5次模拟练习成绩谁比较稳定，则选用的统计量及成绩比较稳定的学生分别是（ ）
A．方差，甲B．方差，乙C．众数，甲D．众数，乙
7．若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．4B．2C．1D．﹣1
8．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝4，DM＝2，动点P从点A出发，沿路径A→B→C→M运动，则△AMP的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题。
9．一元二次方程x2﹣4＝0的解是 ．
10．已知正比例函数y＝kx的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条件的函数表达式 ．
11．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2022﹣a﹣b的值是 ．
12．若点A（4，n）与点B（m，2）关于原点对称，则m+n＝ ．
13．甲、乙、丙、丁四人参加滑雪比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝0.2，s乙2＝0.15，s丙2＝0.25，s丁2＝0.4．你认为成绩更稳定的是 ．
14．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠A的度数是 ，∠D的度数是 ．
15．若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2﹣9x＝﹣14的两根，则这个等腰三角形的周长是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是 ．
三、解答题。
17．解方程：
（1）x+2＝x（x+2）；
（2）2x2﹣7x+6＝0．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，将格点△AOB绕某点逆时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△ECD，点A与点E，点O与点C，点B与点D是对应点．
（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点M，并写出点M的坐标；
（2）直接写出旋转角α的度数．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当∠BDE＝25°时，求∠BEF的度数．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，1）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若x轴上有一点C，且S△ABC＝2，求点C的坐标．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根．
22．2022年冬奥会吉祥物冰墩墩深受人们喜爱，冬奥会特许商店将进货价为每个30元的冰墩墩饰品以40元的价格售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种冰墩墩饰品的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，同时规定售价在40﹣60元范围内．为了实现销售这种饰品平均每月10000元的销售利润，每个饰品应定为多少元？
23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，2）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＜2时，对于x的每一个值，一次函数y＝kx+b（k≠0）的值大于一次函数y＝mx﹣1（m≠0）的值，直接写出m的取值范围．
24．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5
c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 （填“A”或“B”），理由是 ，
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．
25．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2＝（a+b）2．
例如：①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下：
a2+6a+10＝（a2+6a）+10＝（a2+6a+9）+10﹣9＝（a+3）2+1
∵（a+3）2≥0，∴（a+3）2+1≥1，
因此，该式有最小值1．
材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式A＝x2+2x+1，B＝（x+4）（x﹣2），A﹣B＝（x2+2x+1）﹣（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x+1）﹣（x2+2x﹣8）＝9，
则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．
（1）已知多项式C＝x2+x﹣1，D＝（x+2）（x﹣1），则C关于D的“雅常值“是 ；
（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且N的最小值为﹣2，求M关于N的“雅常值”．
26．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与坐标轴分别交于A（2，0），B（0，4）两点．将直线l1在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线l2：y＝m（x﹣4）（m≠0）分别交于点C，D．
（1）求k，b的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AC，CD，DA围成的区域（不含边界）为W．
①当m＝1时，区域W内有 个整点；
②若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围．
27．在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，连接DE．
（1）①请补全图形；
②写出CD，AD，ED之间的数量关系，并证明；
（2）取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，若点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q为点P的“正轨点”，该正方形为点P的“正轨正方形”，如图所示．
（1）已知点A的坐标是（1，3）．
①在（﹣3，﹣1），（2，2），（3，3）中，点A的“正轨点”的坐标是 ；
②若点A的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A的“正轨点”的坐标是 ；
（2）若点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x+2上，求点B的“正轨点”的坐标；
（3）已知点C（m，0），若直线y＝2x+m上存在点C的“正轨点”，使得点C的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m的取值范围．
2022-2023学年北京市东城区景山中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。
1．下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的定义，能熟记中心对称图形的定义是解题关键．
2．把一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0配方后，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x﹣1）2＝5D．（x﹣1）2＝3
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣2x﹣4＝0，
x2﹣2x＝4，
x2﹣2x+1＝4+1，
（x﹣1）2＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
3．若点A（﹣3，y1），B（1，y2）都在直线y＝x+5上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2
C．y1＜y2D．无法比较大小
【分析】由k＝1＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合1＞﹣3，即可得出y1＜y2．
【解答】解：∵k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣3，y1），B（1，y2）都在直线y＝x+5上，且1＞﹣3，
∴y1＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．
【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．
5．在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A．a（1+x）2＝70%aB．a（1﹣x）2＝70%a
C．a（1+x）2＝（1﹣70%）aD．a（1﹣x）2＝（1﹣70%）a
【分析】设每半年平均每周作业时长的下降率为x，根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，列方程即可得到结论．
【解答】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x，
可列方程为a（1﹣x）2＝（1﹣70%）a．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．在5次英语听说机考模拟练习中，甲、乙两名学生的成绩（单位：分）如表．若要比较两名学生5次模拟练习成绩谁比较稳定，则选用的统计量及成绩比较稳定的学生分别是（ ）
A．方差，甲B．方差，乙C．众数，甲D．众数，乙
【分析】判断成绩的稳定性，选用的统计量是方差，再计算出方差比较即可．
【解答】解：判断成绩的稳定性，选用的统计量是方差，甲＝（32+37+40+34+37）＝36（分），
乙＝（36+35+37+35+37）＝36（分）；
S2甲＝[（32﹣36）2+（37﹣36）2+（40﹣36）2+（34﹣36）2+（37﹣36）2]＝7.6（分2），
S2乙＝[（36﹣36）2+（35﹣36）2+（37﹣36）2+（35﹣36）2+（37﹣36）2]＝0.8（分2），
7.6＞0.8，
所以乙的成绩更稳定，
故选：B．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数．
7．若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．4B．2C．1D．﹣1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝12﹣4×1•m＝1﹣4m＞0，
解得：m＜，
取m＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，熟记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
8．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝4，DM＝2，动点P从点A出发，沿路径A→B→C→M运动，则△AMP的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分三种情况：①当点P在AB上运动时；②当点P在BC上运动时；③当点P在CM上运动时．分别算出△AMP的面积，以此得到△AMP的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系，即可解答．
【解答】解：①当点P在AB上运动时，即0≤x≤6，
此时AP＝x，
y＝S△AMP＝，
∴y＝；
②当点P在BC上运动时，即6＜x≤10，
此时BP＝x﹣6，CP＝10﹣x，
y＝S△AMP＝S长方形ABCD﹣S△ABP﹣S△MCP﹣S△ADM，
∴y＝4×6﹣＝﹣x+18；
③当点P在CM上运动时，即10＜x≤14，
此时MP＝14﹣x，
y＝S△AMP＝，
∴y＝；
根据函数解析式，可知A选项正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，一次函数的图象和性质，解题关键是确定动点到达临界值前后的图形变化规律．
二、填空题。
9．一元二次方程x2﹣4＝0的解是 x＝±2 ．
【分析】式子x2﹣4＝0先移项，变成x2＝4，从而把问题转化为求4的平方根．
【解答】解：移项得x2＝4，
∴x＝±2．
故答案为：x＝±2．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
10．已知正比例函数y＝kx的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条件的函数表达式 y＝﹣x（答案不唯一） ．
【分析】先根据正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四象限得出k的取值范围，进而可得结论．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四象限，
∴k＜0，
∴函数表达式为y＝﹣x．
故答案为：y＝﹣x（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解答此题的关键．
11．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2022﹣a﹣b的值是 2023 ．
【分析】先把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得到a+b＝﹣1，再把2022﹣a﹣b变形为2022﹣（a+b），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0，
∴a+b＝﹣1，
∴2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022﹣（﹣1）＝2023．
故答案为：2023．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．若点A（4，n）与点B（m，2）关于原点对称，则m+n＝ ﹣6 ．
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出m，n的值，即可得出答案．
【解答】解：∵点A（4，n）与点B（m，2）关于原点对称，
∴m＝﹣4，n＝﹣2，
则m+n＝﹣4﹣2＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出m，n的值是解题关键．
13．甲、乙、丙、丁四人参加滑雪比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝0.2，s乙2＝0.15，s丙2＝0.25，s丁2＝0.4．你认为成绩更稳定的是 乙 ．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
【解答】解：∵s甲2＝0.2，s乙2＝0.15，s丙2＝0.25，s丁2＝0.4，
∴方差最小的为乙，
∴成绩更稳定的是乙．
故答案为：乙．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠A的度数是 70° ，∠D的度数是 60° ．
【分析】根据旋转的性质得：∠AOC＝∠BOD＝40°，OA＝OC，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，OA＝OC，∠B＝∠D，
∴∠A＝∠ACO＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵∠AOD＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣40°﹣40°＝10°，
∵∠ACO＝∠B+∠BOC，
∴∠B＝∠D＝∠ACO﹣∠BOC＝70°﹣10°＝60°，
故答案为：70°，60°．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15．若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2﹣9x＝﹣14的两根，则这个等腰三角形的周长是 16 ．
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．
【解答】解：解方程x2﹣9x＝﹣14，得x1＝2，x2＝7，
当2为腰，7为底时，不能构成等腰三角形；
当7为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为7+7+2＝16．
故周长为16．
故答案为：16．
【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是 1 ．
【分析】作CH⊥AB于H，如图，先利用勾股定理计算出AB＝5，再利用面积法计算出CH＝，再根据旋转的性质得CE＝4，然后利用点E点在HC上，点E到AB的距离最小，即可求△AEB面积的最小值．
【解答】解：如图，作CH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝，
∵CH•AB＝AC•BC，
∴CH＝，
∵点D是AC的中点，
∴CD＝2，
∵将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E，
∴CE＝2，即点E在以C为圆心，2为半径的圆上，
∵点E在HC的上，点E到AB的距离最小，
∴S△AEB最小值为：×5×（）＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的面积，勾股定理，关键是确定E点的运动轨迹．
三、解答题。
17．解方程：
（1）x+2＝x（x+2）；
（2）2x2﹣7x+6＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）x+2＝x（x+2），
（x+2）﹣x（x+2）＝0，
（x+2）（1﹣x）＝0，
∴x+2＝0或1﹣x＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝1；
（2）2x2﹣7x+6＝0，
（x﹣2）（2x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或2x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，将格点△AOB绕某点逆时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△ECD，点A与点E，点O与点C，点B与点D是对应点．
（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点M，并写出点M的坐标；
（2）直接写出旋转角α的度数．
【分析】（1）根据旋转中心在对应点连线的垂直平分线上可作出M，即可写出其坐标；
（2）观察对应点与旋转中心连线的夹角即可得到旋转角．
【解答】解：（1）如图：
①作格点K（1，1），T（2，1），
②作直线OK，直线ET交于M，
点M即为所求的旋转中心，
由图可得，M的坐标为（2，2）；
（2）由图可知，∠AME＝90°，
∴旋转角为90°．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当∠BDE＝25°时，求∠BEF的度数．
【分析】（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE＝AD，∠CBE＝∠CAD＝45°，可得结论；
（2）由等腰三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∵∠BDE＝25°，
∴∠BEF＝65°．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，1）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若x轴上有一点C，且S△ABC＝2，求点C的坐标．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A（2，0），B（0，1）代入，即可求解析式；
（2）设点C（x，0），则AC＝|2﹣x|，由面积可得×|2﹣x|×1＝2，求出x＝﹣2或x＝6即可求C点坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点A（2，0），B（0，1）代入，可得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1；
（2）∵x轴上有一点C，
设点C（x，0），
∴AC＝|2﹣x|，
∵S△ABC＝2，
∴×|2﹣x|×1＝2，
∴x＝﹣2或x＝6，
∴C（﹣2，0）或C（6，0）．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，第（2）问中，要注意AC＝|2﹣x|，从而确定C点有两个，切勿丢解．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有实数根，则Δ≥0，列出不等式，即可求出m的取值范围．
（2）根据方程的两个根都是整数，确定出m的值，经检验即可得到满足题意的m的值，并求出方程的根（答案不唯一）．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根，
∴（2m+1）2﹣4m2≥0，
解得：m≥﹣．
∴m的取值范围是m≥﹣；
（2）利用求根公式表示出方程的解为x＝，
∵方程的解为整数，
∴4m+1为完全平方数，
则当m的值为0时，方程为：x2+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1（不唯一）．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
22．2022年冬奥会吉祥物冰墩墩深受人们喜爱，冬奥会特许商店将进货价为每个30元的冰墩墩饰品以40元的价格售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种冰墩墩饰品的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，同时规定售价在40﹣60元范围内．为了实现销售这种饰品平均每月10000元的销售利润，每个饰品应定为多少元？
【分析】（1）根据冰墩墩饰品以40元的价格售出，平均每月能售出600个，墩墩饰品的售价每上涨1元，其销售量就减少10个列出代数式；根据每个饰品的利润×销售量＝10000列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设售价上涨x元，销售量为（600﹣10x）个，
（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，
x2﹣50x+400＝0，
x＝40或x＝10，
∵规定售价在40﹣60元范围内，
∴0≤x≤20，
∴x＝10，
40+10＝50（元），
答：每个饰品应定为50元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，2）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＜2时，对于x的每一个值，一次函数y＝kx+b（k≠0）的值大于一次函数y＝mx﹣1（m≠0）的值，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据题意一次函数为y＝x+b，代入A（2，2），根据待定系数法即可求得；
（2）根据点A（2，2）结合图象即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线y＝x，
∴k＝，
∵函数图象经过点A（2，2），
∴2＝+b．
∴b＝1．
∴一次函数的表达式为y＝x+1；
（2）把A（2，2）代入y＝mx﹣1，得2＝2m﹣1，
解得m＝，
∵当x＜2时，对于x的每一个值，一次函数y＝kx+b（k≠0）的值大于一次函数y＝mx﹣1（m≠0）的值，
∴≤m≤．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
24．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5
c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 B （填“A”或“B”），理由是 该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数 ，
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．
【分析】（1）先确定A课程的中位数落在第4小组，再由此分组具体数据得出第30、31个数据的平均数即可；
（2）根据两个课程的中位数定义解答可得；
（3）用总人数乘以样本中超过75.8分的人数所占比例可得．
【解答】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8＝60，
∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，
∴中位数在70≤x＜80这一组，
∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，
∴A课程的中位数为＝78.75，即m＝78.75；
（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，
∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，
故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．
（3）估计A课程成绩超过75.8分的人数为300×＝180人．
【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
25．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2＝（a+b）2．
例如：①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下：
a2+6a+10＝（a2+6a）+10＝（a2+6a+9）+10﹣9＝（a+3）2+1
∵（a+3）2≥0，∴（a+3）2+1≥1，
因此，该式有最小值1．
材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式A＝x2+2x+1，B＝（x+4）（x﹣2），A﹣B＝（x2+2x+1）﹣（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x+1）﹣（x2+2x﹣8）＝9，
则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．
（1）已知多项式C＝x2+x﹣1，D＝（x+2）（x﹣1），则C关于D的“雅常值“是 1 ；
（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且N的最小值为﹣2，求M关于N的“雅常值”．
【分析】（1）先计算C﹣D＝1，再根据“雅常式”的定义求出C关于D的“雅常值”；
（2）先求出M﹣N＝（﹣2a+2）x+a2﹣b，由M是N的“雅常式”得出﹣2a+2＝0，得出a＝1．由x为实数时，N的最小值为﹣2，得出﹣1+b＝﹣2，求出b＝﹣1，进而求出M﹣N＝2．
【解答】解：（1）∵C﹣D＝（x2+x﹣1）﹣（x+2）（x﹣1）
＝（x2+x﹣1）﹣（x2+x﹣2）
＝1，
∴“雅常值”为1，
故答案为：1；
（2）∵M是N的“雅常式”，
∴M﹣N＝（x﹣a）2﹣（x2﹣2x+b）
＝（x2﹣2ax+a2）﹣（x2﹣2x+b）
＝（﹣2a+2）x+a2﹣b，
∴﹣2a+2＝0，
∴a＝1．
∵N＝x2﹣2x+b＝（x﹣1）2﹣1+b，
且当x为实数时，N的最小值为﹣2，
∴﹣1+b＝﹣2，
∴b＝﹣1，
∴M﹣N＝a2﹣b＝1﹣（﹣1）＝2．
【点评】本题考查了配方法的应用，新定义，学生的理解能力以及知识的迁移能力，因式分解等知识，理解A是B的“雅常式”的定义是解题的关键．
26．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与坐标轴分别交于A（2，0），B（0，4）两点．将直线l1在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线l2：y＝m（x﹣4）（m≠0）分别交于点C，D．
（1）求k，b的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AC，CD，DA围成的区域（不含边界）为W．
①当m＝1时，区域W内有 1 个整点；
②若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝kx+b与坐标轴分别交于A（2，0），B（0，4）两点，
∴，
解得k＝﹣2，b＝4；
（2）①当m＝1时，直线l2：y＝x﹣4，如图，
区域W内有（2，﹣1）一个整点，
故答案为：1；
②点（0，﹣5）代入y＝m（x﹣4）得，﹣5＝﹣4m，
∴m＝，此时区域W内有3个整点，
由图象可知，当1＜m≤时，区域W内恰有3个整点．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图象和性质，画出函数的图象是解题的关键．
27．在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，连接DE．
（1）①请补全图形；
②写出CD，AD，ED之间的数量关系，并证明；
（2）取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②连接AE，根据∠ABC＝90°，BA＝BC，得∠C＝∠BAC＝45°，由线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，可得∠ABE＝90°﹣∠ABD＝∠CBD，BE＝BD，即可得△ABE≌△CBD（SAS），有∠BAE＝∠C＝45°，AE＝CD，故∠EAD＝∠EAB+∠BAC＝90°，可得AE2+AD2＝DE2，从而CD2+AD2＝DE2；
（3）设BF交CE于H，延长BF至G，使FG＝BF，连接AG，根据F是AD中点，可证明△AFG≌△DFB（SAS），得∠GAF＝∠FDB，AG＝BD，可得AG＝BE，∠GAB＝∠DBC+90°，又∠CBE＝∠DBC+∠DBE＝∠DBC+90°，得∠GAB＝∠CBE，知△GAB≌△EBC（SAS），故BG＝CE，∠ABG＝∠BCE，从而CE＝2BF，可证CE⊥BF．
【解答】解：（1）①补全图形如下：
②CD，AD，ED之间的数量关系是CD2+AD2＝DE2，证明如下：
连接AE，如图：
∵∠ABC＝90°，BA＝BC，
∴∠C＝∠BAC＝45°，
∵线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，
∴∠ABE＝90°﹣∠ABD＝∠CBD，BE＝BD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠BAE＝∠C＝45°，AE＝CD，
∴∠EAD＝∠EAB+∠BAC＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，
∵AE＝CD，
∴CD2+AD2＝DE2；
（3）CE＝2BF，CE⊥BF，证明如下：
设BF交CE于H，延长BF至G，使FG＝BF，连接AG，如图：
∵F是AD中点，
∴AF＝DF，
∵FG＝BF，∠AFG＝∠DFB，
∴△AFG≌△DFB（SAS），
∴∠GAF＝∠FDB，AG＝BD，
∵BD＝BE，
∴AG＝BE，
∵∠FDB＝∠DBC+∠DCB＝∠DBC+45°，
∴∠GAF＝∠DBC+45°，
∴∠GAB＝∠GAF+∠BAC＝∠DBC+45°+45°＝∠DBC+90°，
∵∠CBE＝∠DBC+∠DBE＝∠DBC+90°，
∴∠GAB＝∠CBE，
∵AB＝BC，
∴△GAB≌△EBC（SAS），
∴BG＝CE，∠ABG＝∠BCE，
∵BG＝2BF，
∴CE＝2BF，
∵∠ABG+∠GBC＝90°，
∴∠BCE+∠GBC＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∴CE⊥BF．
【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及勾股定理、角的和差等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，若点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q为点P的“正轨点”，该正方形为点P的“正轨正方形”，如图所示．
（1）已知点A的坐标是（1，3）．
①在（﹣3，﹣1），（2，2），（3，3）中，点A的“正轨点”的坐标是 （﹣3，﹣1），（2，2） ；
②若点A的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A的“正轨点”的坐标是 （3，5）或（﹣1，1）或（﹣1，5）或（3，1） ；
（2）若点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x+2上，求点B的“正轨点”的坐标；
（3）已知点C（m，0），若直线y＝2x+m上存在点C的“正轨点”，使得点C的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①根据正方形的性质可得出|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，对照（﹣3，﹣1），（2，2），（3，3）即可得出结论；②根据“正轨点”的坐标特征即可求得；
（2）根据题意列出关于x的绝对值方程，解方程即可；
（3）根据题意表示出“正轨点”，由“正轨正方形”面积小于4即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵点P（x1，y1）、点Q（x2，y2）是正轨正方形的点，
∴|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．
∵|1﹣（﹣3）|＝|3﹣（﹣1）|，|1﹣2|＝|3﹣2|，|1﹣3|≠|3﹣3|，
∴点A的“正轨点”的坐标是（﹣3，﹣1），（2，2），
故答案为（﹣3，﹣1），（2，2）；
②∵点A的“正轨正方形”的面积是4，
∴边长为2，
∴点A的“正轨点”的坐标是（3，5）或（﹣1，1）或（﹣1，5）或（3，1），
故答案为（3，5）或（﹣1，1）或（﹣1，5）或（3，1）；
（2）∵点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x+2上，
∴设点B（1，0）的“正轨点”的坐标为（x，2x+2），
根据题意得|x﹣1|＝|2x+2﹣0|，
解得x＝﹣3或x＝﹣，
∴点B（1，0）的“正轨点”的坐标为（﹣3，﹣4）或（﹣，）；
（3）∵直线y＝2x+m上存在点C（m，0）的“正轨点”，
∴点C的“正轨点”的坐标为（0，m）或（﹣2m，﹣3m），
∵正轨正方形”面积小于4，
∴﹣2＜m＜2且m≠0或﹣2＜﹣3m＜2且m≠0，
∴m的取值范围是﹣2＜m＜2且m≠0．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系、正方形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据正方形的性质找出|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|；（2）根据题意列出方程；（3）表示出点C的“正轨点”的坐标．甲
32
37
40
34
37
乙
36
35
37
35
37
课程
平均数
中位数
众数
A
75.8
m
84.5
B
72.2
70
83
甲
32
37
40
34
37
乙
36
35
37
35
37
课程
平均数
中位数
众数
A
75.8
m
84.5
B
72.2
70
83