吉林省梅河口市第五中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份吉林省梅河口市第五中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知空间向量，，若，则（ ）
A．4B．6C．D．
2．二项式展开式的常数项为（ ）
A．B．60C．120D．240
3．2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（ ）
A．900B．600C．450D．150
4．万众瞩目的北京冬奥会将于年月日正式开幕，继年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为（ ）．
A．B．C．D．
5．某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为.若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线，左右焦点分别为，过作平行于的渐近线的直线交于点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点P在直线l：上，过点P的两条直线与圆O：分别相切于A，B两点，则圆心O到直线AB的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象的对称轴方程为
D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
10．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的最大值为
11．已知点，点P是双曲线C：左支上的动点，为其右焦点，N是圆D：的动点，直线交双曲线右支于Q（O为坐标原点），则（ ）
A．B．过点M作与双曲线C仅有一个公共点的直线恰有2条
C．的最小值为D．若的内切圆E与圆D外切，则圆E的半径为
三、填空题
12．已知直线平面，且直线的方向向量为，平面的法向量为，则 .
13．已知直线与圆相交于两点，则 .
14．设双曲线：的左、右焦点分别为，以为圆心的圆恰好与双曲线的两渐近线相切，且该圆过线段的中点，则双曲线的离心率是 ．
四、解答题
15．已知直线方程为.
(1)证明：直线恒过定点，并求定点坐标；
(2)为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值.
16．已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为4，直线被圆C截得的弦长为.
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l过点，且与圆C交于A，B两点.若A，B关于点P对称，求直线l的方程.
17．已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18．已知数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
19．对于各项均为正数的无穷数列，若，都有，其中d为非零常数，则称数列是数列．
(1)判断无穷数列和是不是数列？若是，求出相应的常数d的值；若不是，请说明理由；
(2)若是数列，且．
①记的前n项和为，求证：；
②对任意的正整数n，设，求数列的前项和．
1．C
求得，进而可得，求解即可.
【详解】因为，
因为，所以，解得.
故选：C.
2．B
利用二项展开式的通项公式进行求解即可.
【详解】展开式的通项为：，
令得，
所以展开式的常数项为，
故选：B．
3．C
按1，2，3或2，2，2将6人分成三组，再把分成的三组分到3个村寨即可.
【详解】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生，
所以可以分成1，2，3或2，2，2两类，
当6人分成1，2，3三组，有种分法，
当6人分成2，2，2三组，有种分法，
所以不同的安排方法种数为种，
故选：C
4．B
由题意得到两椭圆离心率相同，从而得到两椭圆长轴长与短轴长的比例相同，由此得解.
【详解】因为两个椭圆的扁平程度相同，所以两个椭圆的离心率相同，
所以两椭圆长轴长与短轴长的比例相同，则，即，得，
所以小椭圆的长轴长为：．
故选：B．
5．B
设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值.
【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，
则，，
故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为.
故选：B.
6．B
求出圆的半径得边长，从而得三角形面积，确定三棱锥体积最大时点位置，得三棱锥的高，从而求得球半径得球体积．
【详解】如图，所在圆即为的外接圆.
设圆的半径为，则，解得.
因为为等边三角形，所以.
由正弦定理可得，解得.
所以.
如图，当三点共线时，三棱锥的体积最大，最大值为，此时平面，三棱锥的高最大，且有，解得.
设球的半径为，在Rt中，，解得.
所以球的体积.
故选：B.
7．D
设，由直线与双曲线的交点和与直线的交点重合求解.
【详解】设，直线的方程为，
与双曲线方程 联立解得，
又因为，
所以直线的方程为，
与联立解得，
所以，即，
所以，
故选：D
8．C
设点，求出以为直径的圆的方程，进而可得直线的方程，再根据点到直线的距离公式，结合在直线l：上，可得圆心到直线的距离关于的表达式，进而根据函数的最值求解即可.
【详解】设点，圆O：，其圆心，
由题意知：是圆的切线，则，
则点在以为直径的圆上，又由，，
则以为直径的圆的方程为：，即，
与圆O：联立可得：，即直线的方程为.
又因为点在直线l：上，故，
所以圆心到直线的距离，
所以当时，取最大值，
故选：.
9．AC
求出函数的周期可判断A；求出的单调增区间可判断B；求出函数的图象的对称轴方程可判断C；根据图象平移规律可判断D．
【详解】对于A，函数的周期为，故A正确；
对于B，由，得，
所以的单调增区间为，故B错误；
对于C，令，则，
所以函数的图象的对称轴方程，故C正确；
对于D，函数向右平移个单位长度得到
，故D错误．
故选：AC．
10．AB
设，，将ABD中的式子化为三角函数的形式，根据三角函数的最值可求得结果；根据的几何意义，利用圆的切线的求解方法可求得的取值范围，由此确定C的正误.
【详解】由得：，可设，；
对于A，，
当时，，A正确；
对于B，，
当时，；B正确；
对于C，表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，
设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：，
，，C错误；
对于D，，
当时，，D错误.
故选：AB.
11．ACD
【详解】如下图所示：
由双曲线方程和圆方程可知，，
所以左焦点为，右焦点；
对于A，由于在双曲线左支上，根据焦半径公式可知，故A正确；
对于B，由过点的直线与双曲线有一个公共点可知，直线的斜率一定存在，
设直线斜率为，则直线的方程为，
联立直线和双曲线的方程得：
；
①当时，即，该方程为一元一次方程，仅有一个实数根，
所以直线和双曲线仅有一个公共点，此时直线与双曲线的渐近线平行，
即此时有两条直线与双曲线相交，且仅有一个交点，符合题意；
②当时，该方程为一元二次方程，由直线与双曲线有一个公共点可知，
该方程仅有一个实数根，所以，
整理得，即，
此时直线为双曲线的切线，分别为，所以过点可作两条切线；
综上可知，过点可作与双曲线有一个公共点的直线共有4条，所以B错误；
对于C，由双曲线定义可知，，
，当且仅当三点共线时等号成立；
，当且仅当三点共线时等号成立；
所以， ，即C正确；
对于D，如图所示，分别设的内切圆与三边切点为，
又因为，
所以，
又因为在轴上，，，不妨设,
由，得，即；
所以即为双曲线的左端点，又因为，
所以圆心在左端点的正上方，即圆心横坐标为，
设，则圆的半径为，由于圆与圆外切，
所以，，解得；所以D正确.
故选：ACD.
12．/
利用，可得的方向向量与平面的法向量垂直，结合空间向量垂直的坐标表示可求得的值.
【详解】因为直线平面，所以，直线的方向向量与平面的法向量垂直，
所以，解得.
故答案为：.
13．
先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，然后利用弦心距，弦和半径的关系可求出弦长
【详解】由，得，
所以圆心为，半径为2，
所以圆心到直线的距离为
，
所以，
故答案为：
14．/
先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段的中点得到，即可求出离心率,
【详解】
由题意知：渐近线方程为，由焦点，，则圆的半径为，又该圆过线段的中点，
故，离心率为.
故答案为：.
15．(1)
(2)，此时点到直线距离的最大为
（1）利用直线是直线系求出直线恒过定点即可；
（2）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值，并求出垂直时即可．
【详解】（1）由直线方程得
，
因为，所以，解得，
所以直线恒过定点；
（2）由（1）知，直线恒过定点，
则直线与已知直线垂直时，点到已知直线距离最大，
可知就是所求最大值，
直线的方程为，即，
因为直线与已知直线垂直，
所以，解得；
且；
16．（1）；（2）.
（1）设圆C的方程为，圆中的弦长公式建立方程，可得圆C的方程为；
（2）分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况，设直线l的斜率为k，设，，由A，B关于点P对称，和点A，B在圆C上，可得直线l的斜率为，从而求得直线l的方程.
【详解】解：（1）设圆C的方程为，由题意可得，解得.
故：圆C的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为.
此时点A，B不关于点对称，所以1不符合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k.
设，，因为A，B关于点P对称，所以，.
因为点A，B在圆C上，所以，
所以，整理得，即.
因为点A，B在直线l上，所以直线l的斜率为，
则直线l的方程为，即.
17．(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）由，
所以是首项、公比均为3的等比数列，故
所以.
（2）由（1）有，则，
所以，
两式相减，得
所以.
18．(1)
(2)
（2）利用时，，可得，再利用“累乘法”求数列的通项公式.
（2）将不等式恒成立问题转化为最值问题，然后求的最大值即可.
【详解】（1）当时，
所以，
.
当时，，上式亦成立.
所以.
（2）对任意恒成立，
即对任意恒成立，
记，故，
所以当时，，所以，即，
当时，，即随着n的增大，递减，
所以的最大值为，
所以，即.
19．(1)是数列，不是数列，理由见解析
(2)①证明见解析；②．
（1）令，计算为，即可判断是数列；令，计算为，即可判断不是数列；
（2）①根据题中条件，先求出，由等差数列前项和公式，求出，计算，化简整理，即可证明结论正确；
②由①中，先求出当n为奇数时，；当n为偶数时，，利用裂项相消的方法求奇数项的和，利用错位相减法求偶数项的和，进而可求出结果.
【详解】（1）解：是数列，不是数列，理由如下：
令，则，，
因为为非零常数，
所以无穷数列是数列，相应的常数d的值为4．
令，则，，，
因为不是非零常数，
所以无穷数列不是数列．
（2）①证明：因为是数列，且，
所以，是首项与公差都是1的等差数列，
所以，
．
，等号仅当时成立．
所以，即．
②解：由①知，
当n为奇数时，；
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有
，
，
，
两式相减得
，
所以，
因此，．