2022-2023学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）下列运算式中，正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a3）3＝a9C．（2a2）2＝2a4D．a6÷a3＝a2
3．（2分）已知∠AOB．下面是“作一个角等于已知角，即作∠A'O'B'＝∠AOB”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
4．（2分）计算（2m+1）（3m﹣2），结果正确的是（ ）
A．6m2﹣m﹣2B．6m2+m﹣2C．6m2﹣2D．5m﹣1
5．（2分）六边形的外角和为（ ）
A．180°B．720°C．360°D．1080°
6．（2分）长方形的面积是12a2﹣6ab．若一边长是3a，则另一边长是（ ）
A．4a+2bB．4a﹣2bC．2a﹣4bD．2a+4b
7．（2分）如图，将一张四边形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点D恰好落在边AB的中点D'处．设S1，S2分别为△ADC和△ABC的面积，则S1和S2的数量关系是（ ）
A．S1＝S2B．S1＝S2C．S1＝2S2D．S1＝3S2
8．（2分）若一个多边形的内角和等于1800°，这个多边形的边数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
9．（2分）生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是（ ）
A．4米，4米B．4米，10米
C．7米，7米D．7米，7米，或4米，10米
10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4，6．若点A在第一象限，则点C的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）
C．（﹣2，﹣3），或（﹣3，﹣2）D．（2，3），或（3，2）
二、填空题（本题共12分，每小题2分）
11．（2分）若分式的值等于零，则x的值是 ．
12．（2分）分解因式：2m2﹣8＝ ．
13．（2分）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC∥DF．添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．不增加任何新的字母或线，这个条件可以是 ．
14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，连接DE．则∠ADE的度数是 ．
15．（2分）如图，在△ABC中，BC＝9，CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC于点E，DE＝3．则△BCD的面积为 ．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），B（0，4），P（1，2），Q（2，﹣1），连接AB．在线段AB．上作点M，使得PM+QM最小，并求点M的坐标．
在探索过程中，同学们提出了三种不同的方法，作法与图示如下表：
其中正确的方法是 （填写序号），点M的坐标是 ．
三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18题9分，第19-25题，每小题4分，第26题6分，第27-28题，每小题4分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（4分）计算：|﹣5|+2﹣2﹣（π﹣2022）0．
18．（9分）化简：
（1）（﹣ab）3÷（﹣）；
（2）（a+4）（a﹣4）﹣（a﹣1）2．
19．（5分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：BC＝DE．
20．（5分）在化简分式时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题．
解：原式＝……①
＝（x+1）（x﹣1）﹣•（x+1）（x﹣1）……②
＝2x﹣（x+1）……③
＝2x﹣x﹣1……④
＝x﹣1．……⑤
（1）甲同学从第 步开始出错（填序号）；
（2）请你写出正确的解法．
21．（5分）先化简，再求值：（）•，其中x从﹣2，2，3三个数中任取一个合适的值．
22．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠CBA＝45°．
（1）求证：AC⊥AB；
（2）分别以点A，C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D（点D在AC的左侧），连接CD，AD，BD．求△ABD的面积．
23．（5分）解分式方程：1﹣＝．
24．（5分）课堂上，老师提出问题：
如图1，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区．现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活空场动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何确定活动中心P的位置？
小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的证明过程补充完整．
步骤1 分析：若要使得点P到点A，B的距离相等，则只需点P在线段AB的垂直平分线上；若要使得点P到OM，ON的距离相等，则只需点P在∠MON的平分线上．
步骤2 作图：如图2，作∠MON的平分线OC，线段AB的垂直平分线DE，DE交OC于点P，则点P为所求．
步骤3 证明：如图2，连接PA，PB，过点P作PF⊥ON于点F，PG⊥OM于点G．
∵PF⊥ON，PG⊥OM，
且 （填写条件），
∴PF＝PG（ ）（填写理由）．
∵点P在线段AB的垂直平分线DE上，
∴PA＝PB（ ）（填写理由）．
∴点P为所求作的点．
25．（5分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°．点M在BC的延长线上，∠ABC的平分线交AC于点D．∠MCA的平分线与射线BD交于点E．
（1）依题意补全图形；用尺规作图法作∠MCA的平分线；
（2）求∠BEC的度数．
26．（6分）列分式方程解应用题．
当矩形（即长方形）的短边为长边的倍时，称这个矩形为黄金矩形．黄金矩形更具美感．如图是某位同学的书画作品，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形，要求装裱后的矩形宽与长之比等于0.6．边衬的宽度应设置为多少厘米？（注：≈0.618）
27．（7分）已知：在△ABC中，∠CAB＝2∠B．点D与点C关于直线AB对称，连接AD，CD，CD交直线AB于点E．
（1）当∠CAB＝60°时，如图1．用等式表示，AD与AE的数量关系是： ，BE与AE的数量关系是： ；
（2）当∠CAB是锐角（∠CAB≠60°）时，如图2；当∠CAB是钝角时，如图3．
在图2，图3中任选一种情况，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AD，AE，BE之间的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和正方形OABC，给出如下定义：若点P关于y轴的对称点P'到正方形OABC的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形OABC的“k倍距离点”．
已知：点A（a，0），B（a，a）．
（1）当a＝4时，
①点C的坐标是 ；
②在P1（﹣1，1），P2（﹣2，2），P3（2，2）三个点中， 是正方形OABC的“3倍距离点”；
（2）当a＝6时，点P（﹣2，n）（其中n＞0）是正方形OABC的“2倍距离点”，求n的取值范围；
（3）点M（﹣2，2），N（﹣3，3）．当0＜a＜6时，线段MN．上存在正方形OABC的“2倍距离点”，直接写出a的取值范围．
2022-2023学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、A选项是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、B选项是轴对称图形，故此选项正确不符合题意；
C、C选项是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、D选项不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（2分）下列运算式中，正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a3）3＝a9C．（2a2）2＝2a4D．a6÷a3＝a2
【分析】根据整式的运算法则即可判断．
【解答】解：（A）原式＝a5，故A错误，
（C）原式＝4a4，故B错误，
（D）原式＝a3，故D错误，
故选：B．
【点评】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘除法，积的乘方等知识．
3．（2分）已知∠AOB．下面是“作一个角等于已知角，即作∠A'O'B'＝∠AOB”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
【分析】作图过程可得DO＝D′O′＝CO＝C′O′，CD＝C′D′，利用SSS判定△DOC≌△D′O′C′，可得∠O′＝∠O．
【解答】解：由作图得DO＝D′O′＝CO＝C′O′，CD＝C′D′，
在△DOC和△D′O′C′中，
，
∴△DOC≌△D′O′C′（SSS），
∴∠O′＝∠O．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
4．（2分）计算（2m+1）（3m﹣2），结果正确的是（ ）
A．6m2﹣m﹣2B．6m2+m﹣2C．6m2﹣2D．5m﹣1
【分析】式利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果．
【解答】解：（2m+1）（3m﹣2）＝6m2﹣4m+3m﹣2＝6m2﹣m﹣2．
故选：A．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2分）六边形的外角和为（ ）
A．180°B．720°C．360°D．1080°
【分析】根据多边形的外角和是360°求解．
【解答】解：因为多边形的外角和等于360°，
所以六边形的外角和等于360°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和．解题的关键是需要熟记多边形的外角和是360°．
6．（2分）长方形的面积是12a2﹣6ab．若一边长是3a，则另一边长是（ ）
A．4a+2bB．4a﹣2bC．2a﹣4bD．2a+4b
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵长方形的面积是12a2﹣6ab，一边长是3a，
∴它的另一边长是：（12a2﹣6ab）÷3a＝12a2÷3a﹣6ab÷3a＝4a﹣2b．
故选：B．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（2分）如图，将一张四边形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点D恰好落在边AB的中点D'处．设S1，S2分别为△ADC和△ABC的面积，则S1和S2的数量关系是（ ）
A．S1＝S2B．S1＝S2C．S1＝2S2D．S1＝3S2
【分析】利用折叠的性质得出：△ADC≌△AD′C，则S△ADC＝S△AD′C，利用等底同高的三角形的面积相等即可得出结论．
【解答】解：由题意得：△ADC≌△AD′C，
∴S△ADC＝S△AD′C．
∵点D′为AB的中点，
∴AD′＝D′B．
∵等底同高的两个三角形的面积相等，
∴S△AD′C＝S△BCD′，
∴，
∴．
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质，等底同高的三角形的每个相等，掌握折叠的性质并熟练应用是解题的关键．
8．（2分）若一个多边形的内角和等于1800°，这个多边形的边数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得（n﹣2）×180＝1800，
解得n＝12，
∴这个多边形是12边形．
故选：D．
【点评】此题考查了多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和为（n﹣2）×180°是解题关键．
9．（2分）生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是（ ）
A．4米，4米B．4米，10米
C．7米，7米D．7米，7米，或4米，10米
【分析】分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：当4米为腰时，另两边为，4米，10米，
∵4+4＜10，
∴不合题意舍去，
当4米为底边时，另两边为：7米，7米，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4，6．若点A在第一象限，则点C的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）
C．（﹣2，﹣3），或（﹣3，﹣2）D．（2，3），或（3，2）
【分析】由题意判断点C在第三象限，由邻边长分别为4，6，可求解．
【解答】解：∵长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，点A在第一象限，
∴点C在第三象限，
∵长方形ABCD的邻边长分别为4，6，
∴点C的坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣3，﹣2），
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
二、填空题（本题共12分，每小题2分）
11．（2分）若分式的值等于零，则x的值是 x＝0 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．
【解答】解：由题意得，x＝0且x﹣1≠0，
∴x＝0．
故答案为：x＝0．
【点评】由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
12．（2分）分解因式：2m2﹣8＝ 2（m+2）（m﹣2） ．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：2m2﹣8，
＝2（m2﹣4），
＝2（m+2）（m﹣2）．
故答案为：2（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13．（2分）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC∥DF．添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．不增加任何新的字母或线，这个条件可以是 AC＝DF（答案不唯一） ．
【分析】要使得△ABC≌△DEF．由条件可得到AB＝DE，∠A＝∠FDB，再加条件AC＝DF，可以用SAS证明其全等．
【解答】解；添加AC＝DF；
∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+DB，
即：AB＝DE，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠FDB，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故答案为：AC＝DF（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，连接DE．则∠ADE的度数是 54° ．
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ABC＝∠C＝72°，然后利用BD平分∠ABC交AC于点D求得∠ADB的度数，利用三角形的内角和求得∠ADB的度数即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠A，
∵点E为AB的中点，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠A＝54°，
故答案为：54°．
【点评】考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形的等边对等角的性质，难度不大．
15．（2分）如图，在△ABC中，BC＝9，CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC于点E，DE＝3．则△BCD的面积为 ．
【分析】作DF⊥CB于F，应用角平分线的性质求出DF的长，由三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：作DF⊥BC于F，
∵CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC，
∴DF＝DE＝3，
∴△BCD的面积＝BC•DF＝×9×3＝．
故答案为：．
【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是作DF⊥BC于F，应用角平分线的性质．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），B（0，4），P（1，2），Q（2，﹣1），连接AB．在线段AB．上作点M，使得PM+QM最小，并求点M的坐标．
在探索过程中，同学们提出了三种不同的方法，作法与图示如下表：
其中正确的方法是 ② （填写序号），点M的坐标是 （2，2） ．
【分析】作点P关于直线AB的对称点P′，连接QP′交AB于点M，点M即为所求．
【解答】解：作点P关于直线AB的对称点P′，连接QP′交AB于点M，点M即为所求．
观察图形可知，方法②正确．M（2，2）．
故答案为：②，（2，2）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18题9分，第19-25题，每小题4分，第26题6分，第27-28题，每小题4分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（4分）计算：|﹣5|+2﹣2﹣（π﹣2022）0．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．
【解答】解：|﹣5|+2﹣2﹣（π﹣2022）0
＝5+﹣1
＝4+
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18．（9分）化简：
（1）（﹣ab）3÷（﹣）；
（2）（a+4）（a﹣4）﹣（a﹣1）2．
【分析】（1）根据积的乘方运算、整式的除法运算即可求出答案．
（2）根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝（﹣a3b3）•（﹣）
＝．
（2）原式＝a2﹣16﹣（a2﹣2a+1）
＝a2﹣16﹣a2+2a﹣1
＝2a﹣17．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用积的乘方运算、整式的除法运算、平方差公式以及完全平方公式，本题属于基础题型．
19．（5分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：BC＝DE．
【分析】先求出∠BAC＝∠DAE，再利用“边角边”证明△ABC和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴BC＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
20．（5分）在化简分式时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题．
解：原式＝……①
＝（x+1）（x﹣1）﹣•（x+1）（x﹣1）……②
＝2x﹣（x+1）……③
＝2x﹣x﹣1……④
＝x﹣1．……⑤
（1）甲同学从第 ② 步开始出错（填序号）；
（2）请你写出正确的解法．
【分析】（1）根据分式的加减计算得出结论即可；
（2）根据分式加减计算的运算法则得出结论即可．
【解答】解：（1）由题意知，甲同学从第②步开始出错，
故答案为：②；
（2）原式＝
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的加减计算，熟练掌握分式的加减计算是解题的关键．
21．（5分）先化简，再求值：（）•，其中x从﹣2，2，3三个数中任取一个合适的值．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（）•
＝•
＝•
＝x+2，
∵x+2≠0，x﹣3≠0，
∴x≠﹣2，x≠3，
∴当x＝2时，原式＝2+2＝4．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
22．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠CBA＝45°．
（1）求证：AC⊥AB；
（2）分别以点A，C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D（点D在AC的左侧），连接CD，AD，BD．求△ABD的面积．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得∠CBA＝∠ACB＝45°，然后利用三角形内角和定理求出∠CAB＝90°，即可解答；
（2）过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，根据题意可得：AC＝AD＝CD＝8，从而可得△ACD是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得∠DAC＝60°，从而利用平角定义可得∠DAE＝30°，最后在Rt△DEA中，利用含30度角的直角三角形的性质可得DE＝4，从而利用三角形的面积进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠CBA＝∠ACB＝45°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ACB﹣∠CBA＝90°，
∴AC⊥AB；
（2）解：过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，
由题意得：AC＝AD＝CD＝8，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，
∴∠DAE＝180°﹣∠DAC﹣∠CAB＝30°，
∴DE＝AD＝4，
∴△ABD的面积＝AB•DE＝×8×4＝16，
∴△ABD的面积为16．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（5分）解分式方程：1﹣＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣6x+5﹣x25+5x＝2，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝3是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，正确记忆解分式方程过程是解题关键..
24．（5分）课堂上，老师提出问题：
如图1，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区．现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活空场动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何确定活动中心P的位置？
小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的证明过程补充完整．
步骤1 分析：若要使得点P到点A，B的距离相等，则只需点P在线段AB的垂直平分线上；若要使得点P到OM，ON的距离相等，则只需点P在∠MON的平分线上．
步骤2 作图：如图2，作∠MON的平分线OC，线段AB的垂直平分线DE，DE交OC于点P，则点P为所求．
步骤3 证明：如图2，连接PA，PB，过点P作PF⊥ON于点F，PG⊥OM于点G．
∵PF⊥ON，PG⊥OM，
且 点P在∠MON的平分线上 （填写条件），
∴PF＝PG（ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 ）（填写理由）．
∵点P在线段AB的垂直平分线DE上，
∴PA＝PB（ 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 ）（填写理由）．
∴点P为所求作的点．
【分析】利用角平分线的性质，可得出PF＝PG，利用线段垂直平分线的性质，可得出PA＝PB，进而可得出点P为所求作的点．
【解答】证明：如图2，连接PA，PB，过点P作PF⊥ON于点F，PG⊥OM于点G．
∵PF⊥ON，PG⊥OM，
且 点P在∠MON的平分线上，
∴PF＝PG（ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．
∵点P在线段AB的垂直平分线DE上，
∴PA＝PB（ 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．
故答案为：点P在∠MON的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【点评】本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键．
25．（5分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°．点M在BC的延长线上，∠ABC的平分线交AC于点D．∠MCA的平分线与射线BD交于点E．
（1）依题意补全图形；用尺规作图法作∠MCA的平分线；
（2）求∠BEC的度数．
【分析】（1）根据尺规作图法即可作∠MCA的平分线；
（2）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD＝20°，∠MCE＝∠DCE＝70°，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，CE即为所求；
（2）∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝20°，
∵∠ACM＝180°﹣40°＝140°，CE是∠MCA的平分线，
∴∠MCE＝∠DCE＝70°，
∴∠BEC＝∠MCE﹣∠CBD＝70°﹣20°＝50°．
【点评】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
26．（6分）列分式方程解应用题．
当矩形（即长方形）的短边为长边的倍时，称这个矩形为黄金矩形．黄金矩形更具美感．如图是某位同学的书画作品，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形，要求装裱后的矩形宽与长之比等于0.6．边衬的宽度应设置为多少厘米？（注：≈0.618）
【分析】根据装裱后的矩形宽与长之比等于0.6列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设边衬的宽度设置为x厘米，
由题意得：＝0.6，
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原方程的解，
答：边衬的宽度应设置为10厘米．
【点评】本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
27．（7分）已知：在△ABC中，∠CAB＝2∠B．点D与点C关于直线AB对称，连接AD，CD，CD交直线AB于点E．
（1）当∠CAB＝60°时，如图1．用等式表示，AD与AE的数量关系是： AE＝AD ，BE与AE的数量关系是： BE＝3AE ；
（2）当∠CAB是锐角（∠CAB≠60°）时，如图2；当∠CAB是钝角时，如图3．
在图2，图3中任选一种情况，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AD，AE，BE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）在Rt△ADE中，∠D＝30°，可得AE＝AD；在Rt△BCE中，∠B＝30°，可得CE＝BE，在Rt△AEC中，∠CAB＝60°，可得CE＝AE，则BE＝3AE；
（2）①根据轴对称的性质画出图形即可；
②如图2，在BE上截取EG＝AE，连接CG，BE＝GB+EG＝AD+AE；如图3，在BA的延长线上截取AH＝AC，连接CH，AD＝BE+AE．
【解答】解：（1）由对称性可知∠ADE＝∠ACE，∠CAB＝∠CAB，CD⊥AB，
∵∠CAB＝60°，
∴∠DAE＝60°，
在Rt△ADE中，∠D＝30°，
∴AE＝AD；
∵∠CAB＝2∠B，
∴∠B＝30°，
在Rt△BCE中，CE＝BE，
在Rt△AEC中，CE＝AE，
∴BE＝AE，
∴BE＝3AE；
故答案为：AE＝AD，BE＝3AE；
（2）①如图：
②如图2，在BE上截取EG＝AE，连接CG，
由对称性可知AC＝AD，CE⊥AG，
∴AC＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA，
∵∠CAB＝2∠B，
∴∠CGA＝2∠B，
∴∠B＝∠BCG，
∴CG＝GB，
∴BG＝AD，
∴BE＝GB+EG＝AD+AE；
如图3，在BA的延长线上截取AH＝AC，连接CH，
∴∠AHC＝∠ACH，AH＝AD，
∴∠BAC＝2∠CHA，
∵∠CAB＝2∠B，
∴∠B＝∠CHA，
∵CE⊥BH，
∴HE＝BE，
∴AH﹣AE＝BE，
∴AD＝BE+AE．
【点评】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握轴对称的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和正方形OABC，给出如下定义：若点P关于y轴的对称点P'到正方形OABC的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形OABC的“k倍距离点”．
已知：点A（a，0），B（a，a）．
（1）当a＝4时，
①点C的坐标是 （0，4） ；
②在P1（﹣1，1），P2（﹣2，2），P3（2，2）三个点中， P1，P3 是正方形OABC的“3倍距离点”；
（2）当a＝6时，点P（﹣2，n）（其中n＞0）是正方形OABC的“2倍距离点”，求n的取值范围；
（3）点M（﹣2，2），N（﹣3，3）．当0＜a＜6时，线段MN．上存在正方形OABC的“2倍距离点”，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）①当a＝4时，可得点A（4，0），B（4，4）．根据四边形OABC是正方形，可得OC＝OA＝4，所以点C的坐标是（0，4）；
②根据点P1（﹣1，1）关于y轴的对称点坐标为（1，1），而点（1，1）到正方形OABC的边所在直线AB的最大距离是4﹣1＝3，到OA的最小距离为1，可得点P1是正方形OABC的“3倍距离点”，同理即可解决问题；
（2）当a＝6时，点A（6，0），B（6，6）．C（0，6），结合（1）即可解决问题；
（3）根据点M（﹣2，2），N（﹣3，3）关于y轴的对称点坐标为M′（2，2），N′（3，3），得直线M′N′的解析式为y＝x，设线段M′N′上一点P（m，m），则2≤m≤3，分两种情况讨论：当P在正方形内时，当P在正方形外时，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）①当a＝4时，如图1，点A（4，0），B（4，4）．
∵四边形OABC是正方形，
∴OC＝OA＝4，
点C的坐标是（0，4），
故答案为：（0，4）；
②∵点P1（﹣1，1）关于y轴的对称点坐标为（1，1），
而点（1，1）到正方形OABC的边所在直线AB的最大距离是4﹣1＝3，到OA的最小距离为1，
∴点P1是正方形OABC的“3倍距离点”；
同理可得点P2（﹣2，2）是正方形OABC的“1倍距离点”；
同理可得点P3（2，2）是正方形OABC的“3倍距离点”；
∴P1，P3是正方形OABC的“3倍距离点”，
故答案为：P1，P3；
（2）当a＝6时，如图2，点A（6，0），B（6，6）．C（0，6），
∵点P（﹣2，n）关于y轴的对称点坐标为（2，n），n＞0，
当0＜n＜2时，＞2，
当2≤n≤4时，＝2，
当4＜n＜6时，＞2，
当n≥6时，＝2，
∴＝2，
∴n＝12，
因为当n大于8最小距离不是P到BC而是P到OC距离为2，
∴n＝12，不符合题意舍去，
此时P'到正方形边的最小距离是2，最大距离是12，比值为6，
∴n＞6之后都不符合题意，
综上所述：点P（﹣2，n）（其中n＞0）是正方形OABC的“2倍距离点”时，n的取值范围是2≤n≤4；
（3）∵点M（﹣2，2），N（﹣3，3）关于y轴的对称点坐标为M′（2，2），N′（3，3），
设直线M′N′的解析式为y＝kx+b，
代入M′（2，2），N′（3，3）得，
，
∴，
∴直线M′N′的解析式为y＝x，
设线段M′N′上一点P（m，m），
则2≤m≤3，
当P在正方形内时，
①＝2，
∴a＝3m，
∴6≤a≤9（舍去）；
②＝2，
∴a＝m，
∴3≤a≤；
当P在正方形外时，
＝2，
∴a＝m，
此时不存在＝2的情况，
∴1≤a≤；
∵0＜a＜6，
∴线段MN上存在正方形OABC的“2倍距离点”，a的取值范围是1≤a≤或3≤a≤．
【点评】本题属于一次函数的综合题，考查了正方形的性质，平面直角坐标系，“k倍距离点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置．方法①
方法②
方法③
过点P作PM⊥AB于点M，则点M为所求.
作点P关于直线AB的对称点P'，连接P'Q交AB于点M，则点M为所求.
过点P作PC⊥AB于点C，过点Q作QD⊥AB于点D，取CD中点M，则点M为所求.
方法①
方法②
方法③
过点P作PM⊥AB于点M，则点M为所求.
作点P关于直线AB的对称点P'，连接P'Q交AB于点M，则点M为所求.
过点P作PC⊥AB于点C，过点Q作QD⊥AB于点D，取CD中点M，则点M为所求.