2024-2025学年重庆市高二上期10月月考数学质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年重庆市高二上期10月月考数学质量检测试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知是空间一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（ ）
B.
C. D.
3. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ）
A. ，3B. ，2C. 1，3D. ，2
4. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为（ ）（用坐标表示）
A. B. C. D.
5. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（ ）
A. B. 3C. 2D. 5
7. 已知正方体不在同一表面上的两个顶点，，则正方体的体积为（ ）
A 32B. 64C. 48D.
8. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. （多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ）
A. 点与点关于z轴对称
B. 点与点关于y轴对称
C. 点与点关于平面对称
D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 若是空间任意四点，则有
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若共线，则
D. 对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面
11. 已知正三棱柱的所有棱长都为2，P是空间中的一动点，下列选项正确的是（ ）
A. 若，则的最小值为2
B. 若，则三棱锥P-ABC的体积为定值
C. 若，则直线AP与平面ABC所成角的正弦值的最大值为
D. 若，则平面PBC截三棱柱所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为__________．
13. 四面体中，，，，，则__________．
14. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 已知向量，.
（1）求；
（2）求；
（3）求.
16. 如图，在正方体中，分别是的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
17. 如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．
（1）求的长；
（2）求和夹角的余弦值．
18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，平面平面，．
（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说用理由．
19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为.
（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
（2）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，.
①求证：；
②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.
2024-2025学年重庆市高二上期10月月考数学质量检测试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是（ ）
A B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据共面向量的判断方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断.
【详解】对A：设，即，因为不共面，
故不存在实数满足，则不共面，可以作为基底；
对B：因为存在实数，使得，故共面，不可作为基底；
对C：设，即，因为不共面,
故不存在实数满足，则不共面，可以作为基底；
对D：设，即，因为不共面，
故不存在实数满足，则不共面，可以作为基底.
故选：B.
2. 如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用空间向量的线性运算，用基底表示向量.
【详解】连接AE，如图所示，
∵E是CD的中点，，，∴＝＝．
在△ABE中，，又，
∴.
故选：A.
3. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ）
A. ，3B. ，2C. 1，3D. ，2
【正确答案】D
【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可.
【详解】因为，，，
所以，，
因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使，
所以，
所以，解得.
故选：D
4. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为（ ）（用坐标表示）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先根据向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案.
【详解】，，解得，
，
所以在上的投影向量为.
故选：A.
5. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】求出，得到直线EF一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案.
【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为．
因为，所以点P到直线EF距离为．
故选：A
6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（ ）
A. B. 3C. 2D. 5
【正确答案】B
【分析】根据题意建立空间直角坐标系计算求解即可.
【详解】因为平面，平面，
所以，
又因为四边形是矩形，所以，
以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，则，
所以，，所以．
故选：B
7. 已知正方体不在同一表面上的两个顶点，，则正方体的体积为（ ）
A. 32B. 64C. 48D.
【正确答案】B
【分析】利用空间两点距离公式求得正方体的体对角线长，然后求出正方体的棱长，进而求出正方体的体积.
【详解】，
又因为，两点不在同一表面上，
所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长.
设正方体的边长为a，则，即，所以正方体的体积为64.
故选：B
8. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可.
【详解】由，解得
当共线时，由，即解得，
所以当夹角为钝角时，
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. （多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ）
A. 点与点关于z轴对称
B. 点与点关于y轴对称
C. 点与点关于平面对称
D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
【正确答案】BD
【分析】结合空间直角坐标系的概念对选项逐一分析即可.
【详解】点与点关于x轴对称，故错误；
点与关于y轴对称，故正确；
点与不关于平面对称，故错误；
空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故正确．
故选.
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 若是空间任意四点，则有
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若共线，则
D. 对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面
【正确答案】BCD
【分析】利用向量加法运算判断A；利用共线向量定理判断B；利用向量共线的意义判断C；利用共面向量定理判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，当时，不存在，B错误；
对于C，共线，可以在同一条直线上，C错误；
对于D，当时，四点不共面，D错误.
故选：BCD
11. 已知正三棱柱的所有棱长都为2，P是空间中的一动点，下列选项正确的是（ ）
A. 若，则的最小值为2
B. 若，则三棱锥P-ABC的体积为定值
C. 若，则直线AP与平面ABC所成角的正弦值的最大值为
D. 若，则平面PBC截三棱柱所得的截面面积为
【正确答案】BCD
【分析】如图，建立空间直角坐标系，由，求出，由空间中两点的距离公式和二次函数的性质可判断A；由点到平面的距离公式和三棱锥的体积公式可判断B；由线面角的向量公式和二次函数的性质可判断C；先求出点，再求出平面PBC截三棱柱所得的截面，即可判断D.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，B（0，1，0），C（0，-1，0），
，，．
因为，所以，
所以，
所以．
当，时，，所以A错误；
因为，
所以，
因为平面ABC的法向量为，
所以点P到平面ABC的距离为为定值，
即三棱锥P-ABC的体积为定值，所以B正确；
因为，
平面ABC的一个法向量为，设AP与平面ABC所成的角为θ，
所以，，
当时，，所以C正确；
因为，所以，
由图可知平面PBC截三棱柱所得的截面为，
，所以D正确．

故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为__________．
【正确答案】
【分析】利用空间向量的坐标运算法则求解即可.
【详解】，
，得，
，
即点的坐标为.
故答案为.
13. 在四面体中，，，，，则__________．
【正确答案】
【分析】根据空间向量数量积的运算进行求解即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以.
又，，所以，
所以.
又，所以．
故30°
14. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．
【正确答案】##-0.125
【分析】根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答.
【详解】连接，如图，
因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB，
则平面PAB，又平面PAB，即有，
因M是AC的中点，则，又，
，当且仅当取“=”，
所以的最小值为.
故
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）求；
（2）求；
（3）求.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】由空间向量的数量积，模长公式及夹角公式的坐标运算直接求解.
【小问1详解】
;
【小问2详解】
,
则；
【小问3详解】
，则
16. 如图，在正方体中，分别是的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）根据平面法向量的性质，结合空间点到面距离公式进行求解即可.
【小问1详解】
以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，

，
所以直线与所成角的余弦值为；
【小问2详解】
设平面的法向量为，
则得取，则，
得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
17. 如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．
（1）求的长；
（2）求和夹角的余弦值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案；
（2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案.
【小问1详解】
由题意得，
又，，，，，
故
，
故；
【小问2详解】
，
则.
18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，平面平面，．
（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说用理由．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）存在；
【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质定理可得平面，即可证明平面平面；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
证明：在中，，，由余弦定理，得
，所以，即．
因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
【小问2详解】
设，的中点分别为，，连接，，
因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．
因为，分别为，的中点，所以，又，所以，即，，两两互相垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，B1,0,0，，，，
设，则，所以．
，，设m=x,y,z是平面的法向量，则即令，则，，即平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角，又，
则，
即，解得．
所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时．
19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为.
（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
（2）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，.
①求证：；
②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.
【正确答案】（1）
（2）①证明见解析；②.
【分析】（1）根据平面，平面，平面两两垂直，得，即可求解；
（2）①根据余弦定理及勾股定理即可证明；
②建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解.
【小问1详解】
解：因为平面，平面，平面两两垂直，
所以，
所以球面三角形ABC的面积；
【小问2详解】
解：①证明：由余弦定理可得：
，且,
所以，
即，
消去，则有：
即；
②由题意可知是球的直径，则有,
又，
所以平面，
又因为平面，
所以,
又因，
所以平面，平面，
所以，
又因为直线与平面所成的角分别为，，
所以，
不妨令，
则，，
又因为,,,
以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系：
设，
则
可得，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，
所以；
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，
所以，
要使取最小值，则取最大值，
因为
令，
则，
所以
当且仅当时等号成立，
则的最大值为，
所以取最小值为.
方法点睛：在涉及求直线与平面、平面与平面所成角时，利用空间向量法求解更简单些.