2025-2026人教版数学九年级上册重难点复习训练：一元二次方程及其应用

这是一份2025-2026人教版数学九年级上册重难点复习训练：一元二次方程及其应用，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．下列式子是一元二次方程的是（ ）
A．x2−5x−3B．x2−1=yC．5x+1=0D．x2+2x−1=0
2．用配方法解方程x2−4x+2=0，配方后方程变形为（ ）
A．(x−4)2=14B．(x−4)2=18C．(x−2)2=2D．(x−2)2=6
3．关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的根的情况是（ ）
A．无法确定B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
4．方程x−1x+3=0的解是（ ）
A．x1=1,x2=3B．x1=1,x2=−3
C．x1=−1,x2=3D．x1=−1,x2=−3
5．若m，n是一元二次方程x2+3x−9=0的两个根，则m2+4m+n的值是（ ）
A．6B．12C．0D．18
6．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手.有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（ ）
A．8B．10C．12D．14
7．如图，某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（假设墙足够长），另三面用总长58米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为x米，则下列方程正确的为（ ）
A．x(58−x)=200B．x(29−x)=200
C．x(29−2x)=200D．x(58−2x)=200
8． 若关于x的方程x2+（m+1）x+m2=0的两个实数根互为倒数，则m的值是（ ）
A．-1B．1或-1C．1D．2
9．用配方法解一元二次方程2x2−3x−1=0，配方正确的是（ ）
A．(x−34)2=1716B．(x−34)2=12
C．(x−34)2=134D．(x−34)2=114
10．关于x的一元二次方程的新定义：关于x的一元二次方程：ax2+bx+c=0与bx2+ax+c=0称为“交换二次方程”.如x2+2x+5=0与2x2+x+5=0就是“交换二次方程”.现有关于x的一元二次方程：(m-2)x2-4x+1=0与(n+6)x2+3x+1=0是“交换二次方程”.那么代数式mx2+nx+2031能取到的最小值是（ ）
A．2036B．2030C．2032D．2026
二、填空题
11．一元二次方程x2−4=0的根是 ．
12．若关于 x 的一元二次方程kx2-4x-1=0有实数根，则k的取值范围是 .
13．若m，n是方程3x2+6x−10=0的两根，则m2+2mn+2m= ．
14．2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为805m2，则所修道路的宽为 m．
15．某建筑工程队在工地一边靠墙处（墙长42米）用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．则AB= 米．
16．如图，一次函数y=2x+5的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P作OB的垂线，垂足为C，连接OP，过点C作CD∥OP，交x轴于点D．若四边形PCDO的面积为2，则点P的坐标为 ．
三、计算题
17．解方程：
（1）x2+6x-7=0；
（2）2（x-1）=x（x-1）.
18．已知关于x的一元二次方程x2−4x−2k+8=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x12x2+x1x12=−24，求k的值．
四、解答题
19．阅读理解材料：已知实数m，n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n.
求nm+mn的值.
解：由题知m，n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得m+n=1，mn=-1，
∴nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=1+2−1=−3
解决以下问题：
（1）方程x2-4x-3=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2= ，x1x2= .
（2）已知实数m，n满足m2-3m+1=0，n2-3n+1=0，且m≠n，求1m+1n的值.
20．阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如
a2+2a−4=a2+2a+1−1−4=a+12−5
∵a+12≥0，
∴a2+2a−4=a+12−5≥−5，
因此，代数式a2+2a−4有最小值−5，
根据以上材料，解决下列问题：
（1）代数式a2−2a+2的最小值为 ；
（2）试比较a2+b2+11与6a−2b的大小关系，并说明理由；
（3）如图，在直角坐标系中，点A0,12a2+a和点B0,−2a−132在y轴上，点M在x轴负半轴上，SΔABM=2，当线段OM最长时，求点M的坐标．
21．平凉米香醋历史悠久，相传可追溯至远古的黄帝问道广成时期.某超市销售一批精装平凉米香醋，平均每天能售出20瓶，每瓶盈利15元.为了扩大销售、增加盈利及尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，当每瓶醋每降价1元时，平均每天可多售出4瓶.超市要想使这批米香醋的销售利润平均每天达到396元，每瓶醋应降价多少元?
22．根据材料，解决下列问题：
（1）求一档至三档转速的平均增长率．
（2）要使该电器每天的利润达到5000元，应降价多少元？
23．某远光商场一种商品的进价为每件60元，售价为每件80元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件64.8元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售8件，那么每天要想获得1020元的利润，每件应降价多少元？
24．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】A
10．【答案】D
11．【答案】x1=2，x2=−2
12．【答案】k≥－4且k≠0
13．【答案】−103
14．【答案】1
15．【答案】11
16．【答案】−12,4或−2,1
17．【答案】（1）解：（x+7）（x﹣1）＝0，
x+7＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣7，x2＝1；
（2）解：2x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
2x﹣1＝0或x﹣1＝0，
所以x1=12，x2＝1．
18．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2−4x−2k+8=0有两个实数根x1，x2，
∴Δ=−42−4−2k+8>0，
解得k>2；
（2）解：可得x12x2+x1x12=x1x2x1+x2=−24，
根据一元二次方程可得x1+x2=−ba=4,x1x2=ca=−2k+8，
∴可得4−2k+8=−24，
解得k=7．
19．【答案】（1）4；-3
（2）∵m2-3m+1=0，n2-3n+1=0，且m≠m，
∴m，n可看作方程x2-3x+1=0的两个不相等的实数根.
∴m+n=3，mn=1
∴(1m+1n)2=1m+1n+2mn=m+nmn+2mn=31+21=5
易知m，n均为正数，
∴1m+1n=5
20．【答案】（1）1
（2）解：a2+b2+11>6a−2b；理由如下，
a2+b2+11−6a−2b=a2+b2+11−6a+2b=a2−6a+9+b2+2b+1+1=a−32+b+12+1，
∵a−32≥0，b+12≥0，
∴a−32+b+12+1≥1，
∴a2+b2+11−6a−2b>0，
∴a2+b2+11>6a−2b。
（3）解：∵点A0,12a2+a和点B0,−2a−132，
∴AB=12a2+a−−2a−132=12a2+a+2a+132=12a2+3a+132=12a+32+2，
∵12a+32≥0，
∴AB=12a+32+2≥2，
∴AB有最小值2，
∵SΔABM=12AB×OM=2，
∴线段OM最长为2，
∴点M的坐标为−2,0．
21．【答案】解：设每瓶醋应降价x元，可使超市销售利润平均每天达到396元，
根据题意得：(15-x)(20+4x)=396，
整理得：x2-10x+24=0，
解得：x1=4，x2=6，
因要尽快减少库存，故x=6，经检验，符合题意
答：每瓶醋应降价6元.
22．【答案】（1）解：设一档至三档转速的平均增长率为x，
根据题意得：8001+x2=1152，
解得：x1=0.2=20%，x1=−2.2（舍去），
∴一档至三档转速的平均增长率为20%。
（2）解：设应降价y元，
根据题意得，290−y−25080+40y5=5000，
整理得：y2−30y+225=0，
解得：y1=y2=15，
∴使该电器每天的利润达到5000元，应降价15元．
23．【答案】（1）解：设每次降价的百分率为x，根据题意，得：
801−x2=64.8，解得x1=0.1=10%, x2=1.9=190%（舍），
∴该商品连续两次下降的百分率为10%.
（2）解：设每件商品应降价m元，根据题意，得：
80−60−m48+8m2=1020，解得m=5或m=3，
∵为尽快减少库存，
∴m=5，
∴每件商品应降价5元．
24．【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得，100（1+x）2＝144，
解得x＝20%或x＝﹣2.2（舍去），
∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元，
由题意得（m﹣30）[600﹣10（m﹣40）]＝10000，
整理得m2﹣130m+4000＝0，
解得m＝50或m＝80，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴m＝50，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．信息一
美的风扇灯，风扇和灯一体的双功能家用电器，既可照明又可降温，物美价廉深受民众的喜爱．
信息二
该电器风扇功能：风速分三级：一档，二档，三档，风速与风扇转速有关，其中一档风是800转/分，三档风为1152转/分，后一档转速与前一档转速相比增长率均相同．
信息三
一家网上电器商店，进货这种商品，进购价为250元/件，售价290元/件，每天可以售80件，当每降价5元时，多售40件．