云南师范大学附属中学2026届高考适应性月考卷（五）数学试卷（Word版附解析）

这是一份云南师范大学附属中学2026届高考适应性月考卷（五）数学试卷（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了 如图 2等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分，考试用时 120 分钟.
一、单选题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求.
1. 已知集合 A={0,1,2,3},B=x∣x2−x=0 ，则 A∩B=
A {0,1} B. {0,1,2}
C. {1,2,3} D. {0,1,2,3}
复数 z 对应的向量 OZ 如图 1 所示，则 zz−2=
A. 1−2i
B. 1+2i
C. 2+i
D. 2−i
3. 已知向量 a,b 满足: a=2,b=3 ,且 a−2b=2 ,则 a,b 的夹角为
A. 5π6 B. 2π3 C. π3 D. π6
4. 在 1+x4+1+x5 的展开式中,含 x3 项的系数是
A. 14 B. 15 C. 16 D. 18
5. 已知函数 fx=a⋅3x−3−x ，则 “ a2=1 ” 是 “ fx 为奇函数” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 函数 fx=x+2x−12 的极小值为
A. -1 B 0 C. 2 D. 4
7. 如图 2: ∠APB 为锐角, C,D 为射线 PA 上的两定点, E 点为射线 PB 上的一动点,由米勒定理: 当 E 点为过点 C,D 的圆与射线 PB 相切的切点时, ∠CED 最大. 在平面直角坐标系中,若 C0,2,D2,4 ,点 E 在 x 轴上运动,则 ∠CED 最大时， △CED 外接圆的方程为
A. x−12+y−22=4 B. x−12+y−12=9
C. x−22+y−22=4 D. x−22+y−12=9
8. 已知 a>0,1a2+1c2=2ab,bc>a2 ,则
A. b>c>a B. b>a>c C. c>a>b D. c>b>a
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分. 有选错的得 0 分.
9. 已知等差数列 an 的公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,若 S2=4,a3+a4=12 . 则
A. d=−2 B. as=9
C. S10=50 D. Sn−2an 存在最小值
10. 已知在平面直角坐标系中,0 为坐标原点,双曲线 C:x4−y29=1 的左、右焦点分别为 F1,F2 ，过 F1 的直线与圆 O:x2+y2=4 相切于点 M ，且与双曲线的右支交于点 P ， 过 F2 作直线 PF1 的垂线，垂足为 N ，则下列说法正确的是
A. cs∠PF1O=31313 B. ON○OF1
C. △NOF2 的面积为 6 D PF1=3MF1
11 在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 b2=ac,2sinA=sinC+ sinBC−A ，则下列说法正确的是
A. sinB=tanA B. a=b
C. C=π2 D. csB=5−12
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知随机变量 X 服从正态分布 N3;/σ2 ，且 P34= _____.
13. 正四棱柱 ABCD−A′B′C′D′ 的高为 2,正四棱锥 P=ABCD 的高为 1,若正四棱柱的所有顶点和点 P 都在同一球面上，则正四棱锥 P−ABCD 的体积为_____.
14. 某原件有 n 个开关排成一排,每一个开关都随机处于 “开” 和 “关” 两种相反状态, 对该原件进行如下操作:
(1)记原件中处于 “关”状态的开关个数为 k0≤k≤n ，
(2)若 k=0 ，无需操作，当 k≠0 时，将原件从左往右数的第 k 个原件的状态变为相反状态. 重复以上操作，直至原件中的每个开关都处于 “开” 状态.
如: n=2 时,若原件中开关的一种初始状态为 (开,关),则操作过程为 (开,关) → (关, 关) → (关, 开) → (开, 开), 共操作 3 次. 已知对任意初始状态, 操作必在有限次后停止，则 n=3 时，对该原件所有可能的初始状态进行操作，操作的总次数为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
在 △ABC 中, D 是 BG 上的点,已知 AB=1,∠BAC=23π,BC=3AC .
(1)求 sinB 的值；
(2)若 △ABD 的面积为 38 ，求 AD .
16. (本小题满分 15 分)
在图 3 甲的四边形 PBCD 中, ABCD 为矩形, PB//CD,PA=2AB=4,BC=32 ,将 △PAD 沿 AD 翻折至 △P′AD 得到图乙,使得: P′A⊥AB ,已知 M 为线段 BC 上的一点，且 MC=2MB ，连接 P′M ，DM.
(1)求证: P′M⊥MD ；
(2)求平面 P′AD 与平面 P′MD 所成角的余弦值.
17. (本小题满分 15 分)
已知函数 fx=2sinx−x,gx=f′x+lnx+1;f′x 为 fx 的导函数.
(1)求 fx 在 0,π2 上的单调区间；
(2)证明: gx 在 0,π2 上存在唯一零点.
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右顶点分别为 M,N ,离心率为 12 ,点 1,32 在椭圆 C 上， P 为椭圆上异于 M ， N 的任意一点，直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)证明:直线 PM 与直线 PN 的斜率之积为定值；
(3)记直线 AM,AN,MB,NB 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4 ，且 k1+k3k2+k4=3 ，证明: 直线 l 过定点.
19.(本小题满分 17 分)
圆形回廊上有四个房间，按顺时针编号 1,2,3,4，小明同学从某房间出发，每次随机地按顺时针或逆时针的顺序走到下一个相邻的某一房间. 假定他从 1 号房间出发，每次顺时针走的概率为 34 ，逆时针走的概率为 14 ，每次选择相互独立. 设经过 n 次回到 1 号房间的概率为 pn ,回到 3 号房间的概率为 qn .
(1)求 p2,q2 ；
(2)求 p2mm∈N∗ ；
(3)记: Sk=m=1kmp2m−q2m ，证明: Sk0 ,所以 b>0 ,又因为 bc>a2>0 ,所以 c>0 ,所以 ab≤ac , b≤c ,若 b=c ,此时 a=b=c ,与 bc>a2 矛盾,所以 0a2 ,所以 c>a>0 ,所以 2ab=1a2+1c2a2 ,所以 b>a ,所以 c>b>a ,故选 D.
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
【解析】
9. 因为 S2=4,a3+a4=12 ,所以 4d=8,d=2 , A 错误; 则 an=2n−1,a5=9 , B 正确; Sn=na1+an2=n2,S10=100,C 错误; Sn−2an=n2−4n+2 ,当 n=2 时, Sn−2an 存在最小值, D 正确,故选 BD .
10. 如图 1 所示,连接 OM,PF2 ,由题意可知 OM=2,OF1=13,MF1=3 , tan∠PF1O=OMMF1=23 ,所以 cs∠PF1O=31313, A 正确; 易知 △OMF1∼△F2NF1 , NMMF1=OF2OF1=1 ,所以 M 为 NF1 的中点,所以 ON=OF1 , B 错误; 过 N 作 x 轴的垂线,垂足为 H , sin∠PF1O=21313=NH6 ,所以 NH=1213 , S△NOF2=12×OF2×NH=12×13×121313=6,C 正确; NF2=4 ,设 PN=x,PF1=6+x ,则 PF2=2+x ,所以 x2+16=2+x2 ,解得: PN=x=3 ,所以 PF1=3MF1,D 正确,故选 ACD.

图 1
11. 2sinA=sinC+sinB−A,2sinA=sinA+B+sinB−A ,化简得: sinA=sinBcsA , 所以 tanA=sinB, A 正确; 因为 sinA=sinBcsA ,所以 a=bcsA ,若 a=b ,所以 csA=1 ,不符合题意, B 错误; 因为 b2=ac ,所以 sin2B=sinAsinC=tan2A=sin2Acs2A , 所以 sinC=sinAcs2A ,所以 sinCcsA=tanA=sinB ,所以 sinCcsA=sinA+C=sinAcsC +sinCcsA ,所以 csC=0 ,所以 C=π2,C 正确; 所以 sinB=tanA=tanπ2−B=csBsinB , 所以 csB=sin2B=1−cs2B ,解得: csB=5−12 , D 正确,故选 ACD.
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
【解析】

图 2
12. 因为 X 服从正态分布,且 P34=0.5−0.3=0.2 .
13. 由题意, P 点在平面 ABCD 的上方,设 O′,O′′ 为 ABCD 和 A′B′C′D′ 的中心,如图 2,则 P,O′,O′′ 在一条线上,则外接球的球心 O 为 O′,O′′ 的中点,则 OA=OP=2 ,因为 OO′=1 ,所以 AO′=3 , 所以 AB=6 ,所以正四棱锥 P−ABCD 的体积为 13×6×6×1=2.
14. 设原件中每个开关 “开” 的状态为 “ 1 ”，《关” 的状态为 “-1”，由题意知: n=3 时，列举该原件中所有开关的初始状态共有: 1,1,1,−1,1,1,1,−1,1,1,1,−1 , −1,−1,1,−1,1,−1,1,−1,−1,−1,−1,−1 共 8 种,按照规则变为 1,1,1 对应的操作次数分别为:0,1,3,5,2,4,6,3次,因此操作总次数为 0+1+3+5+2+4+6+3=24 .
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
解: (1) 因为 BC=3AC,BC=3x,AC=x ,
由正弦定理: BCsin23π=ACsinB ,所以 3x32=xsinB ,所以 sinB=12 .
(6 分)
(2)因为 sinB=12 ，所以 csB=32 ，所以 S△ABD=12×sinB×BA×BD=12×12×1×BD=38 ， 解得: BD=32 ,在 △ABD 中,由余弦定理: csB=32=BA2+BD2−AD22×DB×BA=1+34−AD22×1×32 ,
解得: AD=12 . (13 分)
16. (本小题满分 15 分)
(1)证明:如图 3，连接 AM ，因为 BC=32 ，所以 MC=22 ， MB=2 ，
又因为 P′A=2AB=4 ,所以 AM=22+22=6,MD=22+222=23 ,
所以 AD2=AM2+MD2 ,所以 AM⊥MD .
又因为 P′A⊥AB ,而 P′A⊥AD ,且 AB∩AD=A ,所以 P′A⊥ 平面 ABCD ,
又因为 MD⊂ 平面 ABCD ,所以 P′A⊥MD ,
又因为 P′A∩AM=A ,所以 DM⊥ 平面 P′AM ,所以 P′M⊥MD . (6 分)

图 3

图 4
(2)解:因为四边形 ABCD 为矩形，且 P′A⊥AB ，所以 P′A⊥ 平面 ABCD ，
以 A 为原点， AB ， AD ， AP′ 所在直线为 x ， y ， z 轴建立如图 4 所示的空间直角坐标系，
则 P′0,0,4,D0,32,0,M2,2,0 ,
所以 P′M=2,2,−4,DM=2,−22,0 , (8 分)
设平面 P′MD 的法向量为 m=x,y,z ,
则 m⋅P′M=0m⋅DM=0⇒2x+2y−4z=0x−2y=0 ,取 m=2,2,32 , (10 分)
取 n=1,0,0 为平面 P′AD 的一个法向量, (12 分)
设平面 P′AD 与平面 P′MD 所成角为 α ,
则 csα=cs⟨m,n⟩=m⋅n∥m∥∥n∥=43333 . (15 分)
17. (本小题满分 15 分)
(1)解:因为 fx=2sinx−x ，所以 f′x=2csx−1 ，
f′x=2csx−1>0 时， x∈0,π3 ，
f′x=2csx−1g0>0,gπ2=ln1+π2−1b>0 的离心率 e=ca=12 ，
所以 c2a2=a2−b2a2=14 ,所以 3a2=4b2 ,
又因为 1,32 在椭圆 C 上,所以 1a2+94b2=1a2+93a2=1 ,
所以 a2=4,b2=3 ,
所以椭圆 C 的方程为 x24+y23=1 . (4 分)
(2)证明:设 Px0,y0 ，由(1)知， M−2,0 ， N2,0 ，所以 kPM=y0x0+2 ， kPN=y0x0−2 ， 所以 kPM×kPN=y0x0+2×y0x0−2=y02x02−4 ,
因为 x024+y023=1 ,所以 y02=34−x024 ,
所以 kPM×kPN=y02x02−4=344−x02x02−4=−34 . (8 分)
(3)证明:易知直线 AB 斜率不为 0，设 AB 的方程为: x=my+n, Ax1,y1 ， Bx2,y2 ， 由 x=my+nx24+y23=1 ,得: 3m2+4y2+6mny+3n2−12=0 ,令 Δ=483m2−n2+4>0 ,
则 y1+y2=−6mn3m2+4 ①， y1y2=3n2−123m2+4 ②，
由题意知: k1⋅k2=kAM⋅kAN=−34 ,同理, k3⋅k4=kBM⋅kBN=−34 ,
因为 k1+k3k2+k4=3 ,所以 k1+k3−341k1+1k3=3 ,所以 k1⋅k3=−94 , (11 分)
所以 y1x1+2⋅y2x2+2=−94 ,
所以 y1my1+n+2⋅y2my2+n+2=−94 ,整理得: y1y2m2y1y2+mn+2y1+y2+n+22=−94 ,
代入①②整理得: 3n2−12m23n2−12+mn+2−6mn+n+223m2+4=−94 ，
即: 3n−23m2n−2−6m2n+n+23m2+4=−94 ,化简得: n−2n+2=−3 ,解得: n=−1 ,
x=my−1 ,
直线 AB 过定点 −1,0 ,
综上: 直线 AB 过定点 −1,0 . (17 分)
19. (本小题满分 17 分)
(1)解: p2=34×14+14×34=38;q2=34×34+14×14=58 . (5 分)
(2)解:小明从 1 号房间出发，走两次回到 1 号房间的概率为 p2=38 ，走两次回到 3 号房
间的概率 q2=58 ,由题意可知,小明从 1 号房间出发,走偶数次必到 1 号或 3 号房间,
所以 p2m+1=p2×p2m+q2×1−p2m=p2−q2p2m+q2=−14p2m+58 .
设 p2m+1+λ=−14p2m+λ ,所以 p2m+1=−14p2m−54λ ,所以 λ=−12 ,
则 p2m+1−12=−14p2m−12m=0,1,2,⋯ ,
因为 p0=1,p0−12=12≠0 ,
所以 p2m−12 是首项为 12 ,公比为 −14 的等比数列,
则 p2m−12=12⋅−14m ，即 p2m=12⋅1+−14m . (12 分)
(3)证明:从 1 出发，奇数步必在偶号房间 {2,4} ，偶数步必在奇数号房间 {1,3} . 因此:
若 n 为奇数,则 pn=qn=0 ,于是 pn+qn=0 ;
若 n 为偶数,此时小明必在 {1,3} 号房间之一,则 pn+qn=1 ,
所以: pn+qn=0,n为奇数1,n为偶数 ,
所以 q2m=1−p2m=12⋅1−−14m ,所以 p2m−q2m=−14m ,
因此: Sk=m=1km14m=1×141+2×142+…+k×14k1 ,
14Sk=1×142+2×143+…+k×14k+1 ②,
①式一②式得: 34Sk=1×141−k×14k+1+142+⋯+14k ，
整理得: Sk=49−14k49+k3 ,
因为 k=1,2,3⋯ ,所以 14k49+k3≥0 ,题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
A
B
B
C
D
题号
9
10
11
答案
BD
ACD
ACD
题号
12
13
14
答案
0.2
2
24