安徽省蚌埠市第二中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

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满分：150分 考试时间：120分钟
命题人：李亮 审题人：王琦
注意事项：
所有选择题的答案必须用2B铅笔填涂在答题卡中相应的位置，否则，该大题不予计分．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 用5种不同的颜色对如图所示的A，B，C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有（ ）种不同的着色方法．
A. 60B. 64C. 80D. 125
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，按用色多少分类，再利用分步乘法计数原理列式计算即得.
【详解】依题意，对A，B，C区域进行着色，可以用2种颜色，也可以用3种颜色，
用2种颜色，则A，C必同色，不同着色方法有（种），
用3种颜色，不同着色方法有（种），
所以不同着色方法共有（种）.
故选：C
2. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. 10C. D. 80
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出的系数.
【详解】在的展开式中，项为，
所以的系数为.
故选：A
3. 已知函数没有极值点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导，由题意可得，即可得解.
【详解】，是开口向上的二次函数，
因为函数没有极值点，则，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：B.
4. 1949年10月1日，开国大典结束后，新成立中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（ ）
A. 240B. 480C. 384D. 1440
【答案】B
【解析】
【分析】利用插空法求解.
【详解】鲍鱼浓汁四宝、蟹粉狮子头、清炒翡翠虾仁和全家福依次而上有种排列方式，
此时形成个空位，选出个空位将东坡肉方和鸡汁煮干丝分别插入进去，共有种排列方式，
由乘法原理可知不同的上菜顺序种数为，
故选：.
5. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二倍角公式化简函数，再利用图象的平移变换结合余弦型函数是奇函数的条件列式求解即得.
【详解】依题意，函数，，
由函数为奇函数，得，解得，而，
所以.
故选：D
6. 甲、乙两位游客慕名来到江城武汉旅游，准备分别从黄鹤楼、东湖、昙华林和欢乐谷4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择黄鹤楼，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据独立概率乘法公式结合条件概率公式运算求解.
【详解】设事件M：甲选择黄鹤楼，事件N：乙选择黄鹤楼，
可知，
因为事件：甲和乙均没有选择黄鹤楼，
可得，所以，
又因为事件：甲和乙至少一人选择黄鹤楼，且甲和乙选择的景点不同，
自然，
所以.
故选：A.
7. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为
若，，则b的值可以是（ ）
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项式定理求出被5除得的余数，再逐项验证即得.
【详解】依题意，
，
显然是正整数，因此被5除得余数是1，
而被5除得的余数分别是1，2，3，4，
所以b的值可以是2021.
故选：A
8. 已知角为锐角，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角三角函数的平方关系弦化切结合导数求最值计算.
【详解】.
令，因为为锐角，所以.
令，
则，设，
所以，在时是单调递增函数.
又，所以当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以.
所以当时，的最小值为2.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在的展开式中（ ）
A. 二项式系数之和为B. 第项的系数最大
C. 所有项系数之和为D. 不含常数项
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意，利用二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，通过给变量赋值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】由于二项式系数之和为，故A正确．
设展开式第项为，
易知的系数均小于0，且，故第项的系数最大，为80，故B正确,
令得所有项系数之和为，故C错误，
当，则，但，故展开式不含常数项，D正确．
故选：ABD．
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 直线是的图象的一条对称轴
C. 函数是奇函数
D. 函数在上单调递减
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出的解析式，再逐项判断得解.
【详解】观察图象知，函数的周期，则，
由，得，又，则，，
对于A，，A正确；
对于B，由，得直线不是的图象的对称轴，B错误；
对于C，是奇函数，C正确；
对于D，当时，，而正弦函数在上递减，
因此函数在上单调递减，D正确.
故选：ACD
11. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件，存在如下关系:．对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡、支付宝或微信进行支付．已知使用信用卡支付用户占总用户的，使用支付宝支付的用户占总用户的，其余的用户使用微信支付．平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是，若一个遇到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为，则以下说法正确的是（ ）
A. 使用信用卡支付的用户中有的人遇到支付问题
B. 使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到支付问题的概率不同
C. 要将出现支付问题的概率降到，可以将信用卡支付通道关闭
D. 减少微信支付的人数有可能降低出现支付问题的概率
【答案】AC
【解析】
【分析】根据贝叶斯公式分别求出使用信用卡，支付宝、微信支付出现支付问题的概率即可判断.
【详解】设、、分别表示事件使用信用卡支付、使用支付宝支付、使用微信支付，
表示事件出现支付问题，
则，，，
所以，
即使用信用卡支付的用户中有的人遇到支付问题，故A正确；
因为，，
即使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到支付问题的概率相同，故B错误；
因为使用信用卡支付的用户中有的人遇到支付问题，
而使用微信支付的用户中只有的人遇到支付问题，
故减少信用卡支付的人数有可能降低出现支付问题的概率，故D错误；
要将出现支付问题的概率降到，可以将信用卡支付通道关闭，故C正确；
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 蚌埠二中高二年级上学期期中考试表彰会上2名男同学和4名女同学从左至右排成一排上台领奖，则女生甲与女生乙相邻，且女生丙与女生丁不相邻的排法种数为________．
【答案】144
【解析】
【分析】根据给定条件，利用捆绑法和插空法列式计算即得.
【详解】依题意，把女生甲与女生乙视为一个整体，同2名男生一起排列，有种，
把女生丙与女生丁插入上述的一个排列形成的间隙中，有种，
所以不同排法种数是.
故答案为：144
13. 设，则________．
【答案】21
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二项式展开式的通项公式分析求解即可.
【详解】二项式展开式的通项公式为，
所以.
故答案为：21
14. 高一年级6个班级去苏州、黄山、厦门三个地方修学旅行，每个城市至少有一个班前去，其中1班和2班不能去同一个地方，则共有_________种不同分配方法？
【答案】390
【解析】
【分析】
先将6个班级分成3组，分，，三大类情况讨论，结合均匀分组、不均匀分组分析即可得到答案..
【详解】由题意，可将问题分为三种情况：
（1）当时，先将6个班级分成3组，两组1个班，一组4个班，再分配到三
个地方研修有种不同分配，其中1、2班取同一地方共种不同分配，
故共有（种）；
（2）当时，先将6个班级分成3组，一组1个班，一组2个班，一组3个
班，再分配到三个地方研修有种不同分配，其中1、2班取同一地方共
种不同分配，故共有（种）
（3）当时，先将6个班级均匀分成3个组，每组2个班级，再分配到三个地
方研修有种不同分配，其中1、2班取同一地方共种不同分配，
故共有（种），
综上共有（种）.
故答案为：390
【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，涉及到均匀分组、不均匀分组、间接法等的运用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由同角关系式求得，然后由两角差的正切公式求解；
（2）由两角差的正切公式求得，再利用二倍角公式、同角关系化为齐次式，再得关于的式子，代入求值．
【小问1详解】
因为，所以，
所以，
所以.
【小问2详解】
，
所以.
16. 已知二项式展开式中，第3项与第4项的二项式系数比为.
（1）若，求展开式中的常数项；
（2）若展开式中含有项的系数不大于324，且，记的取值集合为A，求由集合A中元素构成的无重复数字的四位偶数的个数.
【答案】（1）
（2）48
【解析】
【分析】（1）由已知求得，然后由二项展开式通项公式得出常数项；
（2）由二项展开式通项公式列不等式求得的可能值得集合A，然后由排除组合知识得结论．
【小问1详解】
第3项与第4项的二项式系数比为，．
，展开式通项公式为，
，，
所以常数项为；
【小问2详解】
，令，则，
由，得，又，所以，即，
由组成的无重复数字的四位偶数个数为．
17. 2022年北京冬奥会的志愿者中，来自甲、乙、丙三所高校的人数分别为：甲高校学生志愿者7名，教职工志愿者2名；乙高校学生志愿者6名，教职工志愿者3名；丙高校学生志愿者5名，教职工志愿者4名.
（1）从这三所高校的志愿者中各抽取一名，求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率；
（2）先从三所高校中任选一所，再从这所高校的志愿者中任取一名，求这名志愿者是教职工志愿者的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出这三名志愿者全是学生和全是教职工的概率，再由对立事件的概率关系可得答案
（2）设事件D为这名志愿者是教职工志愿者，事件为选甲高校，事件为选乙高校，事件为选丙高校,由全概率公式可得答案.
【小问1详解】
设事件A为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是学生，则；
设事件B为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是教职工，则；
设事件C为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者中既有学生又有教职工，则.
【小问2详解】
设事件D为这名志愿者是教职工志愿者，事件为选甲高校，事件为选乙高校，事件为选丙高校.
，，，
所以这名志愿者是教职工志愿者的概率为：
18. 已知函数．
（1）求函数在上的单调递减区间；
（2）解关于x的不等式；
（3）若在区间上恰有两个零点，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式化简函数，再利用三角函数的性质，结合整体代入法即可得解.
（2）由（1）的信息，利用正弦函数性质解不等式即得.
（3）利用三角函数的对称性得到，由题设条件得到，从而利用诱导公式即可得解.
【小问1详解】
依题意，
令，解得，
由，得当时，；当时，，
所以在上的单调递减区间为.
【小问2详解】
由（1）知，，由，得，
解得，解得，
所以不等式的解集为.
【小问3详解】
由函数在区间上恰有2个零点，得在有两个根，
令，解得，则函数图象的一条对称轴为，
因此在的两个根满足，则，
显然，则，
所以.
19. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
（1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
（2）由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明；
（3）设，证明：．
【答案】（1）；
（2），证明见解析；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据麦克劳林公式求得，赋值即可求得近似值；
（2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可证明；
（3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为 ，再裂项求和即可证明.
【小问1详解】
令，则，，，，
故，，，，，
由麦克劳林公式可得，
故.
【小问2详解】
结论：，
证明如下：
令，
令，
故在上单调递增，，
故在上单调递增，，
即证得，即．
【小问3详解】
由（2）可得当时，，且由得，
当且仅当时取等号，故当时，，
，
而
，
即有
故
而，
即证得.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题.