吉林省长春市四县区2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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1. 直线 2x+y−3=0 的倾斜角是 θ ,则 tanθ+π4 的值是 ( )
A. -3 B. -1C. −13 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的直线求出 tanθ ,再利用和角的正切计算得解.
【详解】直线 2x+y−3=0 的倾斜角是 θ ,得 tanθ=−2 ,
所以 tanθ+π4=tanθ+11−tanθ=−2+11−−2=−13 .
故选: C
2. 设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和,若 a1+a3+a5=3 ,则 S5=
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
【答案】A
【解析】
【详解】 a1+a3+a5=3a3=3,a3=1,S5=52a1+a5=52×2a3=5a3=5 ,选A.
3. 若抛物线 y2=16x 上的点 M 到焦点的距离为 12,则它到 y 轴的距离是( )
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】求出抛物线的准线方程, 利用抛物线的定义转化求解即可.
【详解】抛物线 y2=16x 的焦点 F4,0 ,准线为 x=−4 ,由 M 到焦点的距离为 12, 可知 M 到准线的距离也为 12,故到 M 到 y 轴的距离是 8 .
故选: B.
4. 等比数列 an 中,已知 a1+a3=8,a5+a7=4 ,则 a7+a9= ( )
A. 22 B. 2 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比数列通项公式及已知可得 q2=12 ,再由 a7+a9=a5+a7q2 即可求值.
【详解】若等比数列 an 的公比为 q ,
由题设 a11+q2=8a51+q2=4 ,则 q4=12 ,即 q2=12 ,
由 a7+a9=a5+a7q2=22 .
故选: A
5. 圆 x2+y2−4x=0 在点 P1,3 处的切线方程为( )
A. x+3y−2=0 B. x+3y−4=0
C. x−3y+4=0 D. x−3y+2=0
【答案】D
【解析】
【分析】容易知道点 P1,3 为切点,圆心 2,0 ,设切线斜率为 k ,从而 0−32−1⋅k=−1 ,由此即可得解.
【详解】将圆的方程 x2+y2−4x=0 化为标准方程得 x−22+y2=4 ,
∵ 点 P1,3 在圆 x−22+y2=4 上, ∴ 点 P 为切点.
从而圆心与点 P 的连线应与切线垂直.
又 ∵ 圆心为 2,0 ,设切线斜率为 k ,
∴0−32−1⋅k=−1 ,解得 k=33 .
∴ 切线方程为 x−3y+2=0 .
故选: D.
6. 在空间中,“经过点 Px0,y0,z0 ,法向量为 e=A,B,C 的平面的方程 (即平面上任意一点的坐标 x,y,z 满足的关系) 是: Ax−x0+By−y0+Cz−z0=0 ”. 如果给出平面 α 的方程是 x−y+z=1 , 平面 β 的方程是 x6−y3−z6=1 ,则由这两平面所成的角的正弦值是( )
A. 73 B. 63 C. 789 D. 23
【答案】A
【解析】
【分析】由定义得出两平面的法向量, 利用数量积公式求出法向量的夹角余弦, 利用同角三角函数的关系求出其正弦即可选出正确答案
【详解】由题意,因为平面 α 的方程是 x−y+z=1 ,所以法向量 m=1,−1,1 ,
由平面 β 的方程是 x6−y3−z6=1 ,所以法向量 n=1,−2,−1 ,
所以 cs⟨m,n⟩=m⋅nmn=1+2−13×6=232=23 ,
所以 sin⟨m,n⟩=1−232=73 ,
故选: A.
7. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线方程为 3x−4y=0 ,且其右焦点为 5,0 ,则双曲线 C 的标准方程为 ( )
A. x29−y216=1 B. x216−y29=1
C. x23−y24=1 D. x24−y23=1
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得, ba=34,c=5 ,求出 a,b 的值,即可得答案.
【详解】由题意得, ba=34,c=5 ,
∵c2=a2+b2,∴a=4,b=3 ,
故双曲线 C 的标准方程为 x216−y29=1 .
故选: B.
8. 已知 F 是椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦点,经过原点的直线 l 与椭圆 E 交于 P,Q 两点,若 PF=2QF ，且 ∠PFQ=120∘ ，则椭圆 E 的离心率为( )
A. 33 B. 12 C. 13 D. 22
【答案】A
【解析】
【分析】结合椭圆的对称性以及椭圆的定义得到 PF=4a3,PF1=2a3 ,在 △FPF1 中结合余弦定理可得 3c=a ,进而结合离心率的公式可以求出结果.

取椭圆的右焦点 F1 ,连接 F1P,F1Q ,由椭圆的对称性以及直线 PQ 经过原点,所以 OP=OQ ,且 OF1=OF ,所以四边形 FQF1P 为平行四边形,故 FQ=F1P ,又因为 PF=2QF ,则 PF=2PF1 ,而 PF+PF1=2a ,因此 PF=4a3,PF1=2a3 ,由于 ∠PFQ=120∘ ,则 ∠FPF1=60∘ ,
在 △FPF1 中结合余弦定理可得 FF22=PF2+PF12−2PF⋅PF1⋅cs60∘ ，
故 4c2=16a29+4a29−2⋅4a3⋅2a3⋅12 ,即 3c2=a2 ,所以 3c=a ,因此 e=ca=c3c=33 , 故选: A.
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.)
9. 已知 F1,F2 分别是双曲线 C:x2−y2=1 的左右焦点,点 P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且向量 PF1⋅PF2=0 ，则下列结论正确的是( )
A. 双曲线 C 的渐近线方程为 y=±x
B. △PF1F2 的面积为 1
C. F1 到双曲线的一条渐近线的距离为 2
D. 以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1
【答案】AB
【解析】
【分析】
由双曲线方程求出 a,b,c 的值,得到左右焦点的坐标,渐近线方程,由 PF1⋅PF2=0 求出点 P 的横纵坐标的关系,可求出点 P 的坐标,进而可判断各选项
【详解】解: 对于 A ,由 x2−y2=0 得 y=±x ,所以双曲线的渐近线方程为 y=±x ,所以 A 正确;
对于 B ,由双曲线 C:x2−y2=1 ,可得 a=1,b=1,c=2 ,则 F1−2,0,F22,0 ,设 Px,y ,则 PF1=−2−x,−y,PF2=2−x,−y,
所以 PF1⋅PF2=−2−x2−x+−y2=0 ,得 x2+y2=2 ,
因为点 P 是双曲线上,所以 x2−y2=1 ,解得 y=22 ,所以 △PF1F2 的面积为
12F1F2y=12×22×22=1 ,所以 B 正确;
对于 C,F1−2,0 到一条渐近线 x−y=0 的距离为 d=−21+1=1 ,所以 C 错误;
对于 D ,由于 F1−2,0,F22,0 ,所以以 F1F2 为直径的圆的圆心为 0,0 ,半径为 2 ,所以圆的方程为 x2+y2=2 ,所以 D 错误,
故选: AB
【点睛】此题考查双曲线的方程和性质, 考查运算能力, 属于基础题
10. 首项为正数,公差不为 0 的等差数列 an ,其前 n 项和为 Sn ,则下列 4 个命题中正确的有( )
A. 若 S10=0 ,则 a5>0,a60 的最大的 n 为 15 ;
C. 若 S15>0,S160 ,
S16=16a1+a162=16a8+a92=0 ,则 a8+a9=0 ,即 a90 ,
所以 a8=S8−S7>0 ,即 S8>S7 ,故 D 正确,
故选: ABD
【点睛】解题的关键是先判断 d 的正负,再根据等差数列的性质,对求和公式进行变形,求得项的正负, 再分析和判断, 考查等差数列性质的灵活应用, 属中档题.
11. 已知 F 是椭圆 x225+y216=1 的右焦点,椭圆上至少有 21 个不同的点 Pii=1,2,3,⋯,FP1,FP2 , FP3,⋯ 组成公差为 dd>0 的等差数列,则 ( )
A. 该椭圆的焦距为 6 B. FP1 的最小值为 2
C. d 的值可以为 310 D. d 的值可以为 25
【答案】ABC
【解析】
【分析】先由椭圆 x225+y216=1 ,得到焦距,判断 A 是否正确,椭圆上的动点 P ,分析 PF1 的取值范围, 判断 BCD 是否正确，得到答案.
【详解】由椭圆 x225+y216=1 ,得 a=5,b=4,c=3 ,故 A 正确;
椭圆上的动点 P,a−c≤PF1≤a+c ,即有 2≤PF1≤8 ,
故 FP1 的最小值为 2, B 正确;
设 FP1,FP2,FP3,… 组成的等差数列为 an ,公差 d>0 ,则 a1≥2,an≤8 ,
又 d=an−a1n−1 ,所以 d≤6n−1≤621−1=310 ,所以 00 ,且 nan+12−2n−1an+1an−2an2=0 . 设 Mx 表示整数 x 的个位数字,则 Ma2023= _____.
【答案】 4
【解析】
【分析】由已知整理得 nan+1+anan+1−2an=0 ,再由已知得 an+1−2an=0 ,则数列 an 的通项公式为 an=2n−1 ,根据指数运算得出数列的项的个位数字从第二项起形成一个周期为 4 的循环,由此可得选项.
【详解】因为 nan+12−2n−1an+1an−2an2=0 ,
整理得 nan+1+anan+1−2an=0 ,由已知得 an>0 ,
所以 nan+1+an>0 ,则有 an+1−2an=0 ,所以 an+1=2an ,
所以数列 an 是以 a1=1 为首项,2 为公比的等比数列,
则其通项公式为 an=2n−1 ,所以 a2023=22022 ,
又 21=2 ,个位数字为 2;22=4 ,个位数字为 4;23=8 ,个位数字为 8;24=16 ,个位数字为 6, 所以数列的项的个位数字从第二项起形成一个周期为 4 的循环,所以 a2023 与 a3 的个位数字相同,
所以 Ma2023=Ma3=M4=4 .
故答案为: 4 .
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分.解答时应写出必要的文字说明, 证明过程步骤.)
15. 已知直线 l 经过两条直线 l1:x+y−4=0 和 l2:x−y+2=0 的交点，直线 l3:2x−y−1=0 ；
(1)若 l//l3 ，求 l 的直线方程；
(2)若 l⊥l3 ,求 l 的直线方程.
【答案】(1) 2x−y+1=0 ；
【解析】
【分析】(1)先求出 l1 与 l2 的交点,再利用两直线平行斜率相等求直线 l
(2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1 求直线 l
【详解】(1) 由 x+y−4=0x−y+2=0 ,得 x=1y=3 ,
∴l1 与 l2 的交点为 1,3 .
设与直线 2x−y−1=0 平行的直线为 2x−y+c=0 ,
则 2−3+c=0,∴c=1 .
∴ 所求直线方程为 2x−y+1=0 .
(2)设与直线 2x−y−1=0 垂直的直线为 x+2y+c=0 ，
则 1+2×3+c=0 ,解得 c=−7 . ∴ 所求直线方程为 x+2y−7=0 .
【点睛】两直线平行斜率相等, 两直线垂直斜率乘积等于-1 .
16. 已知数列 an 是一个公差为 dd≠0 的等差数列,前 n 项和为 Sn,a2,a4,a5 成等比数列,且 S5=−15 .
(1)求数列 an 的通项公式;
(2)求数列 Snn 的前 10 项和.
【答案】(1) an=n−6;2−552 .
【解析】
【分析】(1) 利用已知条件列出方程, 求出公差, 然后求解通项公式.
(2)推出 Snn=n−112 ,令 cn=Snn ,得到 cn 是首项为-5,公差为 12 的等差数列,然后求解数列的和即可.
【详解】(1) 由 a2、a4、a5 成等比数列得: a1+3d2=a1+da1+4d ,即 5d2=−a1d ,
又 ∵d≠0 ,可得 a1=−5d ;
而 S5=5a1+5×42d=−15 ,解得 d=1 ,所以 an=a1+n−1d=n−6 ,
即数列 an 的通项公式为 an=n−6 .
(2)因为 Sn=na1+n⋅n−12d=n2−11n2 ，所以 Snn=n−112 ，
令 cn=Snn ,则 cn+1−cn=12 为常数, ∴cn 是首项为 -5,公差为 12 的等差数列,
所以 Snn 的前 10 项和为 −5×10+10×92×12=−552 .
【点睛】本题主要考查了等差数列以及等比数列的综合应用, 以及等差数列求和公式的应用, 其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式, 以及利用等差数列的求和公式, 准确运算是解答的关键, 着重考查了推理与运算能力, 属于基础题.
17. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中,平面 PAD⊥ 平面 ABCD,△PAD 是斜边为 AD 的等腰直角三角形, AB⊥AD,AB=1,AD=4,AC=CD=22 .

(1)求证: PD⊥ 平面 PAB ；
(2)求 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 33
【解析】
【分析】(1) 由面面垂直的性质可得线面垂直, 再由线面垂直的判定定理得证;
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可.
【小问 1 详解】
∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD ,平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD ,
AB⊂ 平面 ABCD,AB⊥AD,∴AB⊥ 平面 PAD ,
∵PD⊂ 平面 PAD,∴AB⊥PD ,
又 ∵PD⊥PA 且 AB∩PA=A,PA、AB⊂ 平面 PAB ,
∴PD⊥ 平面 PAB ；
【小问 2 详解】
取 AD 中点为 O ,连接 PO、CO ,
又 ∵PD=PA,∴PO⊥AD ,则 AO=PO=2 ,
∵AC=CD=22,CD2+CA2=AD2 ，
∴CD⊥CA,CO⊥AD ,则 CO=AC2−AO2=2 ,
以 O 为坐标原点,分别以 OC,OA,OP 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,

∴P0,0,2,B1,2,0,D0,−2,0,C2,0,0 ,
∴PB=1,2,−2,PD=0,−2,−2,PC=2,0,−2 ,
设 n=x,y,z 为平面 PCD 的一个法向量,
∴ 由 n⋅PD=0n⋅PC=0 ,得 −2y−2z=02x−2z=0 ,
令 z=1 ,则 n=1,−1,1 ,
设 PB 与平面 PCD 所成角为 θ ,
∴sinθ=cs⟨n,PB⟩=n⋅PBnPB=1−2−23×3=33 .
则直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 33 .
18. 在数列 an 中, a1=4,n+1an+1−n+2an=n2+3n+2⋅2n .
(1)设 bn=ann+1 ，求数列 bn 的通项公式；
(2)求数列 an 的前 n 项和 Sn .
【答案】(1) bn=2n,n∈N∗ ; (2) Sn=n×2n+1 .
【解析】
【分析】
(1)将 n+1an+1−n+2an=n2+3n+2⋅2n 变形可得 an+1n+2−ann+1=2n ,即 bn+1−bn=2n ,利用累加可得 bn=2n ;
(2)由(1)可得 an=n+1×2n ，利用错位相减法可得结果。
【详解】(1) ∵n+1an+1−n+2an=n2+3n+2⋅2n ,
等式两边同时除以 n+1n+2 得, an+1n+2−ann+1=2n ,即 bn+1−bn=2n .
当 n≥2 时,可得 bn−bn−1=2n−1.∴b2−b1=21,b3−b2=22,……,bn−bn−1=2n−1 .
以上各式累加得 bn−b1=2×1−2n−11−2=2n−2 ,又 b1=a12=2 ,
当 n≥2 时, bn=2n ,
又 n=1 时, b1=2 也满足上式, ∴bn=2n,n∈N∗ .
(2)由(1)可得 an=n+1×2n ，
∴Sn=2×21+3×22+4×23+⋯+n+1×2n ,① 2Sn=2×22+3×23+⋯+n×2n+n+1×2n+1 , ②
①-②，得 −Sn=2×21+22+23+⋯+2n−n+1×2n+1=2+2×1−2n1−2−n+1×2n+1=−n×2n+1 , ∴Sn=n×2n+1 .
【点睛】关键点点睛: 第 (1) 问等式两边同时除以 n+1n+2 得, an+1n+2−ann+1=2n 是解题关键. 第
(2)问掌握错位相减法适用类型以及求和步骤是解题关键.
19. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左右焦点分别为 F1,F2 ,离心率 e=22 ,点 P,Q 分别是椭圆的右顶点和上顶点, △POQ 的边 PQ 上的中线长为 32 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点 H−2,0 的直线交椭圆 C 于 A,B 两点，若 AF1⊥BF1 ，求直线 AB 的方程；
(3)直线 l1,l2 过右焦点 F2 ，且它们的斜率乘积为 −12 ，设 l1,l2 分别与椭圆交于点 C,D 和 E,F . 若 M,N 分别是线段 CD 和 EF 的中点,求 △OMN 面积的最大值.
【答案】(1) x22+y2=1
(2) x−2y+2−0 或 x+2y+2=0
(3) 28
【解析】
【分析】(1) 根据 △POQ 的边 PQ 上中线为 32 得 PQ=a2+b2=3 ,再联立 e=ca=22,a2=b2+c2 即可求解;
(2)设直线 AB 的方程为 y=kx+2k≠0 ， Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，联立直线 AB 与椭圆方程得 x1+x2,x1x2 ,再由 AF1⊥BF1 ,即 AF1⋅BF1=0 ,最后代入即可求解;
(3)设直线 l1 的方程为 y=kx+1 ，则直线 l2 的方程为 y=−12kx+1 ，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点 M,N 的坐标,观察坐标知, MN 的中点坐标 T12,0 在 x 轴上,则 S△OMN=12OTyM−yN整理后利用基本不等式即可得到面积的最值.
【小问 1 详解】 由题意,因为 Pa,0,Q0,b,△POQ 为直角三角形,所以 PQ=a2+b2=3 . 又 e=ca=22,a2=b2+c2 ,所以 a=2,b=1,c=1 ,所以椭圆的标准方程为 x22+y2=1 .
【小问 2 详解】
由(1)知， F1−1,0 ，显然直线 AB 的斜率存在，
设直线 AB 的方程为 y=kx+2k≠0 ， Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，
联立 x22+y2=1y=kx+2 消去 y 得, 1+2k2x2+8k2x+8k2−2=0 ,
所以 Δ=8k22−41+2k28k2−2=81−2k2>0 ,即 0