四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

这是一份四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题单选题，多选题等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
2027 届高二上学期 9 月月考
数学试题
考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题 58 分）
一、单选题单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
10
5
设（ 为虚数单位），则（）
z  1 ii| z2  z |
3
A 2
B.
C.
D. 2
已知圆锥的侧面展开图为一个半径为 18，圆心角为 120°的扇形，则该圆锥的体积为（）
A. 432 2πB. 216 2πC. 144 2πD. 12 2π
如图， V ABC是水平放置的V ABC 的斜二测直观图，其中OC  OA  2OB ， OB  2 .则以下正确的有（ ）
OA  4
C. OB  4
V ABC 是等腰直角三角形
D. V ABC 的面积为8
6
在V ABC 中，已知b ， A  45 ， C  75∘ ，则c  （）
6
A.
B. 2
C. 3D.1
2
2
3
要得到函数 f  x  2 cs 2x  π 的图象，只需 g  x  sin  2x  π 的图象
3 3 

π
向左平移 2 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变）
π1
向左平移 2 个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的 2 倍（横坐标不变）
π1
向左平移 4 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）
π
向左平移 4 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变）
如图，在三棱柱 ABC  A1B1C1 中， CA  CB  CC1 ， CA  CB ， CC1  底面 ABC ，则异面直线
AB1 与 BC 所成角的余弦值是（）
3B.6
33
C.2D. 2
23
已知cs2α β  2 ， sin α 2β 2 ，且 π  α π ， 0  β π ，则csα β 
22424
（）
B. 0C. -1D. 2
2
如图所示，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为
A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
在平行四边形 ABCD 中，点 E ， F 分别是边 BC 和 DC 的中点， P 是 DE 与 BF 的交点，则有（）
uuuruuur
AE  AB 
1 uuur
AD
–––→
AF 
1 –––→
AB 
1 –––→
AD
222
–––→
AP 
2 –––→
AB 
2 –––→
AD
–––→
CP 
1 –––→
CD 
1 –––→
CB
3322
三角形 ABC 的三边 a, b, c 所对的角为 A, B,C ，1 (sin A  sin B)2  sin Asin B  cs2 C ，则下列说
法正确的是（）
C  π
3
若V ABC 面积为4
，则V ABC 周长的最小值
3
为 12
当b  5 ， c  7 时， a  9
若b  4 ， B  π ，则V ABC 面积为6  2
3
4
如图直角梯形 ABCD 中， AB//CD ， AB  BC ， BC  CD  1 AB  2 ，E 为 AB 中点.以 DE 为折
2
3
痕把V ADE 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PC  2
则（）
A. 平面 PED  平面 PCDB. PC  BD
π
2
C. 二面角 P  DC  B 的大小为
4
D. PC 与平面 PED 所成角的正切值为
第 II 卷（非选择题 92 分）
3
→
三、填空题本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
若| a | 2 ， | b | 1 ，且
| a  b |
，则 a 与b 的夹角为.
如图，货轮在海上以 40 海里/ 时的速度由 B 向C 航行，航行的方向角NBC  140 ， A 处有灯塔，其方位角NBA  110 ，在C 处观察灯塔 A 的方位角N CA  35 ，由 B 到C 需航行 0.5 小时，则C 到灯塔 A 的距离是海里.
如图，已知边长为 4 的菱形 ABCD 中， AC  BD  O, ABC  60 .将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起得到三棱锥 D  ABC ，二面角 D  AC  B 的大小为 60°，则直线 BC 与平面 DAB 所成角的正弦值为
.
四、解答题本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2
θ 3π→→
已知向量 a 与b 的夹角
，且 a  3 ， b
4
 2．
→→→
（1）求a·b ， a  b ；
a
（2）求 a 在 →  b 方向上的投影向量的模．
在V ABC 中， A, B,C 的对边分别为 a, b, c, acsB  2acsC  2c  bcsA .
若c 3a ，求csB 的值；
若b  1,∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D ，求 AD 长度的取值范围.
如图，在四棱锥 O﹣ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， ABC  60∘ ， OA  平面 ABCD ，
OA  2 ， M 为OA 的中点， P 为CD 的中点.
求证： CD  平面 MAP ；
求证： MP// 平面OBC ；
求三棱锥 M  PAD 的体积.
已知函数 f (x)  Asin(ωx φ) （其中 x  R ， A  0 ，ω 0 ， 0 φ π）的部分图象如图所示，
2
7
P 是图象的最高点， Q 为图象与 x 轴的交点， O 为坐标原点.若OQ  6 ， OP  4 ， PQ  2.
求POQ 的大小；
求函数 y 
f  x 的解析式；
3
若α[2, 2] ， f (α) ，求sin π 的值.
α
28
欲在某湿地公园内搭建一个形状为平面凸四边形 ABCD 的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，
其中 DC  4 （单位：百米）， DA  2 （单位：百米）， V ABC 为正三角形.建成后△BCD 将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，△ABD 将作为科普宣教文化的区域.
当ADC  π 时，求旅游观光、休闲娱乐的区域△BCD 的面积；
3
求旅游观光、休闲娱乐的区域△BCD 面积的最大值.
注意事项：
2027 届高二上学期 9 月月考
数学试题
考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题 58 分）
一、单选题单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
设（ 为虚数单位），则（）
z  1 ii| z2  z |
3
A. 2
B.
C.
D. 2
10
5
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据复数代数形式的乘法运算法则化简，再根据复数模的计算公式计算可得；
【详解】解：因为 z  1 i ，所以 z2  z  1 i2 1 i  1 2i  i2 1 i  1 3i ，所以
12  32
| z2  z | 10 ；
故选：B
已知圆锥的侧面展开图为一个半径为 18，圆心角为 120°的扇形，则该圆锥的体积为（）
A. 432 2πB. 216 2πC. 144 2πD. 12 2π
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出圆锥的底面半径和高即可求出圆锥的体积.
【详解】解：由题意
在圆锥中，设底面半径为 r
圆锥的侧面展开图为一个半径为 18，圆心角为 120°的扇形
∴ 2πr  120  2π18 360
解得： r  6
由几何知识得
182  62
圆锥的高： h 
 12
2
2
∴圆锥体积：V  1 πr 2h  1 π 62 12
33
 144 2π
故选：C.
如图， aABC是水平放置的V ABC 的斜二测直观图，其中OC  OA  2OB ， OB  2 .则以下正确的有（ ）
OA  4
C. OB  4
V ABC 是等腰直角三角形
D. V ABC 的面积为8
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据直观图画出原图，逐一分析，计算判断，即得正确答案.
【详解】画出原图如下图所示，
根据斜二测画法的知识可知： OC  OA  OB  4 ，则∠ABC  90∘ , AB  CB
即三角形 ABC 是等腰直角三角形，面积为 1  8  4  16 .故 A, B, C 项正确，D 项错误.
2
故选：ABC.
6
在V ABC 中，已知b ， A  45 ， C  75∘ ，则c  （）
6
​
B. 2
C. 3D.1
2
2
3
【答案】D
【解析】
【分析】根据两角和差的正弦公式计算sin 75∘ ，再结合正弦定理即可.
【详解】由题意可知， B  180∘  45∘  75∘  60∘ ，
2
6
又sin 75∘  sin 30∘  45∘   1  2  3  2 
，
则由正弦定理
b
sin B
c
sin C
22224
6 sin 75∘
6 
可得， c 
sin 60∘
 2  1.
2 6
3
3
4
故选：D
要得到函数 f  x  2 cs 2x  π 的图象，只需 g  x  sin  2x π 的图象
3 3 

π
向左平移 2 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变）
π1
向左平移 2 个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的 2 倍（横坐标不变）
π1
向左平移 4 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）
π
向左平移 4 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变）
【答案】D
【解析】
【分析】先将函数 y  f  x 的解析式化为 f  x  2 sin  2x  5π ，再利用三角函数图象的变换规律得出
6


正确选项.
Q f x 
π
π π
 ππ
【详解】 2 cs  2x  3   2 sin  2x  3  2   2 sin 2  x  4   3  ，
 
因此，将函数 g  x  sin  2x π 的图象向左平移π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横
3 4

坐标不变），可得到函数 f  x  2 cs 2x  π 的图象，故选 D.
3 

【点睛】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题：
左右平移指的是在自变量 x 上变化了多少；（2）变换时两个函数的名称要保持一致.
如图，在三棱柱 ABC  A1B1C1 中， CA  CB  CC1 ， CA  CB ， CC1  底面 ABC ，则异面直线
AB1 与 BC 所成角的余弦值是（）
3
3
6
3
2D. 2
23
【答案】A
【解析】
【分析】由 BC // B1C1 ，将异面直线 AB1 与 BC 所成的角转化为AB1C1 或其补角，即可求解．
【详解】在三棱柱 ABC  A1B1C1 中， BC // B1C1 ，
异面直线 AB1 与 BC 所成的角为AB1C1 或其补角， 连接 AC1 ，mCC1  底面 ABC ， CB  平面 ABC ，
CC1  CB ，又CA  CB ， CA∩CC1  C ，
 CB  平面 ACC1 A1 ，
又 AC1  平面 ACC1A1 ，CB  AC1 ，由CB / / B1C1 ，可得 B1C1  AC1 ，
2
mCA  CB ， AB ，
3
又 BB1  CC1  1， AB1 ，
在 Rt △ AB C 中， cs AB C
 B1C1  1 3 ，
3
1 11 1
AB13
3
即异面直线 AB1 与 BC 所成角的余弦值为．
3
故选：A．
【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
计算：求该角的值，常利用解三角形；
取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 0,π ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异
2 

面直线所成的角．
已知cs2α β  2 ， sin α 2β 2 ，且 π α π ， 0  β π ，则csα β 
22424
（）
B. 0C. -1D. 2
2
【答案】B
【解析】
【分析】判断2α β， α  2 β 的范围，求得sin 2α β 
2 ， csα 2β 
2
2 ，将csα β
2
化为cs 2α β  α 2β ，利用两角差的余弦公式即可求得答案.
【详解】因为 π α π ， 0  β π ,
424
所以 π  2α β π ，  π α 2β π ,
4
因为 cs2α β  
42
2 ，所以sin 2α β 2 ,
22
因为sin α 2β 
2 ，所以csα 2β 2 ,
22
所以csα β  cs 2α β  α 2β
 cs2α βcs α 2β  sin 2α βsin α 2β
 2 2 2 2  0 ,
2222
故选：B
如图所示，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为
A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π
【答案】C
【解析】
【分析】
设圆柱的底面半径为 r 、高分别为 h ，得 4r 2  h2  64 ，即 h2  64  4r 2 ，得到圆柱的侧面积 S  2πrh
 4π r 2  82  64, (0  r