2022-2023学年江苏省南京市外国语学校等四校高三上学期12月联考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京市外国语学校等四校高三上学期12月联考

数学试题

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）

1．若集合，，则（    ）

A． B．

C．  D．

2．若，则的实部为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．10

3．打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（    ）

A． B． C． D．

4．若函数在恰好存在两个零点和两个极值点，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知点P在椭圆上，点Q在圆，其中c为椭圆C的半焦距，若的最大值恰好等于椭圆C的长轴长，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

6．在△ABC中，若向量在上的投影向量为，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

7．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

8．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，侧面△PAD为正三角形，则其外接球体积最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

9．在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（    ）

A．  B．向量，夹角的最小值为

C．内角A的最大值为  D．△ABC面积的最小值为

10．在棱长为1的正方体中，E为的中点，则（    ）

A．  B．BE与所成的角为

C．四面体的体积为 D．与平面所成的角为

11．已知O为坐标原点，直线与抛物线相交于，两点，且△AOB的面积为，则（    ）

A．

B．AB的中点到y轴的距离为3

C．点满足

D．过点作C的切线，切点为M，N，则O与直线MN距离的最小值为1

12．已知函数是定义域为R的可导函数，．若是奇函数，且的图象关于直线对称，则（    ）

A．

B．曲线在点处的切线的倾斜角为

C．是周期函数（是的导函数）

D．的图象关于点中心对称

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．若非零向量与满足：，且，，则的最大值为______．

14．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题的一般描述是：已知点A，B是∠MON的ON边上的两个定点，C是OM边上的动点，当C在何处时，∠ACB最大？问题的结论是：当且仅当△ABC的外接圆与OM相切于点C时，∠ACB最大．人们称这一命题为米勒定理．已知，，，则∠ACB最大时，______．

15．已知函数的定义域R，，，且．若数列是首项为0，公差为2的等差数列，则______．

16．已知函数，，若与的图象上有且仅有2对关于原点对称的点，则实数a的取值范围为______．

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．设为数列的前n项和，已知，且，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前20项和．

18．随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线．某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取300人进行调查，得到如下表的统计数据：

（1）运用独立性检验的思想方法判断：是否有99%以上的把握认为，周平均锻炼时长与年龄有关联？并说明理由．

（2）现从20岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层抽样法抽取8人做进行一步访谈，最后再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷．记抽取3人中周平均锻炼时间是不少于5小时的人数为X，求X的分布列和数学期望．

19．记锐角△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

（1）求角A的大小；

（2）若，求BC边上的高的取值范围．

20．如图1，梯形ABCD中，，，，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B至点P，且使平面PAC⊥平面ACD，如图2．

（1）求证：PA⊥CD；

（2）连接PD，当四面体PACD体积最大时，求二面角C－PA－D的大小．

21．已知函数在是减函数．

（1）求实数a的取值范围；

（2）记，当时，

①求证：在区间内存在唯一极值点（记为）；

②求证：．

22．已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且点，，三个点中有且仅有两点在双曲线C上．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）直线l交双曲线C于y轴右侧两个不同点的E，F，连接DE，DF分别交直线AB于点G，H．若直线DE与直线DF的斜率互为相反数，证明：为定值．

参考答案

一、单项选择题

1．【答案】D

【解析】，所以，即，所以

2．【答案】C

【解析】，所以

3．【答案】A

【解析】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为x，则大圆锥母线长为x＋7，由相似得，即x＝4.9，

所以羽毛所在曲面面积

4．【答案】B

【解析】设，对于的图象要满足题意则需，

解得

5．【答案】D

【解析】，当且仅当，时取等，所以，即

6．【答案】C

【解析】设，上的高为y，则，，

所以，当且仅当时取等，故

7．【答案】B

【解析】易知，且，

故只需比b与c大小，此时由根号和c中分母4联想二倍角公式，因此要比b和c大小，即比较和大小，而明显，所以

8．【答案】C

【解析】设球心为O，正方形中心为Q，正三角形的中心为G，设外接球半径为r，，，

则由球的性质得，所以，

即外接球体积最小值为

二、多项选择题

9．【答案】AC

【解析】，故A对；

，当且仅当时取等，所以，即，故B错，C对；

，故D错

10．【答案】ACD

【解析】以为基底建立空间直角坐标系，

易得，，，，，

所以，，故A对；

所以，，故B错；

易得面的一个法向量为，所以E到面的距离，

所以四面体的体积，故C对；

易得面的一个法向量为，所以，故D对

11．【答案】BC

【解析】联立直线方程与抛物线方程得，

由已知得，即

所以，故A错；

所以AB中点纵坐标为，即横坐标，故B对；

，故C对；

设，，设，

由相切可得直线与抛物线联立后判别式为0，化简得，即，

又因为在直线上，所以有，同理可得，两式联立消得：（注：此时有二级结论：切点弦过抛物线焦点）

所以，

即O到直线MN距离，故D错

12．【答案】BCD

【解析】由题意有，，

令，有，所以，故A错；

，令得，故B对；

为奇函数，即，又因为，所以，即，故C对；

因为，，所以，即关于对称，

所以关于对称，故D对

三、填空题

13．【答案】

【解析】

，当且仅当时取等

14．【答案】

【解析】由题意得∠ACB最大时，△ABC的外接圆与x轴相切，且C为切点，此时圆心G横坐标为a，且圆心G在线段AB的垂直平分线上，即圆心，半径r为，因为，解得

15．【答案】1023

【解析】，令得，令得，

即，所以，…

因此

16．【答案】

【解析】由题意得方程有且仅有两解，

而，

即与图象有两个交点，

求导易得在单调递减，在单调递增，且两边趋向正无穷，

所以要满足题意则

四、解答题

17．【解析】（1）由题意，时，，令有

所以，时有，

两式相减得：，时，

因为，所以，即是首项为1，公差为1的等差数列，所以；

（2）由（1）得，

所以

18．【解析】（1）

答：有99%以上的把握认为周平均锻炼时长与年龄有关；

（2）由题意得8人样本中有3人周平均锻炼时长少于5小时，有5人周平均锻炼时长不少于5小时．

X的可能取值为0，1，2，3，

则，，

，

X的分布列为

所以

19．【解析】（1）

因为，

所以．

（2）设BC边上高为h，垂足为H，设，则，

所以，，

由（1）得，所以，

因为，所以，即，

所以

20．【解析】（1）设AC中点为M，因为，所以PM⊥AC，

因为PM⊥AC，面PAC⊥面ACD，面PAC，面面，

所以PM⊥面ACD，又因为面ACD，所以PM⊥CD；

（2）由（1）可得CD⊥面PAC，设AD中点为N，

以M为原点，MC所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，MP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

由已知，

，设，则，

即当时体积最大，

此时，，，，

面PAC的一个法向量为，

设面PDA的法向量为，则，

令，由

所以，即二面角C－PA－D的大小为．

21．【解析】（1）

由题意得时，恒成立，且导函数无连续零点，

所以在上单调递减，所以，

所以在上单调递减，所以

要满足题意则，即；

（2）①时

因为，所以，即在区间上单调递减，

又有

所以在区间上单调递减，

又因为

所以存在满足，即题意得证；

②要证：，即证：，即证，

即证，

即证，即证

因为，所以，，即成立，

所以得证．

22．【解析】（1）由题意A，B不可能同时在双曲线上，

若A，D在双曲线上，则，解得双曲线方程为：；

若B，D在双曲线上，则，此方程组无解，舍；

综上所述，双曲线C的标准方程为；

（2）设，，直线EF斜率不存在时不满足题意，设

由题意，所以，即，

化简得

代入韦达定理得，即，

当时，，过，与已知矛盾，舍；

所以，此时，所以△DEF和△DGH相似，即，

所以要证为定值，即证为定值，即证为定值

因为，所以．