河北省NT20名校联合体高三年级1月质检考试数学试卷及解析

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1. 复数 2-i31-i 的共轭复数的虚部为
A. 32i B. -32 C. -32i D. 32
2. 样本数据3,8,4,6,27,9,1,5的第 75 百分位数为
A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9
3. 已知向量 a=-2,4 与 b=n,2 ，若 a//a+b ，则 n=
A. 4 B. -4 C. 1 D. 1
4. 已知数列 an 是等比数列,若 a2=-1,a8=-4 ,则 a5=
A. ±1 B. -1 C. ±2 D. 2
5. 若椭圆 y2a2+x2=1a>1 的离心率为 12 ，则该椭圆的焦距为
A. 54 B. 43 C. 233 D. 433
6. 已知直线 l1:3x-3ay+5=0,l2:1-ax+2y-7=0 ,则 “ a=-1 ” 是 “ l1 // l2 ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知函数 fx 及其导函数 gx 的定义域均为 R ， gπ2+x 为奇函数，fx+y+fx-y=2fxcsy,
f0=0 ,若方程 fx=mm>0 在区间 0,3π 上恰有四个不同的实数根 x1,x2,x3,x4 ,则 x1+x2+x3+x4=
A. 2π B. 4π C. 8π D. 6π
8. 如图,几何体 ABC A1B1C1 中, △ABC 是正三角形, AA1=CC1=AB=8 , BB1=4,AA1//BB1//CC1,AA1⊥ 平面 ABC,E,F 分别为 A1B1,A1C1 的中点,直线 AB 与平面 EFC 相交于点 M . 则 AMMB 的值为
A. 2 B. 3C. 32 D. 4
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列命题不正确的有
A. 斜二测画法不会改变边长比例
B. 一条直线和一个点确定一个平面
C. 过圆锥顶点的所有截面中, 轴截面的面积最大
D. 用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面
10. 已知函数 fx=2x3-x2 ,则
A. fx 在 -∞,0 上单调递增
B. fx 的极大值为 0
C. fx 有三个零点
D. 曲线 y=fx 在 x=1 处的切线方程为 4x-y+3=0
11. 已知双曲线 C:x24-y25=1 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,点 A 在 C 的右支上, △AF1F2 的内切圆圆心为 O1 ,过 F2 作 F2D⊥AO1 ,垂足为 D,O 为坐标原点, 则
A. 双曲线 C 的离心率为 32 B. OD=2
C. 圆心 O1 的横坐标为 1 D. O1A 为双曲线 C 的切线
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知直线 ax+3y-2=0 的倾斜角为 π3 ，则 a= _____.
13. 已知点 A-2， 5 ，点 M 是抛物线 x2=8y 上的一点，点 B 是圆 F:x2+ y-22=1 上的一点，则 MA+MB 的最小值为_____
14. 在 Rt△ABC 中, AB⊥AC,AB=1,BC=2,S 为空间中的一个点, BC⊥ SC,SA=52 ，则三棱锥 S-ABC 体积的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,
已知 sin2C-sinAsinB=sin2A+sin2B .
(1)求 C ；
(2)若 a=5,b=3,D 为 AB 边上一点，且 AC⊥CD ，求 CD.
16.(本小题满分15分)
已知 B5,2 ，C(( 1,0 )两点.
(1)求以线段 BC 为直径的圆的标准方程；
(2)若动点 A 满足 AB⊥AC,M 为 AC 的中点，求点 M 的轨迹方程.
17. (本小题满分 15 分)
已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1a>b>0 的上焦点为 F ，焦距为 2，椭圆 C 的上顶点到 F 的距离与它到直线 l:y=4 的距离之比为 12 .
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)若过点 0,4 且斜率存在的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点，求 kAF+kBF 的值.
18.(本小题满分 17 分)
如图,斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 1,D 为 BC 上一点, A1B// 平面 ADC1,AD⊥DC1,AA1=BC=2AB=2AC=2,∠B1BC 为锐角.
(1)求证: AD⊥ 平面 BCC1B1 ；
(2)求二面角 A1-B1B-C 的正弦值.
19. (本小题满分 17 分)
将平面内任意向量 OP=x,y 绕坐标原点 O 逆时针方向旋转角 α ，得到向量 OP'=xcsα-ysinα,xsinα+ycsα . 已知双曲线 C1:x22-y22=1 ,将双曲线 C1 绕点 O 逆时针旋转 π4 后得到曲线 C2 .
(1)求 C2 的方程；
(2)点 A 在曲线 C2 上，曲线 C2 在点 A 处的切线为直线 l .
(i) 若 l 与两坐标轴分别交于 M,N 两点,求 △OMN 的面积;
(ii) 若 B,C 两点都在曲线 C2 上(异于点 A ),且满足 AB⋅AC=0 ,求证: l⊥BC
NT20 名校联合体高三年级 1 月质检考试 数学(一)参考答案
1.【答案】B
【解析】 2-i31-i=2+i1-i=2+i1+i1-i1+i=12+32i ,所以共轭复数的虚部为 -32 ,故选B.
2.【答案】C
【解析】数据1,3,4,5,6,8,9,27共 8 个,则 8×75%=6 , 因此第 75 百分位数为 8+92=8.5 ,故选C.
3.【答案】D
【解析】 a+b=-2+n,6 ,因为 a//a+b ,则 -2×6=4-2+n ,解得 n=-1 . 故选 D.
4.【答案】C
【解析】由等比数列的性质得 a2⋅a8=a5​2 ,解得 a5=±2 . 故选C.
5.【答案】C
【解析】因为椭圆 y2a2+x2=1a>1 的离心率为 a2-1a , 所以 a2-1a=12 ,即 a=233,c=a2-1=33 ,所以该椭圆的焦距为 233 . 故选C.
6.【答案】A
【解析】 l1//l2⇒3aa-1-2×3=0 ,且 3×-7≠51-a ,解得 a=-1 或 a=2 .
由 a=-1 可得 l1//l2 ; 而 l1//l2 还可能得 a=2 ,
由此可知: “ a=-1 ” 是 “ l1//l2 ” 的充分不必要条件,故选A.
7.【答案】D
【解析】取 x=0 ,得 fy+f-y=0 ,即 fx 为奇函数;
取 y=π2 ,得 fx+π2+fx-π2=0 ,所以 fx+π=-fx ,
所以 fx+2π=-fx+π=fx ,所以 fx 的周期为 2π .
又 gπ2+x 为奇函数,所以 gx 的图象的一个对称中心为 π2,0 ,故 fx 图象的对称轴为直线 x=π2 ,结合上面结论可得直线 x=5π2 也是 fx 图象的对称轴;
又方程 fx=mm>0 在区间 0,3π 上恰有四个不同的实数根 x1,x2,x3,x4 ,则 x1+x2+x3+x4=6π .
8.【答案】D
【解析】因为 E,F 分别为 A1B1,A1C1 的中点,
所以 EF//B1C1 ,延长 BB1 至点 K ,使得 BB1=BK=4 ,连接 CK ,
所以 B1K=C1C=8 ,且 B1K//C1C ,所以四边形 B1KCC1 为平行四边形,
所以 KC//B1C1 ,所以 KC//EF .
连接 EK ,交 AB 于点 M ,过点 E 作 AB 的垂线,垂足为 Q ,
则 EQ//B1K ,又 E 为 A1B1 的中点,
所以 Q 为 AB 的中点,所以 EQ=A1A+B1B2=6 ,
又 AB=8,QB=4 .
由 △EQM∼△KBM 易知, BMMQ=BKEQ ,即 BM4-BM=46 ,解得 BM=85 ,
所以 AMMB=8-8585=4 . 故选D.
9.【答案】 ABC
【解析】选项 A，斜二测画法可能会改变边长比例，A 选项错误；
选项 B, 当点在直线外时, 直线与该点可确定一个平面, 当点在直线上时, 直线与该点不能确定一个平面, 故选项 B 错误;
选项 C，过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积是否最大，取决于轴截面三角形的顶角是否不大于 90°， 故 C 错误;
选项 D, 用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面, 故 D 正确; 故选 ABC.
10.【答案】AB
【解析】函数 fx=2x3-x2,f'x=6x2-2x=2x3x-1 ,
由 f'x>0 得 x>13 或 x0 , 所以 fx 的图象与 x 轴有两个交点, C 选项错误; f'1=4,f1=1 ,所以切线方程为 y-1=4x-1 , 即 4x-y-3=0 ，D 选项错误.故选 AB.
11.【答案】ABD
图1
【解析】对于 A 选项: 由题知 a=2,b=5,c=3 , 所以双曲线 C 的离心率为 32 . A 选项正确;
对于 B 选项: 如图 1 所示,
设圆 O1 与 ΔAF1F2 的三边分别相切于点 P,M,N ，
延长 F2D 交 AF1 于点 E ,连接 OD ,
则 OD=12EF1 ,
AF1-AF2=AF1-AE=EF1=2a,OD=12EF1=a=2,
因此 B 选项正确;
对于 C 选项: 如图 1 所示,
AF1-AF2=AN+NF1-AM+MF2=NF1-MF2=PF1-∣PF2⊨xp+3-3-xp=4 解得 xp=2 ,故圆心 O1 的横坐标为 2,故 C 选项错误;
对于 D 选项,如图 2,设双曲线 C 在点 A 处的切线为 GH ,作 AT⊥GH ,
图2
由光学性质可以知道 ∠F2AT=∠SAT,∠GAS=∠F2AH ,
又 ∠F2AH=∠GAF,∠GAS=∠F1AH ,
所以 ∠F2AH=∠F1AH ,所以 AH 为 ∠F1AF2 的平分线,
故 A,H,O1 三点共线. 故 D 选项正确. 故选 ABD.
12.【答案】 -33
【解析】由题意可得直线 ax+3y-2=0 的斜率为 -a3 ,所以 tanπ3=3=-a3 ,解得 a=-33 .
13.【答案】6
【解析】由题意知 F0,2 是抛物线 x2=8y 的焦点,
过点 M 作准线的垂线,垂足为 M' ,记点 M 到抛物线 x2=8y 的准线的距离为 d ,
所以 MA+MB≥MA+MF-1=MA+d-1≥5+2-1=6 ,
当且仅当直线 AM 与抛物线的准线垂直,点 B 在线段 MF 上时,等号成立,
所以 MA+MB 的最小值为 6 .
14.【答案】 33
【解析】因为 BC⊥SC ,所以 S 在过 C 点且与 BC 垂直的平面 α 内, 设 α∩ 平面 ABC=l ,过 A 作 l 的垂线,垂足为 A1 ,则 AA1⊥α ,且 AA1=32 ，因为 SA=52 ，所以 S 点在以 A1 为底面圆心的圆周上， 如图平面 SCA1⊥ 平面 ABC ,且平面 SCA1∩ 平面 ABC=l ,由图可知 S 到底面 ABC 的最大距离为 SA2-AA12=2 ,所以三棱锥体积的最大值为 VS-ABC=13×SΔABC×2=13×32×2=33 .
15.【解析】
(1)因为 sin2C-sinAsinB=sin2A+sin2B ，
所以由正弦定理得 c2-a2-b2=ab , ..3 分
∵c2-a2-b2=-2abcsC,∴csC=-12 ,
∵C∈0,π,∴C=2π3 . .6 分
(2)因为 AC⊥CD ，所以 ∠ACD=π2,∠DCB=π6 ，
因为 S△ABC=S△ACD+S△BCD , .9 分
所以 12absin2π3=12b⋅CD+12a⋅CD⋅sinπ6 ，
即 12×3×5×32=12×3⋅CD+12×5⋅CD×12 ,解得 CD=15311 . .13 分
16.【解析】
(1)因为 BC 为直径，则 B5,2,C1,0 的中点为 D3,1 ，所以圆心为 D3,1 ， .3 分半径 r=5-12+2-022=5 ,所以圆 D 的标准方程为 x-32+y-12=5 ..6 分
(2)设 Mx,y,Ax0,y0 ，
因为 C1,0 ， M 是线段 AC 的中点，
由中点坐标公式得 x=x0+12,y=y0+02 ,所以 x0=2x-1,y0=2y , .9 分
由(1)知，点 A 的轨迹方程为 x-32+y-12=5 ，
将 x0=2x-1,y0=2y 代入得 2x-42+2y-12=5 ,即 x-22+y-122=54 .13 分所以动点 M 的轨迹方程为 x-22+y-122=54 (除 1,0,3,1 两点). .15 分
17.【解析】
(1)因为焦距为 2 ，所以 2c=2 ，即 c=1 ， .2 分又椭圆上顶点到点 F 的距离与到直线 l:y=4 的距离之比为 12 ,
上顶点 P0,a ,则 a-14-a=12 , .4 分
解得 a=2 ,即 a2=4,b2=3 ,
所以椭圆 C 的标准方程为 y24+x23=1 ; .6 分
(2)由题知 F0,1 ，设直线 AB:y=kx+4 ， Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，
联立 y=kx+4y24+x23=1 ,得 3k2+4x2+24kx+36=0 , .8 分
则 Δ=24k2-43k2+4×36>0 ,解得 k>2 或 k