2025-2026学年河北省NT20名校联合体高三（上）质检数学试卷（一）（1月份）（含答案）

这是一份2025-2026学年河北省NT20名校联合体高三（上）质检数学试卷（一）（1月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数2−i31−i的共轭复数的虚部为( )
A. 32iB. −32C. −32iD. 32
2.样本数据3，8，4，6，27，9，1，5的第75百分位数为( )
A. 7.5B. 8C. 8.5D. 9
3.已知向量a=(−2,4)与b=(n,2)，若a//(a+b)，则n=( )
A. 4B. −4C. 1D. −1
4.已知数列{an}是等比数列，若a2=−1，a8=−4，则a5=( )
A. ±1B. −1C. ±2D. 2
5.若椭圆y2a2+x2=1(a>1)的离心率为12，则该椭圆的焦距为( )
A. 54B. 43C. 2 33D. 4 33
6.已知直线l1：3x−3ay+5=0，l2：(1−a)x+2y−7=0，则“a=−1”是“l1//l2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数f(x)及其导函数g(x)的定义域均为R,g(π2+x)为奇函数，f(x+y)+f(x−y)=2f(x)csy，f(0)=0，若方程f(x)=m(m>0)在区间[0,3π]上恰有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=( )
A. 2πB. 4πC. 8πD. 6π
8.如图，几何体ABC−A1B1C1中，△ABC是正三角形，AA1=CC1=AB=8，BB1=4，AA1//BB1//CC1，AA1⊥平面ABC，E，F分别为A1B1，A1C1的中点，直线AB与平面EFC相交于点M.则AMMB的值为( )
A. 2
B. 3
C. 32
D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题不正确的有( )
A. 斜二测画法不会改变边长比例
B. 一条直线和一个点确定一个平面
C. 过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积最大
D. 用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面
10.已知函数f(x)=2x3−x2，则下列说法正确的是( )
A. f(x)在(−∞,0)上单调递增
B. f(x)的极大值为0
C. f(x)有三个零点
D. 曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x−y+3=0
11.已知双曲线C：x24−y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的右支上，△AF1F2的内切圆圆心为O1，过F2作F2D上AO1，垂足为D，O为坐标原点，则( )
A. 双曲线C的离心率为32B. |OD|=2
C. 圆心O1的横坐标为1D. O1A为双曲线C的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线ax+3y−2=0的倾斜角为π3，则a= ．
13.已知点A(−2,5)，点M是抛物线x2=8y上的一点，点B是圆F：x2+(y−2)2=1上的一点，则|MA|+|MB|的最小值为 ．
14.在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=1，BC=2，S为空间中的一个点，BC⊥SC，SA=52，则三棱锥S−ABC体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2C−sinAsinB=sin2A+sin2B.
(1)求C；
(2)若a=5，b=3，D为AB边上一点，且AC⊥CD，求CD．
16.(本小题15分)
已知B(5,2)，C(1,0)两点．
(1)求以线段BC为直径的圆的标准方程；
(2)若动点A满足AB⊥AC，M为AC的中点，求点M的轨迹方程．
17.(本小题15分)
已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上焦点为F，焦距为2，椭圆C的上顶点到F的距离与它到直线l：y=4的距离之比为12．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点(0,4)且斜率存在的直线与椭圆C交于A，B两点，求kAF+kBF的值．
18.(本小题17分)
如图，斜三棱柱ABC−A1B1C1的体积为1，D为BC上一点，A1B//平面ADC1,AD⊥DC1,AA1=BC= 2AB= 2AC=2,∠B1BC为锐角．
(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；
(2)求二面角A1−B1B−C的正弦值．
19.(本小题17分)
将平面内任意向量OP=(x,y)绕坐标原点O逆时针方向旋转角α，得到向量OP′=(xcsα−ysinα,xsinα+ycsα).已知双曲线C1：x22−y22=1，将双曲线C1绕点O逆时针旋转π4后得到曲线C2．
(1)求C2的方程；
(2)点A在曲线C2上，曲线C2在点A处的切线为直线l．
(i)若l与两坐标轴分别交于M，N两点，求△OMN的面积；
(ii)若B，C两点都在曲线C2上(异于点A)，且满足AB⋅AC=0，求证：l⊥BC．
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.C
5.C
6.A
7.D
8.D
9.ABC
10.AB
11.ABD
12.−3 3
13.6
14. 33
15.解：(1)根据题意可知，sin2C−sinAsinB=sin2A+sin2B，
∴根据正弦定理c2−a2−b2=ab，
∵c2−a2−b2=−2abcsC，∴−2csC=1，∴csC=−12，
∵C∈(0,π)，∴C=2π3；
(2)∵AC⊥CD，∴∠ACD=π2,∠DCB=π6，
∵S△ABC=S△ACD+S△BCD，∴12absin2π3=12b⋅CD+12a⋅CD⋅sinπ6，
即12×3×5× 32=12×3⋅CD+12×5⋅CD×12，解得CD=15 311．
16.解：(1)设BC中点为D，则D(3,1)，
半径r= (5−1)2+(2−0)22= 5，
标准方程为(x−3)2+(y−1)2=5；
(2)设M(x,y)，A(x0,y0)，
则x=x0+12,y=y0+02，
故x0=2x−1，y0=2y，
因为点A的轨迹方程为(x−3)2+(y−1)2=5，
将x0=2x−1，y0=2y代入得(2x−4)2+(2y−1)2=5，
整理可得(x−2)2+(y−12)2=54，
又x0≠1，x0≠5，故x≠1，x≠3，
所以点M的轨迹方程为(x−2)2+(y−12)2=54，(除(1,0)，(3,1)两点)．
17.解：(1)由椭圆焦距为2，可得2c=2，即c=1，
又椭圆上顶点到点F的距离与到直线l：y=4的距离之比为12，
上顶点P(0,a)，焦点F(0,1)，则a−14−a=12，
解得a=2，即a2=4，b2=a2−c2=3，
所以椭圆C的标准方程为y24+x23=1；
(2)设直线AB：y=kx+4，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=kx+4y24+x23=1，得(3k2+4)x2+24kx+36=0，
则Δ=(24k)2−4(3k2+4)×36>0，解得k>2或k