江苏省南京市四校协作2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题与解析（word版+pdf版）

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数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.设集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，则，又，
则.
2.若（为虚数单位），则复数的虚部为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，即，其虚部为.
3.设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵A､B､C三点不共线,∴
|+|>|||+|>|-|
|+|2>|-|2•>0与
的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件.
4.已知等比数列满足，，记为其前项和，则
A. B. C. 7D. 14
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则，；
将，，代入中，得，化简得；
所以.
5.已知实数满足，则最大值为
A. 2B. 3C. D.
【答案】A
【解析】解法（1）：由，
令，即，，
，即最大值为2；
解法（2）：
当且仅当，即时取等号，
，即最大值为2.
6.若函数及其导函数满足，且，则
A B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，因为，
所以，解得，
所以，令，可得，解得.
7.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】椭圆的焦点在轴上，，
直线，与椭圆都相切，
，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆，
为椭圆上任意两个动点，动点满足为锐角，
点在圆外，又动点在直线上，直线与圆相离，，解得：，
又，；
椭圆离心率，，.
8.函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
又因为，且，则，若在上单调递增，所以，所以，因为对任意的实数，在上不单调，所以的周期，所以，所以.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则为锐角三角形
C. 在锐角三角形中，不等式恒成立
D. 若，，且该三角形有两解，则b的范围是
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，
所以由正弦定理得，
又A，B 为的内角，，则，即，故A正确；
对于B，由余弦定理可得，则角为锐角，不能得到为锐角三角形，故B错误；
对于C，因为是锐角三角形，所以，所以，
又，所以，
又因为在单调递增，所以，C正确；
对于D，因为，，且该三角形有两解，
所以，即，故D正确.
10.已知定义在上的函数不是奇函数，且，，则
A.
B. ，
C. 的解析式可以是
D. 若的解析式是，则实数的最小值为
【答案】BD
【解析】对于A，因为函数不是奇函数，且，
所以无法判断是否成立，
例如：设，显然不是奇函数，且存在，
但，故A错误；
对于B，因为函数不是奇函数，所以，故B正确；
对于C，若，令，
即，即，
当时，方程化为，解得（舍去）；
当时，方程化为，无实数解；
当时，方程化为，解得（舍去）.
综上，不存在，故C错误；
对于D，函数显然不是奇函数，
若，，
当时，，则，得，
当时，，则，得，
当时，则，得，
综上，，故实数的最小值为，故D正确.
11.在四棱锥中，底面是矩形，，，平面平面，点M在线段上运动（不含端点），则
A. 存在点使得
B. 四棱锥外接球的表面积为12π
C. 直线与直线所成角为
D. 当动点到直线的距离最小时，过点A，D，M作截面交于点N，则四棱锥的体积是1
【答案】BCD
【解析】如图1，取的中点，连接，，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，则．
又因为，所以，
又，，平面，所以平面．
因为平面，平面，所以不成立，A错误．
因为为等腰直角三角形，将四棱锥侧面作为底面一部分，补成棱长为的正方体．
如图2，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，其半径，
即四棱锥外接球的表面积为，B正确．
如图2，直线与直线所成角即为直线与直线所成角，
而是正三角形，故该夹角为，C正确．
如图1，因为平面，当动点到直线的距离最小时，
由上推导知，，，
，，
，，
因此为的中点，如图3，由为的中点，即为中点，
平面即平面与的交点也即为与的交点，可知为的中点，
故，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知，且，则________.
【答案】
【解析】由且，得，
则 .
13.已知圆O的半径为2，点A，B在圆O上，点C在圆O内，且，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】因为，所以，
又
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为 .
14.已知数列中，，正项数列的前n项和为，且，若，则的最大整数值为________.
【答案】88
【解析】已知 ，递推关系 ，即，移项可得：，
设 ，即 ，所以 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，
.
因此，.又因为 ，则，
又因为是正项数列，故 .
数列的前 项和 ，
由于放缩法：且，
证明如下：因为 ，所以 ，则 ，
由于 ，所以 ，
则 ，即 .
综上，不等式 成立；同理可证得.
所以当时，，
因此 ；
当 时， ，故 .
当时：，
当 时， .
所以 ，
因此，满足的最大整数 为 88 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在中，．
（1）求；
（2）若，的面积为，点在边上且，求线段的长 .
【解析】(1)在中，由正弦定理得：，可得，
又，所以，
所以，即．
因为，所以，所以，可得 .
(2)因为的面积为，，由（1）知，
所以，得，
所以，可得，
所以，所以．
在直角中，，
可得 .
16.已知数列的前项和，且.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，求数列的前n项和.
【解析】(1)由题意可知，当时，，因为，解得，
当时，，化简得，
因为，所以，则，即，
可知数列是以1为首项，1为公差的等差数列 .
(2)由（1）可知，，则，
则，
则，
可得，
解得 .
17.如图，在三棱柱中，为等腰直角三角形，，，，为棱的中点，为棱上的一点.
（1）求证：平面；
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长.
【解析】
(1) 因为，所以侧面为矩形，故，又，即，且，平面，所以平面，而平面，故，又，，故为等边三角形，所以，因为是线段的中点，故，且，平面，故平面，因为平面，故，又，所以平面 .
(2)由（1）知，平面，又平面，
故平面平面，
以为原点，，所在直线分别为x，y轴，
过点C在平面内作垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
由（1）知为等边三角形，故为等边三角形，且轴，
所以，，，，，
，设，，，
则，解得，
故，
易得平面的一个法向量为，
设平面的法向量，则，
令，则.
记平面与平面夹角为，
故，
整理得，解得或（舍去），
所以 .
18.已知椭圆：，短轴长为4，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.设椭圆E的左右顶点为A，B，直线交椭圆E于M，N两点（不与A，B重合），设直线的斜率为，直线的斜率为，且.
（1）求椭圆方程；
（2）求证：直线过定点；
（3）弦的中点为，直线与椭圆交于P，Q两点，求四边形面积S的取值范围.
【解析】 (1) 由题意可得，则，，则，所以椭圆的标准方程为.
(2)连接，设，，而，，
因为，所以，
则，
因为，所以，
设直线的方程为，
则，得，
，
，，
则，
化简可得，
所以，
因为，所以，解得，
所以直线的方程为，故恒过定点.
(3) 因为，所以，
设直线的方程为，即，
则，得，故，
则到的距离为，
到的距离为，
且与异号，
故，
所以
，
由（2）可知，
所以，
所以且，
所以取值范围为 .
19.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若对于任意的，恒成立，求的最大值；
（3）证明：.
【解析】 (1) ，当时，，在上单调递减，当时，令，当时，，故函数在区间单调递减；当时，，故函数在区间上单调递增.
(2)对恒成立，
当时，时，左边与条件矛盾，舍去，∴，
令，即对恒成立，
令，
当时，，时，，
所以在上单调递减；单调递增，
故只需.
(3)要证： 证：
即证：，
只需证：，
即证：，即证：，
令 证： ，
令在上单调递增，
∴，证毕 .