重庆市2026届高三康德高考模拟调研卷（一）数学试卷含解析（word版）

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1~8 BCAC ADDC
1 题解析: 因为 a⋅b=2×−1+1×2=0 ,所以 a⊥b,a=b=5,a+b=1,3 ;
2 题解析: 集合 A 满足 Δ≥0 即 a2−4≥0 ,所以 A=−∞,−2]∪[2,+∞,B=1,3 ,则 A∩B=2,3 ;
3 题解析: 由 y=fx 的图象向左平移 2 个单位,得到 y=fx+2 的图象; 再关于 y 轴对称,得到 y=f−x+2 的图象; 最后纵坐标不变, 横坐标压缩为原来的 12 ,得到 y=f−2x+2 的图象. 将上述过程逆向变换,即可由 y=f−2x+2 的图象得到 y=fx 的图象.
4 题解析: 由直线与圆相切则有圆心到直线的距离等于半径,所以有 a1+3=1 ,得 a=2 ;
5 题解析: 设底面边长为 a ,取 AB 的中点为 E,P 在底面的射影为底面 ABCD 的中心 O ,所以侧面与底面所成角为 ∠PEO ,则 PE=72a,EO=a2 ,所以 cs∠PEO=EOPE=77 ; 6 题解析: tanα+tanβ−4tanαtanβ=sinαcsβ+csαsinβ−4sinαsinβcsαcsβ =sinα+β−4sinαsinβcsαcsβ=45−4sinαsinβcsαcsβ=4csα−β−sinαsinβcsαcsβ=4;
7 题解析: 总体平均分为 z=35×4+25×3=185 ,记男生方差为 sx2=1 ,平均分为 x=4 ,女生方差为 sy2=1 ,平均分为 y=4 , 则总体方差 s2=35sx2+x−z2+25sy2+y−z2=3125 ;
8 题解析: 函数 fx 存在两个零点,即 mex+lnm=lnx+1+1 有两个解,方程两边同时加上 x ,则有 mex+lnm+x=lnx+1+x+1 即 lnmex+mex=lnx+1+x+1 ,设函数 gx=lnx+x ,则有 gmex=gx+1 因为 gx 是单调递增函数,则有 mex=x+1⇒m=x+1ex 有两个解,所以根据 hx=x+1ex 的函数图象知 m∈0,1 .
二、选择题:
9. ACD 10. BC 11. BCD
9 题解析: 由 a7−a2=5d=15⇒d=3 ,则 an=a2+n−2d=3n−12,Sn=n3n−212 ,所以选 ACD;
10 题解析: z1z2=m+2i−3−ni=−3m+2n−6+mni ,若 z1z2 为纯虚数,则有 −3m+2n=0 ,即 3m=2n ,
A 错误; z1=m−2i=−3−ni=z2 ,所以 m=−3,n=2,z1=m2+4=13 , B 正确; z1+z2=m−3+2−ni ,若 z1+z2=2 ,则 m−32+n−22=4 ,则 m+ni=m2+n2 最大值为圆心 3,2 到原点的距离与半径的和 13+2,C 正确; 若 z1+z2=2 , m−32+n−22=2 , - 则点 m,n 在圆心为 3,2 ,半径为 2 的圆上,设直线 m+n=a ,则圆心到直线的距离 d=5−a2≤2 ,解得 3≤a≤7 ,所以 m+n 的取值范围为 3,7 .
11 题解析: 渐近线方程为 3x2−y2=0 ,设双曲线方程为 3x2−y2=λλ≠0 ,代入点 2,3 则有 12−9=λ=3 , 所以双曲线方程为 x2−y23=1 ,则 S△PF1F2=b2ctθ2=3 ,故 A 错; 设内切圆的圆心为 O1 ,内切圆与 △PF1F2 相切于点 F,G,H , 如图所示,则 O1G⊥F1F2 ,且 PF=PH,F1F=F1G , F2G=F2H ,由于 PF1−PF2=2a ,所以 F1F−F2H=2a , 而 F1F+F2H=F1G+F2G=2c ,所以 F2H=F2G=c−a , 所以 xG=a ,所以 GF1−GF2=c+a−c−a=2a=2 ,故 B 正确;
设点 Px0,y0 一一，则有 x02−y023=1 ，则 k1k2=y0x0+1⋅y0x0−1=y02x02−1=3 ，所以 k1+k2>2k1k2=23,故 C 正确;
设 PD=m,PE=n ,则 m=3x0+y02,n=3x0−y02 ,故 mn=3x02−y024 .
因为点 P 在双曲线 C 上， □▫□▫□▫□▫∇ 所以 x02−y023=1 ，则 mn=34 .
因为渐近线 3x−y=0 的倾斜角为 π3 ,故 ∠DPE=π3 ,
在 △DPE 中,由余弦定理可得 DE2=m2+n2−2mncsπ3=m2+n2−mn≥mn=34 ,
当且仅当 m=n 等号成立,此时 P 与 A 重合,则 DE≥32 ,故 D 正确.
三、填空题:
12. 10
13. 1332
12 题解析: 第 3 项的二项式系数为 C52=10 ;
13 题解析: 设该截面分别与棱 CC1 , AB,A1D1 相交于点 M,N,K ,
则 CM=AN=D1K=1 ,截面 PNQMRK 满足 PN=QM=RK=2,NQ=MR=KP=22 ,
且 PM=32.SPNQMRK=S梯形PNQM+S梯形PKRM=122+326+1222+3262=1332 .
14 题解析: 甲在一局中获胜的概率为分甲先答题甲获胜
p1=12×12×12+12×12×23+12×23×12=724,
和祝同学们考试顺利乙先答题而甲获胜概率为 p2=12×13×23×12+23×12+23×12×23=13 ,
所以甲一局获胜概率为 α=p1+p2=1524=58 ,
甲在一场比赛中获胜分为胜前两局+胜一三局+胜后两局, 所以
P=α2+α1−αα+1−αα2=175256.
四、解答题:
15.(13分)
解: (1) fx=6sinωx+π4−2sinωx+π4−π2 =6sinωx+π4+2csωx+π4 =2232sinωx+π4+12csωx+π4 =22sinωx+5π12 .4 分
因为函祝同学们考试顺利数的最小正周期为 π ,所以 2πω=π ,则有 ω=2 , 6 分
所以 fx=22sin2x+5π12 ;
由 2x+5π12=kπ ,则有 x=kπ2−5π24 ,
所以函数 fx 的对称中心为 kπ2−5π24,0,k∈Z ; 8 分
(2)由 fθ=22sin2θ+5π12=22 ，所以 sin2θ+5π12=1 ，
则有 2θ+5π12=2kπ+π2 ,即 2θ=2kπ+π12 , 所以 tan2θ=tan2kπ+π12=tanπ12=tanπ3−π4=tanπ3−tanπ41+tanπ3tanπ4=3−11+3=2−5 . 13 分
16. (15 分)
解: (1) 因为平面 BCD⊥ 面 ABC ,平面 BCD∩ 面 ABC=BC,BD⊥BC,BD⊂ 平面 BCD , 所以 BD⊥ 平面 ABC,CE⊂ 平面 ABC ,所以 BD⊥CE ,
因为 △ABC 为正三角形，祝同学们考试顺利 E 为棱 AB 的中点，所以 CE⊥AB ，
又 BD∩AB=B,BD,AB⊂ 平面 ABD ,所以 CE⊥ 平面 ABD ; 5 分
(2)取 BC 的中点 O ，连接 AO ，则 AO⊥BC ，取 CD 的中点 F ，连接 OF ，则 OF//BD ，而 BD⊥BC ，故 OF⊥BC ，由( 1 ) BD⊥ 平面 ABC ，即 OF⊥ 平面 ABC ， OA⊂ 平面 ABC ，则 OF⊥OA ,即 OA,OB,OF 两两垂直, ⋯⋯8 分以 O 为原点建立空间直角坐标系 O−xyz ,如图所示,不妨设 BD=2a ,

则 A0,0,3a,Ba,0,0,C−a,0,0,Da,2a,0 ,则 CA=a,0,3a,CD=2a,2a,0 ,
设平面 ACD 的法向量为 m=x,y,z ,则 m⋅CA=m⋅CD=0 ,
即 x+3z=x+y=0 ,不妨取 z=−1 ,得 m=3,−3,−1 .
因为 E12a,0,32a ,所以 CE=32a,0,32a ,
由( 1 )知， CE⊥ 平面 ABD ，则可取 n=3,0,1 作为平面 ABD 的一个法向量，
由 cs=m⋅nmn=227=77 ,
故二面角 B−AD−C 的正弦值为 sinθ=1−772=427 .15 分
17. (15 分)
解: (1) 设点 Gx,y ,则由题意有 x−4x−12+y2=2 ,平方有 x−42=4x−12+y2 ,
化简得 x24+y23=1 ,祝同学们考试顺利所以动点 G 的轨迹标准方程为 x24+y23=1 ; 4 分
(2)先考察直线 y=0 ，此时 P−2,0 ， Q2,0 ，且 k1+k2=12−32=−1 ，该直线满足题意，若该定点存在,则必在 x 轴上,记为 Ka,0
设 l1 为 x=my+a ,祝同学们考试顺利联立直线 l1 与椭圆 C 的方程 x=my+ax24+y23=1 ,
得 3m2+4y2+6amy+3a2−12=0 ，
则 Δ=36m2a2−43m2+43a2−12>0 ,且有 y1+y2=−6am3m2+4,y1y2=3a2−123m2+4 ,
所以 k1+k2=y1−32x1−1+y2−32x2−1=y1−32my1+a−1+y2−32my2+a−1
=2my1y2+a−1−32my1+y2−3a−1m2y1y2+ma−1y1+y2+a−12=−1
解得 9m2+6a−24m−12a+12−9m2+4a2−8a+4=−1 ,
对应系数成比例,所以 a=4 ,所以该定点为 K4,0 . 15 分
18.(17分)
解:(1)①第一阶段 12 个小组，每组 4 支球队两两比赛，共有 12C42=72 场
②第二阶段从 32 支球队淘汰到产生前四名，共有 16+8+4=28 场
③第三阶段，共有 2+2=4 场
所以,比赛总场数为 72+28+4=104 场; 4 分
(2)若有 3 名球员不在自己对应位置上 C41×2=8 ，
祝同学们考试顺利若有 4 名球员不在自己对应位置上 C31C31=9 ，
则 4 名球员至少有 3 名球员不在自己对应位置上的概率为 p=17A44=1724 ; 8 分
(3)A球队在小组三场比赛结束后的积分 X 可能取值为: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 其中:0分(三负)、1分(一平两负)、2分(两平一负)、3分(一胜两负或三平)、 4分(一胜一平一负)、5分(一胜两平)、6分(两胜一负)、7分(两胜一平)、9分(三胜) PX=0=14×13×14=148
PX=1=14×13×14+14×13×14+14×13×12=112
PX=2=14×13×14+14×13×12+14×13×12=548
PX=3=12×13×14+13×14×14+14×14×13+14×13×12=18
PX=4=12×13×14+12×13×12+14×13×14+14×13×12+14×13×14+14×13×14=1148
PX=5=12×13×12+14×13×12+14×13×14=748
PX=6=12×13×14+12×13×14+14×13×14=548
PX=7=12×13×12+12×13×14+14×13×14=748
PX=9=12×13×14=124
分布列为
期望 EX=1×112+2×548+3×18+4×1148+5×748+6×548+7×748+9×124=133 . 17 分
19.(17 分)
解: (1) 对 fx 求导有 f′x=a−1x=ax−1xx>0 ,
① 当 a≤0 时: f′x≤0 ，故 fx 在 0,+∞ 单调递减；
② 当 a>0 时: fx 在 0,1a 单调递减，在 1a,+∞ 单调递增； 5 分
(2) fx=0⇔a=lnx+1x ,令 gx=lnx+1x ，则有 g′x=−lnxx2 ，
则有 gx 在 0,1 上单调递增,在 1,+∞ 单调递减.
若函数 fx 存在两个零点,则不妨有 0