2022-2023学年北京市朝阳区八年级（下）期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市朝阳区八年级（下）期末考试数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市朝阳区八年级（下）期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 化简 (−5)2的结果是(    )
A. 5 B. −5 C. ±5 D. 25
2. 直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若a=5，c=13，则b的值为(    )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 144
3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC ，BD 相交于点O，∠ABD=30∘，BD=2 3，则AB 的长为(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 3
4. 在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y=kx+b的图像由直线y=kx(k>0)向上平移3个单位长度得到，则一次函数y=kx+b的图像经过的象限是(    )
A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限
5. 如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角α的度数为(    )

A. 90∘ B. 45∘ C. 30∘ D. 22.5∘
6. 下表是某校乒乓球队队员的年龄分布：
年龄/岁
13
14
15
16
17
频数
2
6
8
3
1
则这些队员年龄的众数是(    )

A. 6 B. 8 C. 14 D. 15
7. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB ，BC ，AC 的中点，若AB=12 ，BC=14 ，则四边形BDFE 的周长为(    )

A. 13 B. 21 C. 26 D. 52
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①铁的密度为7.9g/cm3，铁块的质量m(单位：g )与它的体积V(单位：cm3)；
②一个等腰三角形的周长为12cm，它的底边长y(单位：cm )与腰长x(单位：cm )；
③正方形的面积S(单位：cm2)与它的边长x(单位：cm ).
其中，两个变量之间的函数关系可以用形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的式子表示的是(    )

A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①②
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若二次根式 x−3有意义，则x的取值范围是          ．
10. 计算： 14÷ 7=           ．
11. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？”(说明：1丈=10尺).如图，根据题意，设折断后竹子顶端落在点A处，竹子底端为点B，折断处为点C，可以求得折断处离地面的高度BC的长为          尺．

12. 如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图，要选一位成绩稳定的运动员去参加比赛，应选的运动员是          .(填“甲”或“乙”)．

13. 下列命题：①如果两个实数相等，那么它们的平方相等；②如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2；③平行四边形的对角线互相平分．其中逆命题是真命题的是          (填写所有正确结论的序号)．
14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2,0)，B(4,0).分别以点O，B为圆心，大于OA的长为半径画弧，两弧相交于点C，作直线AC ，以点A为圆心，1为半径画弧，与AC 相交于点E，连接OE ，则OE 的长为          ．

15. 在平面直角坐标系xOy中，点A(x,y)在第二象限，且12x+y=4，点B(8,0)，若△OAB的面积为20，则点A的坐标为          ．
16. 如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，E是DC 延长线上一个动点，点G在射线CB 上(不与点C重合)，H是DF 的中点，连接GH .若AD=4 ，则GH 的最小值为          ．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 计算： 2( 18+ 24)− 12．
四、解答题（本大题共9小题，共47.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题5.0分)
已知a= 2+1，b= 2−1，求代数式a2−b2的值．

19. (本小题5.0分)
在某校组织的“人与自然”主题绘画活动中，该校的每位同学都上交了一幅作品，在本次活动中，评委从美术表现和创造实践两项对作品打分，各项得分均按百分制计．对所有作品的得分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a.所有作品美术表现和创造实践的单项得分的平均数、中位数如下：
评分项
平均数
中位数
美术表现
86.5
85
创造实践
86
88
b.甲、乙两位同学作品的得分如下：

美术表现
创造实践
甲
86
87
乙
85
88
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在所有作品中，记在美术表现这一项中，得分高于该项的平均分的学生作品个数为p1；记在创造实践这一项中，得分高于该项的平均分的学生作品个数为p2，则p1___________p2(填“>”，“=”或“<”)．
(2)若按美术表现占60%，创造实践占40%计算每位同学作品的平均得分，那么乙同学作品的平均得分是___________，甲、乙两位同学作品的平均得分排名更靠前的同学是___________(填“甲”或“乙”)．

20. (本小题5.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y=k1x+b1，和l2:y=k2x+b2；相交于点A．
  
(1)观察图像，直接写出方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解．
(2)若直线l2:y=k2x+b2与y轴的交点为0,−4，求一次函数y=k2x+b2的表达式．

21. (本小题5.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，直线l经过点O，且与AB ，CD分别相交于点E，F，连接AF,CE．
  
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠AEF=∠CEF，求证：四边形AECF是菱形．

22. (本小题5.0分)
某公司安排A，B两个车间生产同一款产品，每天这两个车间都是每小时生产100 件该产品，且生产前没有产品积压，生产一段时间后再安排产品装箱，当天全部产品装箱完毕结束生产．设每天的产品生产时间为x(单位：小时)，生产过程中未装箱产品数量为y(单位：件)．
(1)某天A车间生产过程中，未装箱产品数量y与产品生产时间x的关系如图所示．
  
结合图像：
①当0 ②开始安排产品装箱时，未装箱产品数量为_____________件；
③当天全部产品装箱完毕时，产品生产时间为_____________小时．
(2)同一天B车间生产过程中，开始安排产品装箱后，未装箱产品数量y与产品生产时间x近似满足函数关系y=−60x+540.记这一天A车间开始安排产品装箱时，产品生产时间为x 1，B车间开始安排产品装箱时，产品生产时间为x 2，则x 1_________x 2(填“>”，“=”或“<”)．

23. (本小题5.0分)
某校为了解学生一分钟跳绳个数的情况，随机抽取了60名学生进行调查，获得他们的一分钟跳绳个数(单位：个)，对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a.一分钟跳绳个数的频数分布直方图如下(数据分成4组：160⩽x<170，170⩽x<180，180⩽x<190，190⩽x⩽200)：
  
b.一分钟跳绳个数在180⩽x<190 这一组的是：
180，180，182，182，183，183，183，184，184
185，185，185，186，186，186，188，188，189
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出频数分布直方图中m的值；
(2)某同学的一分钟跳绳个数是187，由此可以推断这位同学的一分钟跳绳个数超过该校一半以上同学的一分钟跳绳个数，理由是____________________________；
(3)该校准备确定一个一分钟跳绳个数嘉奖标准n(单位：个)，对一分钟跳绳个数大于或等于n的学生进行嘉奖．若要使25％的学生获得嘉奖，则n的值可以是_____________．

24. (本小题5.0分)
小明根据学习函数的经验，对函数y=12x+|x|的图像与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程．
(1)函数y=12x+|x|的自变量x的取值范围是_________________；
(2)下表是y与x的几组对应值：
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
y
…
32
1
12
m
32
3
92
…
写出表中m的值；
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图像；
  
(4)小明结合该函数图像，解决了以下问题：
①对于图像上两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，若0”，“=”或“<”)；
②当x>0时，若对于x的每一个值，函数y=12x+|x|的值小于正比例函数y=kx(k≠0)的值，则k的取值范围是_______________．

25. (本小题6.0分)
如图，四边形ABCD 是矩形(AB
(1)求证：BC=DF；
(2)G是EF 的中点，连接DG ，依题意补全图形，用等式表示线段DA ，DC ，DG 之间的数量关系，并证明．

26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)和点Q给出如下定义：若点Q的坐标为(x,ny)(n>0)，则称点Q为点P的“n倍点”．
(1)①若点P(3,3)，点Q为点P的“13倍点”，则点Q的坐标为___________；
②当P是直线y=x+1与x轴的交点时，点P的“n倍点”的坐标为___________．
(2)已知点A(2,3)，B(6,3)，C(8,5)，D(4,5)．
①若对于直线AD 上任意一点Q，在直线y=2x+2上都有点P，使得点Q为点P的“n倍点”，求n的值；
②点P是直线y=kx+2k(k>0)上任意一点，若在四边形ABCD的边上存在点P的“n倍点”，且n=k，直接写出k的取值范围．

答案和解析

1.【答案】A 
【解析】
【分析】根据算术平方根计算即可．
【详解】解： (−5)2= 25=5，
故选：A．
  
2.【答案】C 
【解析】
【分析】根据题意，已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一直角边时直接利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由勾股定理的变形公式可得：b= c2−a2= 132−52=12，
故选：C．
  
3.【答案】B 
【解析】
【分析】利用菱形的性质，求出∠AOB=90∘，得出三角形ABO 是直角三角形，再设AB=x，运用勾股定理求出AB．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，AC ，BD 是对角线，∠ABD=30∘，
∴∠ABD=∠CBD=30∘，AC⊥BD，
∴∠ABC=60∘，∠BAC=60∘，∠AOB=90∘，即三角形ABO 是直角三角形，
又∵BD=2 3，
∴BO= 3，
设AB=x，则AO=12x，
根据勾股定理可得，(12x)2+( 3)2=x2，
解得x=2，
故选：B．
  
4.【答案】A 
【解析】
【分析】向上平移，则b=3，根据图像位置与系数的关系判断．
【详解】解：由题知，b=3，
∵k>0
∴函数图象位于第一、二、三象限．
故选：A．
  
5.【答案】B 
【解析】
【分析】如图，折痕为AC 与BD ，∠ABC=90∘，根据正方形的性质：正方形的对角线平分对角，可得∠ABD=45∘，∠BAC=45∘.所以剪口与折痕所成的角α的度数应为45∘．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=12∠ABC，∠BAC=12∠BAD，∠ABC=∠BAD=90∘，

∴∠ABD=45∘，∠BAC=45∘．
∴剪口与折痕所成的角α的度数应为45∘．
故选：B．
  
6.【答案】D 
【解析】
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合所给数据即可得出答案．
【详解】解：13、14、15、16、17中，15出现出现次数最多，故这组数据的众数为15，
故答案为：15．
  
7.【答案】C 
【解析】
【分析】根据D，E，F分别是边AB ，BC ，AC 的中点，可判定四边形BDFE 是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形BDFE 的周长．
【详解】解：∵D，E，F分别是边AB ，BC ，AC 的中点，
∴DF//BC，EF//AB，
DF=12BC=12×14=7，EF=12AB=12×12=6，
∴C▱BDFE=2(DF+EF)=2×(7+6)=26，
故选：C
  
8.【答案】D 
【解析】
【分析】根据变量之间的关系写出函数解析式即可求解．
【详解】①∵铁的密度为7.9g/cm3，铁块的质量m(单位：g )与它的体积V(单位：cm3)，
∴m=7.9V，故符合题意；
②∵一个等腰三角形的周长为12cm，它的底边长y(单位：cm )与腰长x(单位：cm )，
∴y=−2x+12，故符合题意；
③∵正方形的面积S(单位：cm2)与它的边长x(单位：cm )，
∴S=x2，故不符合题意．
故选D．
  
9.【答案】x≥3 
【解析】
【分析】
本题考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是关键．
先根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数得不等式，再解不等式即可解答．
【解答】
解：由题意得：x−3≥0，
解得x≥3.  
10.【答案】 2 
【解析】
【分析】根据二次根式的除法计算即可．
【详解】解： 14÷ 7= 14÷7= 2
故答案为： 2．
  
11.【答案】4.55 
【解析】
【分析】设BC=x尺，则AC=(10−x)尺，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设BC=x尺，则AC=(10−x)尺，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理可得AB2+BC2=AC2，
即32+x2=(10−x)2，
解得：x=4.55，即BC的长为4.55尺；
故答案为：4.55．
  
12.【答案】甲 
【解析】
【分析】观察图象判断甲、乙的方差大小，得出结论即可．
【详解】解：利用图象直接观察甲、乙射击环数的波动情况，会看到甲的波动程度小于乙的波动程度，由此估计甲的方差小于乙的方差，因此应选甲；
故答案为：甲．
  
13.【答案】②③/③② 
【解析】
【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：①原命题的逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么这两个数相等，是假命题，不符合题意；
②原命题的逆命题为：如果三角形的三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，符合题意；
③原命题的逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意；
故答案为：②③．
  
14.【答案】 5 
【解析】
【分析】连接OC，BC，根据坐标得出AO=AB=2，再根据作图可知：OC=BC，AE=1，可得AC⊥AO，在Rt△OAE中，利用勾股定理即可求解．
【详解】连接OC，BC．

∵A(2,0)，B(4,0)，
∴AO=2，BO=4，
∴AO=AB=2，
根据作图可知：OC=BC，AE=1，
∴AC⊥AO，
∴在Rt△OAE中，OE= AO2+AE2= 22+12= 5，
故答案为： 5．
  
15.【答案】−2,5 
【解析】
【分析】由点A的坐标可得出OA 的长，利用三角形的面积公式可求出OB 的长，进而可得出点A 的坐标．
【详解】解：∵点A的坐标为(x,y)，且12x+y=4，点A在第二象限，
∴A(x,4−12x)，
∴ OB 边上的高为4−12x，
∵点B(8,0)，
∴OB=8，
∵S△OAB=20，即12×8×(4−12x)=20，
解得：x=−2，
∴4−12x=4+1=5，
点A的坐标为(−2,5)．
故答案为：−2,5．
  
16.【答案】  2 
【解析】
【分析】延长GH 交CD 于点M，证明△FHG≌△DHM(ASA)，则DM=FG,GH=MH，得到GM=2GH，设DM=FG=x，则GC=GF=x，CM=CD−DM=4−x，
在Rt△CMG中，由勾股定理得到GM2=CM2+GC2=(4−x)2+x2=2(x−2)2+8，进一步得到GM⩾2 2，即可得到GH 的最小值．
【详解】解：延长GH 交CD 于点M，
  
∵四边形ABCD 是正方形，AD=4 ，
∴ CD=AD=4 ，∠BCD=90∘，
∵四边形CEFG 是正方形，E是DC 延长线上一个动点，
∴FG//DE，GF=GC，
∴∠HFG=∠HDM，
∵H是DF 的中点，
∴DH=FH，
∵∠FHG=∠DHM，
∴△FHG≌△DHM(ASA)，
∴DM=FG,GH=MH，
∴GM=2GH，
设DM=FG=x，则GC=GF=x，CM=CD−DM=4−x，
在Rt△CMG中，GM2=CM2+GC2=(4−x)2+x2=2(x−2)2+8，
∵2(x−2)2⩾0，
∴2(x−2)2+8⩾8，
∴GM2⩾8，即GM⩾2 2，
∴2GH⩾2 2，
∴GH⩾ 2，
即GH 的最小值为 2．
故答案为： 2
  
17.【答案】解：原式=6+4 3−2 3
=6+2 3
 
【解析】
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则求解即可．  
18.【答案】解：a2−b2=(a+b)(a−b)．
当a= 2+1，b= 2−1时，
原式=( 2+1+ 2−1)( 2+1− 2+1)
=2 2×2
=4 2．
 
【解析】
【分析】把原式分解因式后，直接代入求值即可．  
19.【答案】(1)<；
(2)86.2；甲．
 
【解析】
【分析】(1)根据中位数和平均数的意义即可解答；
(2)根据加权平均数的定义可求得乙同学作品的平均得分，再求出甲的加权平均数，与乙比较即可解答．
【详解】(1)解：由美术表现的平均数大于中位数，则得分高于该项的平均分的学生作品个数为p1小于所有学生数的一半；由创造实践的平均数小于于中位数，则得分高于该项的平均分的学生作品个数为p2大于所有学生数的一半，故p1 故答案为<．
(2)解：乙同学作品的平均得分为85×60％+88×40％=86.2，
甲同学作品的平均得分为86×60％+87×40％=86.4，
因为86.4>86.2，则甲、乙两位同学作品的平均得分排名更靠前的同学是甲
故答案为86.2 ，甲．
  
20.【答案】(1)x=2y=−1；
(2)解：∵直线y=k2x+b2与y轴的交点为(0,−4)，
∴b2=−4，
∵直线y=k2x−4过点A(2,−1)，
∴2k2−4=−1．
∴k2=32，
∴这个一次函数的表达式是y=32x−4．
 
【解析】
【分析】(1)根据点A坐标可直接得出答案；
(2)利用待定系数法求解即可．
【详解】(1)解：∵直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2相交于点A(2,−1)，
∴方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解为x=2y=−1；
(2)见答案．
  
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，AO=CO，
∴∠BAC=∠DCA．
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴OE=OF．
∴四边形AECF 是平行四边形．
(2)∵AE//CF，
∴∠AEF=∠CFE．
∵∠AEF=∠CEF，
∴∠CEF=∠CFE．
∴CE=CF．
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
 
【解析】
【分析】(1)证明△AOE≌△COF(ASA)，则OE=OF.由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到结论；
(2)由AE//CF得到∠AEF=∠CFE.又由∠AEF=∠CEF，得到∠CEF=∠CFE.则CE=CF.由邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论．
  
22.【答案】(1)①y=100x；② 300 ；③9;
(2)<．
 
【解析】
【分析】(1)①由待定系数法求出y关于x的函数表达式即可；
②由图象可知，前3个小时未装箱产品数量y与时间x的关系满足每小时所增加的未装箱产品数量为100，与该车间每小时生产的产品数量相同，即可得到答案；
③由图象可知，当天全部产品装箱完毕时，此时y=0，x=9，即可得到答案；
(2)由题意得到100x=−60x+540，即可得到B车间开始安排产品装箱时，产品生产时间为x 2=3.375，又由A车间开始安排产品装箱时，产品生产时间为x 1=3，即可得到答案．
【详解】(1)解：①设当0 设y关于x的函数表达式为y=kx，把(3,300)代入y=kx得，
300=3k，
解得k=100，
∴当0 ②由图象可知，前3个小时未装箱产品数量y与时间x的关系满足每小时所增加的未装箱产品数量为100，与该车间每小时生产的产品数量相同，
∴当开始安排产品装箱时，即3小时时未装箱产品数量y=300，
故答案为：300
③由图象可知，当天全部产品装箱完毕时，此时y=0，x=9，故产品生产时间为9小时，
故答案为：9
(2)∵B车间每小时生产100件产品，未开始安排产品装箱时，未装箱产品数量y与时间x的关系满足y=100x，开始安排产品装箱后，未装箱产品数量y与x近似满足函数关系y=−60x+540．
令100x=−60x+540，
则x=3.375，
故当时间x=3.375小时时，未装箱产品数量y与开始随着时间逐渐减少，
由上可知，A车间开始安排产品装箱时，产品生产时间为x 1=3，
B车间开始安排产品装箱时，产品生产时间为x 2=3.375，
∴x 1 故答案为：<
  
23.【答案】(1)解：m=60−8−20−18=14，
∴m的值为14；
(2)解：由题意知，样本数据的中位数是第30，31位数的平均数为180+1822=181，
∴可以估计该校大约有一半学生的一分钟跳绳个数不多于181．
∵某同学的一分钟跳绳个数是187，大于中位数181，
∴可以推断这位同学的一分钟跳绳个数超过该校一半以上同学的一分钟跳绳个数．
(3)189．
 
【解析】
【分析】(1)根据m=60−8−20−18，计算求解即可；
(2)根据中位数进行判断作答即可；
(3)由60×25％=15，可知从大到小，第15个数为189，然后作答即可．
【详解】(1)见答案；
(2)见答案．
(3)解：∵60×25％=15，
从大到小，第15位数为189，
∴n的值可以是189，
故答案为：189．
  
24.【答案】解：(1)全体实数；
(2)把x=0代入函数y=12x+|x|，得y=0，所以m=0．
(3)该函数图象如图所示：
  
(4)①<；
②k>32．
 
【解析】
【分析】(1)无论x取任何实数，该函数y=12x+|x|都有意义，则自变量x的取值范围是全体实数；
(2)把x=0代入函数，即可求得m的值；
(3)根据表中的数值描点，连线即可得到函数图象；
(4)①根据函数的增减性判断即可；
②当x>0时，函数可化为y=32x，结合函数y=kx(k≠0)的图象即可解答．
【详解】(1)无论x取任何实数，该函数y=12x+|x|都有意义，则自变量x的取值范围是全体实数；
故答案为：全体实数
(2)见答案 ；
(3)见答案；  
(4)①由图象可得，当x<0时，图象从左到右下降，即y随x的增大而减小；
当x>0时，图象从左到右上升，即y随x的增大而增大．
∴图像上两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，当0 故答案为：<
②当x>0时，y=12x+|x|=12x+x=32x
若对于x的每一个值，函数y=12x+|x|的值小于正比例函数y=kx(k≠0) 的值，则k>32
故答案为：k>32
  
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB//CD，
∴∠BAF=∠F，
∵AF平分∠DAB，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠DAF=∠F，
∴AD=DF，
∵AD=BC，
∴BC=DF．
(2)解：依题意补全图形，如图．

线段DA ，DC ，DG 之间的数量关系是：DA2+DC2=2DG2．
证明：连接BG ，CG ，BD ．

在Rt△ECF中，G 是EF 的中点，
∴CG=EG=FG，
∵∠ADF=90∘，AD=DF，
∴∠F=45∘，
∴∠CGF=90∘，∠BCG=∠F=45∘，
∴△BCG≌△DFG，
∴BG=DG，∠BGC=∠DGF，
∴∠BGD=∠CGF=90∘，
∴BD= 2DG，
∵BD2=BC2+DC2=DA2+DC2，
∴DA2+DC2=2DG2．
 
【解析】
【分析】(1)根据矩形的性质得出∠BAF=∠F，再证明AD=DF，等量代换即可得出答案；
(2)依题意补全图形，线段DA ，DC ，DG 之间的数量关系是：DA2+DC2=2DG2.连接BG ，CG ，BD .先证明CG=EG=FG，再证明∴△BCG≌△DFG，进而得出BD= 2DG，根据BD2=BC2+DC2=DA2+DC2，即可得出结论．
  
26.【答案】(1)①3,1；②−1,0
(2)解：①设过点A(2,3)，D(4,5)的直线为y=kx+b，
2k+b=3,4k+b=5.        解得k=1,b=1.
∴直线AD 的表达式为y=x+1．
∴Q(x,x+1)．
∵点P在直线y=2x+2上，∴P(x,2x+2)．
∴n=12．
  ② 64⩽k⩽ 306
 
【解析】
【分析】(1)①直接根据题中定义求解即可；②先求得与x轴的交点坐标，再根据定义求解即可；
(2)①先利用待定系数法求得直线AD 的表达式为y=x+1.则Q(x,x+1)，又P(x,2x+2)，利用题中定义可求得n值；
②先得出AB//CD//x轴，BC//AD，再求得直线BC 的表达式为y=x−3，设P(x,kx+2k)，则点P的“n倍点”Q(x,k2x+2k2)，分点Q在边AD 上时、
点Q在边BC 上时、点Q在边AB 上时、点Q在边BC 上时，求得38⩽k2⩽56，进而可求解．
【详解】(1)解：①根据定义，点Q的坐标为3,1，
故答案为：3,1；
②由y=x+1=0得x=−1，∴P(−1,0)，
∴点P的“n倍点”的坐标为−1,0，
故答案为：−1,0；
(2)解：①见答案．
 ②设P(m,km+2k)，若点P的“k倍点”为A(2,3)，
则m=2(km+2k)k=3
解得k=± 32，
∵k>0，
∴k= 32;
同理若点P的“k倍点”为B(6,3)，可得k= 64;若点P的“k倍点”为C(8,5)，可得k= 22;
若点P的“k倍点”为D(4,5)，可得k= 306，
∴当 64≤k≤ 32时，P的“k倍点”在边AB上;
当 32≤k≤ 306时，P的“k倍点”在边AD上;
当 64≤k≤ 22时，P的“k倍点”在边BC上;
当 22≤k≤ 306时，P的“k倍点”在边CD上;
∵在四边形ABCD的边上存在点P的“n倍点”，且n=k，
∴k的取值范围是 64≤k≤ 306．