第二十一章-02判别式、根与系数的关系2025-2026学年人教版九年级上册期末数学专题分类训练 [含答案]

这是一份第二十一章-02判别式、根与系数的关系2025-2026学年人教版九年级上册期末数学专题分类训练 [含答案]，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共5小题。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程x2−3x+3=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个相等的实数根
D. 没有实数根
2.一元二次方程x2−4x+3=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
3.关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是( )
A. −1B. 1
C. 3D. 5
4.若方程kx2−2x+1=0没有实数根，则k的值可以是( )
A. −1B. 0
C. 1D. 2
5.已知关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A. m2
C. m−2且m≠1
二、填空题：本题共9小题。
6.若关于x的一元二次方程x2−2x+c=0没有实数根．则实数c取值范围是 ．
7.已知一元二次方程x2−5x−5=0的两根分别为a，b，则1a+1b的值为______．
8.若α，β是方程x2+2x−2026=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为______．
9.若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
10.已知关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
11.若x1，x2是方程x2−4x−2020=0的两个实数根，则代数式x12−2x1+2x2的值等于 ．
12.已知关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0(m>0)的一个根比另一个根大2，则m的值为 ．
13.若m，n是关于x的一元二次方程x2−2023x+2024=0的两个根，则代数式(m2−2022m+2023)(n2−2022n+2023)的值是 ．
14.若关于x的一元二次方程x2+2x−m2−m=0(m>0)，当m=1，2，3，…，2024时，相应地，一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2024、β2024，则1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2024+1β2024的值为 ．
三、解答题：本题共6小题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0．
(1)若方程有一个根是x=1，求m的值．
(2)求m取值范围，使得方程有两个实数根；
16.已知关于x的方程x2−kx+k−1=0．
(1)方程有一根为2，求k的值；
(2)求证：不论k为何值，方程总有实数根．
17.已知关于x的一元二次方程(x−1)(x−4)=p2，p为实数．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)p为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)
18.已知关于x的方程x2−2x+2m−1=0．
(1)若方程有一个根为0，求此时m的值；
(2)若方程有实数根，求m的取值范围．
19.已知关于x的方程x2+ax+a−2=0．
(1)当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
20.关于x的一元二次方程x2+2x+3−k=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两个根为α，β，且k2=αβ+3k，求k的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵△=b2−4ac=(−3)2−4×1×3=−30⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，
解得m0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，且m−1≠0，
解得：m0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ1
【解析】解：根据题意得△=(−2)2−4c1．
故答案为c>1．
利用判别式的意义得到△=(−2)2−4c0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△0时，方程有两个不相等的两个实数根，据此求出k的取值范围即可．
【解答】
解：由题意，得(−2)2−4×1×k>0，解得k0即可；
(2)要使方程有整数解，那么5± 9+4p2为整数即可，于是p可取0，2，−2时，方程有整数解．
本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．
18.【答案】解：(1)将x=0代入原方程得：2m−1=0，
解得m=12；
(2)∵方程有实数根，
∴Δ=4−4×1×(2m−1)≥0，
整理得8−8m≥0，
∴m≤1．
【解析】(1)将x=0代入原方程计算出m值即可；
(2)根据根的判别式进行计算即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的应用是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)设方程的另一个根为x，
则由根与系数的关系得：x+1=−a，x×1=a−2，
解得：x=−32，a=12，
即a=12，方程的另一个根为−32；
(2)∵Δ=a2−4(a−2)=a2−4a+8=a2−4a+4+4=(a−2)2+4>0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【解析】(1)设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1=−a，x×1=a−2，求出即可；
(2)写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的两个根，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，要记牢公式，灵活运用．
20.【答案】解：(1)b2−4ac=22−4×1×(3−k)=−8+4k，
∵方程有两个不相等的实数，
∴−8+4k>0，
解得：k>2；
(2)∵方程的两个根为α，β，
∴αβ=ca=3−k，
∴k2=3−k+3k，
解得：k1=3，k2=−1(舍去)．
【解析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和根的判别式，关键运用代入法来求值．
(1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出b2−4ac>0，把字母和数代入求出k的取值范围；
(2)根据两根之积为：ca，把字母和数代入求出k的值即可解答．