2025-2026学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷（含答案+解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列交通标志是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列每组数分别表示三根木棍的长度，能将这三根木棍首尾连接摆成三角形的是( )
A. 1 3 5B. 3 3 6C. 1 2 3D. 3 4 6
3.在平面直角坐标系xOy中，点M(1,2)关于x轴对称点的坐标为( )
A. (1,−2)B. (−1,2)C. (−1,−2)D. (2,−1)
4.下列运算正确的是( )
A. a2+a=a3B. a2⋅a=a2C. (a2)3=a5D. (a2b)2=a4b2
5.有些人可能有花粉过敏的现象，其实花粉粒的大小会影响我们的防护方法.花粉粒的大小因植物而异，一般在10到200微米之间.比如，春季常见的柏树花粉，它的粒径大约在20到30微米，而某些热带植物的花粉粒径则小于10微米.医用口罩可以有效阻挡直径大于3微米的花粉粒，在花粉高发季节，外出时佩戴口罩可以减少花粉吸入.若某种植物的花粉粒径为18微米，将18微米用科学记数法表示应为(注：1微米=10−6米)( )
A. 18×106米B. 18×10−6米C. 1.8×10−5米D. 1.8×10−6米
6.下列运算正确的是( )
A. 3a−2=a23B. a6a2=a3C. (a2+1)0=0D. (−b2a)2=b24a2
7.根据以下作图痕迹，能得到△ABC的角平分线AD的是( )
A. B.
C. D.
8.图1是一扇古建筑的窗棂，它的窗花格子由许多紧密连接的正三角形构成，图2是它的一部分.有以下三个结论：①△ACD和△AED全等；②△ABC和△AFG的面积相等；③△AEF是一个直角三角形，它的面积是△ABC面积的1.5倍.其中正确结论的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共7小题，每小题2分，共14分。
9.分解因式：2a2−4ab+2b2= .
10.下面是“过直线AB外一点C作直线AB的平行线”的尺规作图方法.
上述方法通过判定△FCM≌△GEH得到∠FCD=∠CEB，其中判定△FCM≌△GEH的依据是 .
11.如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=6.AD是△ABC的中线，过点D作DE//AB，交AC于点E.若△ABC的面积是24，则线段DE的长是 .
12.若关于x的方程k2x−k=1−2x的解为负数，则k的取值范围是 .
13.某班计划开展“好书换读”活动，同学们将自己的好书带到班级中，其他同学可以借阅，自愿参加.计划首批征集60本书，首批实际参与人数是原计划人数的2倍，平均每位同学比原计划少带了3本.若设原计划首批参与人数为x人，则所列的方程是 .
14.如图，在△ABC中，∠BAC=α，点D是△ABC的外角∠EAC的平分线和边BC的垂直平分线的交点，则∠DCB= (用含有α的式子表示).
15.如图，在△ABC中，∠ACB=120∘，AC=BC=4，若P是直线BC上的动点，则PA+12PB的最小值是 .
三、解答题：本题共11小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：
(1)a(a+b)+b(b−a)；
(2)(2x+y)(2x−y)−4x2xy.
17.(本小题7分)
计算：
(1)(m+n)2−(m−n)(m+3n)；
(2)m−1(m−n)2+1−n(n−m)2.
18.(本小题5分)
如图，在△ACE和△BDF中，点A，B，C，D在同一条直线上，∠A=∠1，CE//DF，AB=CD.求证：CE=DF.
19.(本小题5分)
如图，已知直线EF和△ABC，点A，B在直线EF上.
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)；
①过点C作直线EF的垂线，垂足为点G；
②作点C关于直线EF的对称点C1；
(2)若点C到直线EF的距离为1，∠CBF=30∘，求线段BC的长；
(3)在(2)的条件下，若AB=2BC，求△ABC1的面积.
20.(本小题5分)
如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，BE⊥BC，AE//BD，CE交BD于点F.
(1)求∠BAE的大小；
(2)判断△BEF的形状，并证明.
21.(本小题5分)
先化简代数式，再在给定的5个数中选取一个合适的数代入求值：(x+2x2−2x+1−xx2−4x+4)÷x−43x，其中x从0，1，2，3，4中选取.
22.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30∘，P为边BC上的一点(点P不与点B，C重合)，连接AP，△APC的两个内角的差恰好为90∘.
(1)求∠BAP的度数；
(2)若AP=n，求BC的长(用含有n的式子表示).
23.(本小题5分)
在校园科技节密码设计活动中，某班设计了一种基于因式分解的文件加密方式，操作步骤为：①选取能分解成三个因式的多项式，并因式分解；②对每个字母赋值，使得三个因式的值均为小于100的自然数，记所得的自然数为对应因式的因式码；③将三个因式码按从小到大的顺序排列(仅有一位的因式码前面补0变为两位)，形成六位数字密码.
例如选取多项式16a4−b4，分解因式得到(4a2+b2)(2a+b)(2a−b)；取a=4，b=5时，4a2+b2=89，2a+b=13，2a−b=3，三个因式码分别为89，13，3；将这三个因式码按从小到大的顺序排列并补位后，得到六位数字密码031389.
(1)依据该加密方式，对文件Ⅰ加密时，选取多项式x4−y4，取x=9，y=4，求形成的六位数字密码；
(2)依据该加密方式，对文件Ⅱ加密时，选取多项式4x3−xy2，形成的六位数字密码的前四位为0410.若x，y分别表示文件Ⅱ被加密时的月份和日期，求x，y的值.
24.(本小题6分)
某物流公司使用A，B两个机械臂完成一批货物的码垛工作，若A，B单独完成该项工作，则B所用时间是A所用时间的2倍.为提高效率，采取协同作业的方式：A，B共同工作1小时后，A经算法优化工作效率提高50%，再与B共同工作2小时恰好完成全部工作.
(1)求A在算法优化前单独完成该项工作所用的时间(列分式方程解决问题)；
(2)若该公司先将A，B的工作效率均提高50%，再协同作业，能否在2小时内完成该项工作？并说明理由.
25.(本小题7分)
在△ABC中，∠BAC=120∘，△ACD是等边三角形，点E在直线CD上，且BE=BC.
(1)如图1，点D在AC的上方.
①来证：∠ACB=∠DBE；
②用等式表示线段AB，AC，CE的数量关系，并证明；
(2)点D在AC的下方，在图2中补全图形，直接用等式表示线段AB，AC，CE的数量关系.
26.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P和垂直于x轴的直线l，给出如下定义：若点P关于直线l的对称点P′的横坐标和纵坐标相等，则称点P是直线l的“等变换点”.
(1)已知直线l过点A(2,0)且垂直于x轴.在P1(1,2)，P2(1,3)，P3(3,1)三个点中，直线l的“等变换点”是______；
(2)已知点B(4,1)，C(4,−1)，直线l1过点D(k,0)且与x轴垂直，直线l2过点E(k+0.5,0)且与x轴垂直.以线段BC为边向右侧作正方形，若该正方形上既存在直线l1的“等变换点”又存在直线l2的“等变换点”，则k的取值范围是______；
(3)已知直线l过点M(m,0)且垂直于x轴，过点F(2m,m+1)作FG垂直直线l于点G.若以线段FG为公共边的两个正方形组成的长方形及其内部存在直线l的“等变换点”，则m的取值范围是______.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A，C，D不是轴对称图形，B是轴对称图形，
故选：B.
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、1+36，能摆成三角形，故D符合题意．
故选：D.
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
3.【答案】A
【解析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
解：点M(1,2)关于x轴对称点的坐标为(1,−2).
故选：A.
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
4.【答案】D
【解析】解：a2与a不是同类项，无法合并，则A不符合题意，
a2⋅a=a3，则B不符合题意，
(a2)3=a6，则C不符合题意，
(a2b)2=a4b2，则D符合题意，
故选：D.
利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法及合并同类项法则逐项判断即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵1微米=10−6米，
∴18微米=18×10−6米=1.8×10−5米．
故选：C.
首先根据1微米=10−6米，判断出18微米=18×10−6米；然后根据用科学记数法表示较小的数的方法，将18微米用科学记数法表示即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|0，∴(a2+1)0=1，故此选项不符合题意；
D、(−b2a)2=b24a2，故此选项符合题意；
故选：D.
根据负整数指数幂法则、同底数幂的除法法则、零指数幂法则、分式的乘方法则分别计算判断即可．
本题考查了负整数指数幂、同底数幂的除法、零指数幂、分式的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由题意选项B中的线段AD是△ABC的角平分线．
故选：B.
利用作图痕迹判断即可．
本题考查作图-基本作图，三角形的害怕关系，中线和高，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
8.【答案】C
【解析】解：如图，连接AB，AC，AE，AF，AG，EG，
设每个小正三角形的边长为1，则小正三角形的高为 32，
①△ACD和△AED中，
∵CD=DE，∠CDA=∠EDA=120∘，DA=DA，
∴△ACD≌△AED(SAS)，
故结论①正确，符合题意；
②S△ABC=12BC⋅h=12×2× 32= 32，
∵AF=4× 32=2 3，△AFG的高GH=12，
S△AFG=12AF×12= 32，
∴S△ABC=S△AFG，
故结论②正确，符合题意；
③△AEF是一个直角三角形，直角边AF=2 3，直角边EF=1，
∴S△AEF=12×2 3×1= 3，
由②知△ABC面积 32，
∴△AEF的面积是△ABC面积的2倍，
故结论③错误，不符合题意，
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C.
根据题意，设每个小正三角形的边长为1，则小正三角形的高为 32，利用三角形全等的判定方法，三角形的面积，逐一判断各结论，可得到结果．
本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握相关性质是解题的关键．
9.【答案】2(a−b)2
【解析】解：原式=2(a2−2ab+b2)=2(a−b)2.
故答案为：2(a−b)2
原式提取2变形后，利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10.【答案】SSS
【解析】解：在△FCM和△GEH中，
CF=EGCM=EHFM=GH，
∴△FCM≌△GEH(SSS).
∴判定△FCM≌△GEH的依据是SSS.
故答案为：SSS.
三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案．
本题考查全等三角形的判定，作图-基本作图，关键是掌握SSS.
11.【答案】3
【解析】解：在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=6，其面积是24，
∴12AB⋅AC=24，
∴AC=48AB=488=8，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴△ACD的边CD上的高与△ABD的边BD上的高相同，
∴S△ACD=S△ABD=12S△ABC=12，
∵DE//AB交AC于点E，
∴∠DEC=∠BAC=90∘，
∴DE⊥AC，
∴S△ACD=12AC⋅DE=12，
∴DE=24AC=248=3，
∴线段DE的长是3.
故答案为：3.
根据三角形面积公式求出AC=8，根据AD是△ABC的中线得S△ACD=S△ABD=12S△ABC=12，再根据DE//AB得DE⊥AC，进而由三角形面积公式S△ACD=12AC⋅DE=12，据此即可得出线段DE的长．
此题主要考查了三角形的中线，平行线的性质，三角形的面积，理解等底(或同底)同高(等高)的两个三角形的面积相等，熟练掌握三角形的面积公式，平行线的性质是解决问题的关键．
12.【答案】k