21.3.2.2 菱形的判定-课件-人教版（新教材）数学八年级下册

人教版（新教材）数学八年级下册第二十一章 四边形21.3.2.2 菱形的判定知识回顾问题：菱形的定义是什么？性质有哪些？定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.性质：1.具有平行四边形的一切性质.2.菱形本身具有的特殊性质：①四条边都相等；②两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；③菱形是轴对称图形..3.菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半.21.3.2.1 菱形的性质 教学课件幻灯片教学过程内容幻灯片1：情境导入（3分钟）1. 展示生活中的菱形实例：菱形衣架、菱形窗格、菱形地砖、菱形风筝等实物图片，引导学生观察这些图形的共同特征。2. 提问引导：“这些图形都是我们熟悉的平行四边形吗？它们与一般的平行四边形相比，有什么特殊之处？” 引导学生发现这些图形的四条边都相等。3. 引出课题：像这样四条边都相等的平行四边形叫做菱形，今天我们就一起来探究菱形的性质。幻灯片2：探究一：菱形的边与角的性质（10分钟）1. 回顾平行四边形性质：平行四边形的对边相等、对角相等、邻角互补。2. 动手操作：让学生拿出准备好的菱形纸片，测量四条边的长度，观察四个角的度数。3. 小组讨论：“菱形作为特殊的平行四边形，除了具备平行四边形的所有性质外，边和角还有哪些特殊性质？”4. 归纳总结：各小组分享探究结果，教师引导得出菱形的边的特殊性质：菱形的四条边都相等。5. 验证角的性质：通过测量和推理，明确菱形的角与平行四边形的角性质一致，即对角相等、邻角互补，无特殊之处。幻灯片3：探究二：菱形的对角线的性质（15分钟）1. 回顾平行四边形对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。2. 动手探究：让学生在菱形纸片上画出两条对角线，测量对角线的长度、对角线与边的夹角、对角线之间的夹角。3. 合作交流：小组内讨论“菱形的对角线与平行四边形的对角线相比，有什么不同？” 引导学生发现菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。4. 逻辑证明：教师引导学生结合菱形的定义（四条边相等的平行四边形）和三角形全等的知识，证明菱形对角线互相垂直且平分一组对角。5. 总结性质：师生共同梳理，明确菱形的对角线性质：菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。幻灯片4：菱形性质的梳理与几何语言表达（5分钟）1. 性质梳理：教师带领学生回顾菱形的所有性质，分为一般性质（继承平行四边形的性质）和特殊性质（四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角）。2. 几何语言表达：结合图形，用规范的几何语言表述菱形的性质。例如：若四边形ABCD是菱形，则AB=BC=CD=DA；AC⊥BD；AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC等。3. 强调重点：菱形的特殊性质是后续解题的关键，需牢记并能灵活运用。幻灯片5：例题讲解（12分钟）例题1：如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=6，求菱形的周长和BD的长度。1. 分析题目：引导学生明确已知条件（菱形的边长AB=5，对角线AC=6），所求问题（周长、另一条对角线BD）。2. 解题思路：利用菱形四条边相等的性质求周长；利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，结合勾股定理求BD的长度。3. 规范解题：教师板书详细解题过程，示范规范的几何推理步骤。4. 变式提问：若将题目中“AC=6”改为“BD=8”，求AC的长度和菱形的面积，引导学生举一反三。幻灯片6：课堂练习（8分钟）1. 基础练习1：菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的边长为______，周长为______。（考查菱形对角线性质和勾股定理）2. 基础练习2：在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，则对角线BD的长为______。（考查菱形边的性质和等边三角形判定）3. 提升练习：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE，若OE=2，求菱形的边长。（考查菱形对角线互相平分和直角三角形斜边中线性质）4. 反馈点评：学生完成后，教师进行快速批改和点评，针对共性问题进行重点讲解。幻灯片7：课堂小结（5分钟）1. 知识回顾：引导学生自主总结本节课所学的菱形的性质（一般性质和特殊性质）。2. 方法梳理：回顾探究菱形性质的过程（观察—猜想—验证—证明），强调特殊与一般的关系（菱形是特殊的平行四边形，继承平行四边形性质的同时具有特殊性质）。3. 易错提醒：提醒学生在运用菱形对角线性质时，注意“互相垂直”和“平分一组对角”这两个关键点，避免遗漏。根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.思考：你还有其他的判定方法吗？探索新知 前面我们用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字. 在四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？对此你有什么猜想.猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知：如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且BD⊥AC. 求证：□ABCD是菱形.证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴OA = OC .∵AC ⊥ BD，∴BO垂直平分 AC，∴AB = CB，∴□ABCD 是菱形.尝试证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形的判定定理1：归纳总结▶几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且BD⊥AC， ∴□ABCD是菱形． 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.例 4 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.例 4证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AE∥CF .∴∠1 = ∠2 .又∠AOE = ∠COF，AO = CO，∴△AOE≌△COF .∴EO = FO .∴四边形 AFCE 是平行四边形.又 AC ⊥ EF，∴四边形 AFCE 是菱形.练 习1.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，则该条件可以是（ ）A. AB=ACB. AC=BDC. AC⊥BDD. AB⊥ACC2. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O 且 互相垂直平分. 求证：四边形 ABCD 是菱形.证明：∵对角线 AC，BD 互相垂直平分，∴AC ⊥ BD，AO = CO，DO = BO .∴四边形 ABCD 是平行四边形.又AC ⊥ BD，∴□ABCD是菱形.【选自教材第75页 练习 第1题】 用四根长度一样的木条，首尾顺次相接. 得到的四边形是菱形吗？请说明理由.动手操作猜想：四条边相等的四边形是菱形.已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA .求证：四边形 ABCD 是菱形.证明：∵AB = CD，DA = BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形.又 AB = BC，∴ □ ABCD 是菱形.尝试证明菱形的判定定理2：归纳总结▶四条边相等的四边形是菱形.几何语言：∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形. 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.例 4证明：∵EF 垂直平分 AC，∴AE = EC，AF = FC . ∴∠1 =∠3.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AE∥BC，∴∠1 = ∠2，∴∠2 = ∠3.又OC = OC，∠EOC = ∠FOC = 90°，∴△EOC ≌ △FOC（ASA）.∴EC = FC = AE = AF .∴四边形 AFCE 是菱形.练 习1.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点. 求证：四边形EFGH是菱形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD．∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=CG=DG．∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG(SAS)，∴HE=FE=FG=HG，∴四边形EFGH是菱形．2. 如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形 ABCD 是一个菱形吗？为什么？解：四边形 ABCD 是一个菱形. 理由：如图，过点 A 分别作 AE ⊥ BC 于点 E，AF ⊥ CD 于点 F . 由题意，得 AE = AF.∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠B =∠D.又∠AEB = ∠AFD = 90°，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB = AD，∴ □ ABCD 是菱形.【选自教材第75页 练习 第2题】3. 一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形， 使∠A 是菱形的一个内角，和点 A 相对的顶点在边 BC 上，并说明所折图形是菱形的理由.解：如图，将△ABC 折叠，使 AB，AC 重合，得折痕 AD . 展开后再次折叠使点 A，D 重合，得折痕 EF，连接 DE，DF，则四边形 AEDF 为菱形.【选自教材第75页 练习 第3题】理由：设 AD，EF 相交于点 O .由折叠可知，∠EAO = ∠FAO，EF 垂直平分AD .∴∠AOE = ∠AOF = 90°，AE = DE，AF = DF .∴△AEO≌△AFO（ASA）.∴AE = AF . ∴AE = AF = DE = DF .∴四边形 AEDF 为菱形.4.如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF 于点O，交BC于点E，连接EF.（1）求证：四边形ABEF是菱形；ABECDFO证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EBF=∠AFB．∵BF 平分∠ABC，∴∠ABF=∠EBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF．∵AE⊥BF，∴∠AOB=∠EOB=90°．又BO=BO，∴△ABO≌△EBO(ASA)，∴AB=BE．∴BE=AF．又BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形．又AB=AF，∴四边形ABEF是菱形．（2）若AE=6，BF=8，CE=3，求□ABCD的面积．ABECDFO解:如图，过点F作FG⊥BC于点G．G 返回1．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是(　　)A．AC＝BD B．∠ADB＝∠CDBC．∠ABC＝∠DCB D．AD＝BCB 返回2．如图，点O既是AB的中点，又是CD的中点，且AB⊥ CD，连接AC，BC，AD，BD．若AC＝2，则四边形ACBD的周长是(　　)A．6　　B．8　　C．10　　D．不能确定B3．[2025内江]按如下步骤作四边形ABCD：(1)画∠EAF；(2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；(3)分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；(4)连接BC，DC，BD．若∠A＝40°，则∠BDC的度数是(　　)A．64°　 B．66° C．68°　 D．70° 返回【答案】D 返回4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF，请你添加一个条件：____________，使四边形BECF是菱形．AB＝AC(答案不唯一)5．[2025永州期末]如图，E，F分别在BC和CD上，AB＝AE＝AF＝AD＝BC＝CD＝EF，则∠D＝________°．80 返回【点拨】∵AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD为菱形. ∴∠B＝∠D，AD∥BC.∴∠C＋∠D＝180°.∵AD＝AF，∴∠D＝∠AFD.∵∠AFC＋∠AFD＝180°，∴∠AFC＝∠C.同理∠C＝∠AEC，∴∠C＝∠AEC＝∠AFC.易得△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°.又∵∠EAF＋∠AEC＋∠C＋∠AFC＝360°，∴∠C＝100°.∴∠D＝180°－100°＝80°.6．[2025遂宁]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD.(1)求证：△ABF≌△CDE；【证明】∵AF⊥AB，CE⊥CD，∴∠BAF＝∠DCE＝90°.∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE.∵BE＝EF＝FD，∴BF＝DE.∴△ABF≌△CDE(AAS)．(2)连接AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．【解】四边形AECF是菱形．理由如下：如图．∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED.∴AF∥CE.∴四边形AECF是平行四边形． 返回7．[2025威海期中]如图是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，正确的是(　　)甲：连接AC，作AC的中垂线交AD，BC于E，F，则四边形AFCE是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．A．甲正确，乙错误　　 B．甲、乙均错误C．甲错误，乙正确　　 D．甲、乙均正确【点拨】根据甲的作法作出图形，如图①所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAC＝∠BCA.∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，AE＝EC.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)．∴AE＝CF.∴四边形AECF是平行四边形．又∵AE＝EC，∴四边形AECF是菱形，故甲的作法正确； 返回根据乙的作法作出图形，如图②所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠1＝∠2，∠6＝∠7.∵AE平分∠BAF，BF平分∠ABC，∴∠2＝∠3，∠5＝∠6.∴∠1＝∠3，∠5＝∠7.∴AB＝AF，AB＝BE.∴AF＝BE.∴四边形ABEF是平行四边形．∴四边形ABEF是菱形，故乙的作法正确．综上所述，甲、乙均正确，故选D.【答案】D菱形的判定定义法有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 判定定理四条边相等的四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.运用定理进行计算和证明谢谢观看！