江苏省天一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷（强化班）含解析（word版）

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命题人、审阅人：高一数学备课组
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】明确集合，根据交集的概念求.
【详解】时，不等式的解集为，即，
不等式，解得，即，
故．
故选：B．
2. 已知，则“”是“点在第一象限内”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】结合三角函数的想先符号判断即可.
【详解】若，则在第一或三象限，
则或，则点在第一或三象限，
若点在第一象限，
则，则.
故“”是“点在第一象限内”的必要不充分条件.
故选：B
3. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的单调性可比较，再由指数函数的单调性可得，
再由对数函数的单调性可得，即可得解.
【详解】因为为增函数，所以.
因为为减函数，所以，则.
又为减函数，所以，
故，即.
故选：B
4. 已知函数是偶函数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】因为为偶函数，所以，代入解析式化简即可求出实数的值.
【详解】的定义域为，
是偶函数，，
即，
，
即，
，，得.
故选：C.
5. 美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（ ）年．
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由题设有，即可求参数、的值，进而判断的单调性且，即可判断植物的高度超过至少需要多少年.
【详解】依题意可得，则，解得，
∴，
因为在定义域上单调递减，且，又在上单调递减，
所以在上单调递增，而，，
即，
∴该植物的高度超过，至少需要年.
故选：C.
6. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角三角函数的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，结合余弦的差角公式，可得答案.
【详解】由，，可得，则，
，则或，
由于，所以，，
，
故选：B
7. 已知曲线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据含绝对值的函数、基本初等函数的性质作出相关函数的图象再观察函数图象并利用数形结合思想得到参数的取值范围．
【详解】的图象是以为端点的两条射线．
当时，曲线与曲线恰有两个公共点，，如图1．
当时，曲线与曲线的公共点就是曲线与曲线的交点与，如图2．
当时，曲线与曲线只有一个公共点，如图3．
当时，曲线与曲线无公共点，如图4．
综上，的取值范围为．
故选：C.
8. 已知函数为R上的单调递增函数，当n为正整数时，也为正整数，且，则的值为（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】先由，进而可得，再结合函数的性质即可得解.
【详解】因为，当，有，
若，则，与矛盾，故，
又因为当为正整数时，也为正整数，故，
因为函数为上的单调递增函数，所以，
又，所以，
所以，
又因为，所以，，
又因为，所以，
又因为函数为上的单调递增函数，当为正整数时，也为正整数，
，，且，
所以，，，.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知正数，满足，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最大值为B. 的最大值为2
C. 的最小值为D. 的最小值为6
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A可直接利用基本不等式求最大值；选项B可先平方，再利用基本不等式求最大值；选项C利用消元法再结合一元二次函数求得最小值；选项D利用常数代换，再结合基本不等式求得最小值.
【详解】对于选项A，因为，所以，则，当且仅当，时取等号，则的最大值为，故选项A正确；
对于选项B，，由选项A可知，所以，所以，即最大值为，当且仅当，时取等号，故选项B错误；
对于选项C，，当且仅当，时取等号，故选项C正确；
对于选项D，，当且仅当，时取等号，故选项D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 图象关于直线对称
C. 在区间上单调递减D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用偶函数定义即可判断A；证明即可判断B；利用复合函数的单调性和单调性的性质即可判断C；求出即可判断D.
【详解】对于A，函数的定义域为，，
，
所以是偶函数，故A错误；
对于B，，
所以函数图象关于直线对称，故B正确；
对于C，
函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上单调递减，
函数在上单调递减，在上单调递减，所以函数在上单调递增，
所以函数在区间上单调递减，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知对于，，，，且，则下列说法正确的有（ ）
A. 为偶函数
B. 的周期为3
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，利用的对称性推导；选项B，通过递推式推导的周期；选项C，结合与的关系，利用的性质计算；选项D，利用的周期性计算前项和.
【详解】选项A，由，得关于对称，故.
由，得，
故为偶函数，A正确.
选项B，由，替换为得，
再替换为得.
联立得，故，
周期为6，B错误.
选项C，，令，得.
由，得.
由，得，故；
结合是偶函数，得，即，
故，.
因此，C正确.
选项D，周期为6，一个周期内和为.
，前2025项和为，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】令，即，，代入利用二倍角公式即可求解.
【详解】令，即，，
，
故答案为：.
13. 已知函数，则满足的实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，分析其奇偶性和单调性，再解不等式即可.
详解】令，
的定义域为，，
，
所以为奇函数，
因为函数在上均为增函数，
所以函数在上为增函数，
因为，，
所以原不等式可转化为，
即，
由单调性可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
14. 对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的单调性的性质判断函数的单调性，结合题中函数的定义，利用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为函数与都是实数集上的增函数，
所以函数在R上单调递增，且，
当时，，所以当时，，
当时，，
由，即当时，恒成立，
即当时，，即恒成立，
设，则，
当且仅当，即，即时，等号成立，
.
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的性质，运用基本不等式进行求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，命题p：关于x的方程在有两个不相等的实数根；命题q：函数的定义域为R．
（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；
（2）若命题p与命题q恰有一个为真，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由关于x的方程在有两个不相等的实数根，列出不等式组求解即可.
（2）命题p与命题q恰有一个为真，分别有p真q假，p假q真，列出不等式组求解即可.
【小问1详解】
由题意知，
，
【小问2详解】
命题q为真，
对恒成立，
①当时成立
②当，即
．
当p真q假时
，
当p假q真时
，
综上，或.
16. 已知函数.
（1）求图象的对称轴和单调递增区间；
（2）当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围.
【答案】（1）对称轴方程为，单调递增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；
（2）化简，参变分离，因为不等式有解，可得，换元，即令，则求在上的最小值，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意，得函数，
令，解得，
所以函数的对称轴方程为；
由，得，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
由题意得时，关于x的不等式有解，
即不等式有解，
而此时，即有解，只需要即可，
，，
令，则在上单调递减，
所以当时，，即，所以.
17. 已知函数，.
（1）记，，若函数的最小值为，求实数a的值；
（2）记，若函数在单调递增，求实数a的取值范围；
（3）当时，若关于x的方程无实数根，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由题意得，当时，无最小值，当时，用基本不等式求出最小值，列式即可求出答案；
（2）由题意得，分为和两种情况，结合二次函数的图象分别求解即可；
（3）由题意得，令，求出的值域，即求出的值域，即可求出答案.
【小问1详解】
，
当，即时，在上单调递增，无最小值，不符合题意；
当，即时，
，当且仅当时，等号成立，
由题意得，解得.
综上所述，实数a的值为.
【小问2详解】
，
当，即时，，
若函数在单调递增，则，解得，
当，即时，
若函数在单调递增，则或，
解得，
综上，实数a的取值范围为.
【小问3详解】
当时，，，
此时，
令，则，
故，
由于，所以当时，取得最小值，即，
若关于x的方程无实数根，则.
所以实数m的取值范围为.
18. 已知函数
（1）解不等式：
（2）求证: 为定值，并求的值；
（3）若满足 满足，求 的值.
【答案】（1）不等式的解集为；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】(1)根据对数运算法则化简不等式，再通过换元法求解；
(2)先对进行化简证明其为定值，再利用该定值计算所给式子的值；
(3)通过构造函数，利用函数的单调性求解的值.
【小问1详解】
解：已知，则，
所以不等式可化为，令,则不等式变为，
即，解得或，当时，，当时，，
所以，不等式的解集为.
【小问2详解】
证明：已知，则，,
所以为定值，
令，
则，
两式相加得，所以，
即的值为.
【小问3详解】
解：已知满足，即，
已知满足，即，
令,则原方程组可化为和，
而可化为
设，则，
所以，即，
所以.
19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”.
（1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由；
（2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值；
（3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值.
【答案】（1）不是，理由见解析；
（2）；
（3），的最大值为1.
【解析】
【分析】（1）根据“友好函数”的定义判断即可；
（2）根据定义，问题化为函数值域是函数值域的子集，即可求参数范围，进而确定最小值；
（3）由函数新定义及已知，的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应），利用正弦型函数性质求的值域，再讨论参数k研究值域，即可得参数范围.
【小问1详解】
，不是，的“友好函数”，理由如下：
取，因为，所以不存在，使得，
所以，不是，的“友好函数”；
【小问2详解】
由题意，对任意，存在唯一使成立，
即，所以函数的值域是函数值域的子集.
因为，，所以，其值域为，
而在上单调递增，故值域为，
从而，即，所以；
【小问3详解】
当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的，使成立，
即，则的值域是值域的子集.
当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的使成立，
即，则的值域是值域的子集.
所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）.
当是的“友好函数”时，因为，
若存在使得，则不存在，使得，
所以当时，，所以，
因为在上单调递减，所以，
①当时，，不符合要求；
②当时，，，
因为，所以，不符合要求；
③当时，，，
若，则在上单调递减，
从而在上单调递增，故，
从而时，，
因为的值域与值域相同，所以，
即，所以，又在上单调递增，
所以当时，的最大值为1.
若，则在上单调递减，在上单调递增，
此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求.
综上：，的最大值为1.
【点睛】关键点点睛：第三问，将问题化为的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）为关键.