2022-2023学年江苏省南京市外国语学校等四校高三上学期12月联考数学试题（word版）

2022-2023学年江苏省南京市外国语学校等四校高三上学期12月联考

数学试题

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）

1．若集合，，则（    ）

A． B．

C．  D．

2．若，则的实部为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．10

3．打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（    ）

A． B． C． D．

4．若函数在恰好存在两个零点和两个极值点，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知点P在椭圆上，点Q在圆，其中c为椭圆C的半焦距，若的最大值恰好等于椭圆C的长轴长，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

6．在△ABC中，若向量在上的投影向量为，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

7．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

8．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，侧面△PAD为正三角形，则其外接球体积最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

9．在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（    ）

A．  B．向量，夹角的最小值为

C．内角A的最大值为  D．△ABC面积的最小值为

10．在棱长为1的正方体中，E为的中点，则（    ）

A．  B．BE与所成的角为

C．四面体的体积为 D．与平面所成的角为

11．已知O为坐标原点，直线与抛物线相交于，两点，且△AOB的面积为，则（    ）

A．

B．AB的中点到y轴的距离为3

C．点满足

D．过点作C的切线，切点为M，N，则O与直线MN距离的最小值为1

12．已知函数是定义域为R的可导函数，．若是奇函数，且的图象关于直线对称，则（    ）

A．

B．曲线在点处的切线的倾斜角为

C．是周期函数（是的导函数）

D．的图象关于点中心对称

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．若非零向量与满足：，且，，则的最大值为______．

14．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题的一般描述是：已知点A，B是∠MON的ON边上的两个定点，C是OM边上的动点，当C在何处时，∠ACB最大？问题的结论是：当且仅当△ABC的外接圆与OM相切于点C时，∠ACB最大．人们称这一命题为米勒定理．已知，，，则∠ACB最大时，______．

15．已知函数的定义域R，，，且．若数列是首项为0，公差为2的等差数列，则______．

16．已知函数，，若与的图象上有且仅有2对关于原点对称的点，则实数a的取值范围为______．

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．设为数列的前n项和，已知，且，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前20项和．

18．随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线．某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取300人进行调查，得到如下表的统计数据：

（1）运用独立性检验的思想方法判断：是否有99%以上的把握认为，周平均锻炼时长与年龄有关联？并说明理由．

（2）现从20岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层抽样法抽取8人做进行一步访谈，最后再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷．记抽取3人中周平均锻炼时间是不少于5小时的人数为X，求X的分布列和数学期望．

19．记锐角△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

（1）求角A的大小；

（2）若，求BC边上的高的取值范围．

20．如图1，梯形ABCD中，，，，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B至点P，且使平面PAC⊥平面ACD，如图2．

（1）求证：PA⊥CD；

（2）连接PD，当四面体PACD体积最大时，求二面角C－PA－D的大小．

21．已知函数在是减函数．

（1）求实数a的取值范围；

（2）记，当时，

①求证：在区间内存在唯一极值点（记为）；

②求证：．

22．已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且点，，三个点中有且仅有两点在双曲线C上．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）直线l交双曲线C于y轴右侧两个不同点的E，F，连接DE，DF分别交直线AB于点G，H．若直线DE与直线DF的斜率互为相反数，证明：为定值．

参考答案

一、单项选择题

1．【答案】D

2．【答案】C

3．【答案】A

4．【答案】B

5．【答案】D

6．【答案】C

7．【答案】B

8．【答案】C

二、多项选择题

9．【答案】AC

10．【答案】ACD

11．【答案】BC

12．【答案】BCD

三、填空题

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】1023

16．【答案】

四、解答题

17．【解析】（1）由题意，时，，令有

所以，时有，

两式相减得：，时，

因为，所以，即是首项为1，公差为1的等差数列，所以；

（2）由（1）得，

所以

18．【解析】（1）

答：有99%以上的把握认为周平均锻炼时长与年龄有关；

（2）由题意得8人样本中有3人周平均锻炼时长少于5小时，有5人周平均锻炼时长不少于5小时．

X的可能取值为0，1，2，3，

则，，

，

X的分布列为

所以

19．【解析】（1）

因为，

所以．

（2）设BC边上高为h，垂足为H，设，则，

所以，，

由（1）得，所以，

因为，所以，即，

所以

20．【解析】（1）设AC中点为M，因为，所以PM⊥AC，

因为PM⊥AC，面PAC⊥面ACD，面PAC，面面，

所以PM⊥面ACD，又因为面ACD，所以PM⊥CD；

（2）由（1）可得CD⊥面PAC，设AD中点为N，

以M为原点，MC所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，MP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

由已知，

，设，则，

即当时体积最大，

此时，，，，

面PAC的一个法向量为，

设面PDA的法向量为，则，

令，由

所以，即二面角C－PA－D的大小为．

21．【解析】（1）

由题意得时，恒成立，且导函数无连续零点，

所以在上单调递减，所以，

所以在上单调递减，所以

要满足题意则，即；

（2）①时

因为，所以，即在区间上单调递减，

又有

所以在区间上单调递减，

又因为

所以存在满足，即题意得证；

②要证：，即证：，即证，

即证，

即证，即证

因为，所以，，即成立，

所以得证．

22．【解析】（1）由题意A，B不可能同时在双曲线上，

若A，D在双曲线上，则，解得双曲线方程为：；

若B，D在双曲线上，则，此方程组无解，舍；

综上所述，双曲线C的标准方程为；

（2）设，，直线EF斜率不存在时不满足题意，设

由题意，所以，即，

化简得

代入韦达定理得，即，

当时，，过，与已知矛盾，舍；

所以，此时，所以△DEF和△DGH相似，即，

所以要证为定值，即证为定值，即证为定值

因为，所以．