吉林省梅河口市第五中学2026届高三上学期12月月考 数学试卷

这是一份吉林省梅河口市第五中学2026届高三上学期12月月考 数学试卷，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，，则集合（ ）
A B. C. D.
2. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，内角，，对边分别为，，，若，，则（ ）
A. 6B. 1C. 3D. 2
4. 如图，正方体中，点是的中点，点为正方形内一动点，且平面，若异面直线与所成角为，则的最小值等于（ ）
A. B. C. D.
5. 已知正四面体外接球的球心为，过点的平面与棱分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，其中，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
6. 已知，，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知，下列说法正确的是（ ）
A.
B
C.
D.
11. 在平面直角坐标系xy中，满足，其中．O为坐标原点，为的重心，为的外心，下列说法正确的是（ ）
A. B. 存在，使得
C. 当为直角三角形时，D. 的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为__________.
13. 已知函数的定义域为，其图象关于对称，若当时，，则__________.
14. 在中，，且，则__________；若点满足，且在上的高为，则的面积为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：.
16. 设数列的前n项和，数列满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列的前n项和，，求数列的前n项和．
17. 已知为坐标原点，向量，，设．
（1）求单调递增区间；
（2）在锐角三角形中，内角对边分别为，已知，求的取值范围．
18. 已知是各项都为正数的递增数列，给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意一项，在中都存在两项，使得．
（1）若，判断是否满足性质①，说明理由；
（2）若，判断是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（3）若同时满足性质①和性质②，证明：成等差数列．
19. 对于一个函数和一个点，令函数，若是极值点，则称点是在的“边界点”．
（1）对于函数，证明：对于点，存在点，使得点是在“边界点”．
（2）对于函数，若不存在点，使得点是在的“边界点”，求的取值范围．
（3）对于函数，若存在两个不同的点，使得点是在的“边界点”，求的取值范围．
参考答案
ACCCD AAC 9ABD 10AC 11ACD
12 13 8 14 ①. ## ②. ##
15 【小问1详解】
当 时， ，
函数求导得则
故曲线 在点 处的切线方程为 ,
整理得 ．
【小问2详解】
注意到 时， ，
故 ，故 单调递增；
时， 单调递减．
所以函数的最大值为.
故 ．
16【小问1详解】
当n＝1时，；
由得（n≥2），
∴（n≥2），
又也符合，
∴，
．
【小问2详解】
，
∴．
∴，①
∴，②
①，②两式相减得：，
所以．
17 【小问1详解】
因为，
所以
，
，
，
的单调递增区间为．
【小问2详解】
由（1）得，
或，，
即或，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故．
18 【小问1详解】
由，性质①是任意，存在，
令，则要满足，
可得，可得，
其中为偶数，为奇数，所以不成立，
如：当时，，不存在这样的.
【小问2详解】
当时，，所以，
所以存在使得数列满足性质①；
对性质②，取，，
则成立，所以满足性质②.
【小问3详解】
由是递增数列，满足性质①和性质②，所以，即，
当时，，
已知，所以，
又由，所以，即.
取，则，所以，
若，则，不符合题意，舍去．
若，则．
因为，所以不是中的项，不满足性质①，不符合题意，舍去，
所以，则，
所以，故成等差数列．
19【小问1详解】
证明：．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
则2是的极小值点，
故存在点，使得点是在的“边界点”．
【小问2详解】
．
因为不存在点，使得点是在的“边界点”，所以没有极值点．
若，则没有极值点．
若，则当时，，
当时，，
所以在上单调递堿，在上单调递增，所以是的极大值点，是的极小值点．
综上，.
【小问3详解】
．
因为存在两个不同的点，使得点是在的“边界点”，所以有2个极值点．
令函数．
若，则在上恒成立，所以在上单调递增，
所以最多只有1个零点，即最多只有1个零点，则最多只有1个极值点，不符合题意.
若，则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
．
要使得有2个极值点，则有2个零点，
当时，不符合题意．
当时，由，解得．
此时，，
，令函数，
所以在上单调递减，，即．
所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以有2个极值点，符合题意．
综上，的取值范围为.