吉林省长春市宽城区2025-2026学年九年级（上）期末数学试卷（含详解）

这是一份吉林省长春市宽城区2025-2026学年九年级（上）期末数学试卷（含详解），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．在，，0，2这四个数中，最大的数是（ ）
A．B．C．0D．2
2．下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列运算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9
6．人行天桥的示意图如图所示，若高长为10米，斜坡长为30米，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
7．如图，四边形是的内接四边形，，连接．若，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知平面直角坐标系xOy中的四个点：，，，在经过这四个点中的三个点的二次函数的图象中，a的值最大时二次函数经过的三个点是（ ）
A．B，C，DB．A，B，CC．A，B，DD．A，C，D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．不等式的解集是 ．
10．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 ．
11．若关于x的一元二次方程无实数根，则a的取值范围是 ．
12．如图，在矩形中，，．以点A为圆心，长为半径画弧交边于点E，连接，则的长为 ．（结果保留）
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上．若轴，则线段的长为 ．
14．如图，点是以为直径的半圆上一点，，．点是直径上的动点，点与点关于对称．当点与点不重合时，作交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②线段的最小值为；③当时，与半圆相切；④当点由点运动到点时，点经过的路径长为．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．解方程：．
16．在一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“立春”、“立夏”、“立秋”、“立冬”四个节气，依次记为A、B、C、D．这4张书签除图案不同外，其余均相同．现将这4张书签充分搅匀，小林同学从盒子中随机抽取2张书签，请用画树状图（或列表）的方法，求小林抽取的2张书签中恰好1张为“立春”，1张为“立冬”的概率．
17．如图，两条笔直的公路、相交于点O，，指挥中心M设在路段上，与O地的距离为16千米．一次行动中，王警官带队从O地出发，沿方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话．【参考数据：，，】
18．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图①中的边上画点P，连接，使平分的面积；
(2)在图②中的边上画点Q，连接，使；
(3)在图③中的边上画点M，连接，使．
19．如图，在中，，以为直径的交BC于点D，交的延长线于点E，交于点F．
(1)求证：与相切；
(2)若，，则的长为______．
20．某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）．
(1)邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．甲款软件评分：
60 60 70 70 72 75 80 80 80 80
80 80 81 81 81 82 82 85 90 91
b．乙款软件评分频数分布直方图如图．
（数据分成五组：，，，，）
其中成绩在的数据如下：
75 75 75 76 78 78 79 79
c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下表所示：
根据所给信息，解答下列问题：
①______，______；
②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为______个；
(2)邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下：
①求乙款软件的评分；
②若甲款软件的评分比乙款软件的评分高，求表中k（k为整数）的最小值．
21．某快餐店销售A、B两种快餐，A种快餐每份利润12元，每天能卖出40份；B种快餐每份利润8元，每天能卖出80份．该店根据顾客需求，准备降低A种快餐的利润，同时提高B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐每降低1元利润，可多卖2份；每份B种快餐每提高1元利润，就少卖2份，但这两种快餐每天销售的总份数不变．设每份A种快餐降低的利润为x元，调价后销售A、B两种快餐一天的总利润为y元．
(1)调价后A种快餐每天可卖出______份，B种快餐每天可卖出______份；（用含x的代数式表示）
(2)求y与x之间的函数关系式；
(3)求x为何值时y取得最大值，并求出y的最大值．
22．【问题原型】在矩形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，交于点．
（1）如图①，若四边形是正方形，则线段与之间的数量关系是______；
（2）如图②，若，判断与之间的数量关系，并说明理由；
【问题变式】如图③，四边形为平行四边形，为锐角，且，点是射线上一点，作，交射线于点，若，则线段的长为______．
23．如图，在中，，，．点P是边上一点（点P不与点B重合），连接．过点P作，使点Q和点B在直线的两侧，连接，．
(1)______度；
(2)求证：；
(3)点M是边延长线上一点，且，连接，线段的最小值为______；
(4)当时，直接写出线段的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，连接．点P是抛物线上的一点（点P不与点B重合），设点P的横坐标为m．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)过点P作y轴的平行线交线段于点C，当线段的长为2时，求m的值；
(3)当时，抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为d，求d与m之间的函数关系式；
(4)过点P作y轴的垂线交直线于点Q，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接．设抛物线在内部的图象（含交点）为G，当图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1时，直接写出m的值．
参考答案
1．D
解：∵，
∴最大的数是2，
故选：D．
2．D
解：正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种，
因此选项D符合题意，
故选：D．
3．C
解：A选项中：，因此错误；
B选项中：，因此错误;
C选项中：，因此正确；
D选项中：，因此错误；
故选：C．
4．D
解：，
，
，
，
故选：D．
5．A
解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．
故选：A．
6．C
解：∵长为10米，斜坡长为30米，
∴米，
根据题意得：，
故选：C．
7．C
解：∵，四边形是的内接四边形，
∴，
连接，如图所示：
又∵，
∴，
∴，
故选：C．
8．C
解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，；
A、B、C组成的二次函数开口向上，；
B、C、D三点组成的二次函数开口向下，；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下，；
即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可．
设二次函数为，
当抛物线过A、B、C三点时，则，
解得；
当抛物线过A、B、D三点时，则，
解得，
故a的值最大时二次函数经过A、B、D三点，
故选：C
9．
解：，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得．
故答案为：．
10．9
【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．
故答案为：9．
11．
解：关于x的一元二次方程无实数根，
，
化简得，解得，
满足，
则a的取值范围是．
故答案为：．
12．
解：∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的长为；
故答案为．
13．6
解：∵点、点在抛物线上，
∴二次函数对称轴直线为，
∵抛物线与y轴相交于点C，
∴点C到对称轴直线的距离为3，
∵轴，
∴点关于对称轴对称，
∴．
故答案为：6．
14．①③④
解：连接，
点与点关于对称，
，
，
，
，
∴，，
，
，
，故正确；
当时，
是半圆的直径，
，
，，
，，，
，，
，
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点在线段上运动时，的最小值为，
，
，
的最小值为，故不正确；
当时，连接，如图所示，
，，
是等边三角形，
∴，，
，，
，
，
，
点与点关于对称，
，
，
，
，
是等边三角形，直径，
，
与半圆相切，故正确；
点与点关于对称，
当点由点运动到点时，，
点经过的路径长为，故正确．
故答案为：．
15．，
由题意得：a=1，b=6，c=4
∴方程有两个不相等的实数根
∴原方程的解为，．
16．
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2张书签中恰好1张为“立春”，1张为“立冬”的情况有2种，
（1张为“立春”，1张为“立冬”）．
17．王警官能实现与指挥中心用对讲机通话
解：如图，过点M作于点N．
在中，，，
∵，
∴（千米）．
∵，
∴王警官能实现与指挥中心用对讲机通话．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
（1）解：如图①，即为所求；
（2）解：如图②，即为所求；
（3）解：如图③，即为所求；
19．(1)见解析
(2)
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴．
故答案 为：．
20．(1)①80，77；②180
(2)①乙款软件的评分为92．2分；②k的最小值为91
（1）解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80，
∴甲组数据的众数为80，即；
∵乙组数据的中位数在第3组中，第1、2两组共有6人，
∴第三组的第4、5个数据的平均数为中位数，即．
②∵乙款软件评分在有3人，
∴这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为个．
故答案为：①80；77；②180．
（2）解：①乙款软件的评分（分）；
②由题意得，解得：．
∴k的最小整数值为91．
故答案为：①；②91．
21．(1)，
(2)
(3)时，y取得最大值，y的最大值1264
（1）解：设每份A种快餐降低的利润为x元，
∵每份A种快餐每降低1元利润，可多卖2份，
∴A种快餐可多卖份，
∴调价后A种快餐每天可卖出份，
∵这两种快餐每天销售的总份数不变，
∴B种快餐每天可卖出份；
故答案为：，；
（2）解：
；
（3）解：，
∴当时，y取得最大值，y的最大值1264．
22．（1）；（2），见解析；【问题变式】或
解：（1），理由如下：
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）．
证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【问题变式】分情况讨论：点F在上或点F在的延长线上．
当点F在上时，如图
四边形为平行四边形，
，
，即，
，
，
，
，，
，即，
，
；
当点F在的延长线上时，如图
四边形为平行四边形，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，
，即，
，
．
综上，的长为或．
故答案为：或．
23．(1)30
(2)见解析
(3)
(4)
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：30；
（2）证明：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：过点作于，
∵，
∴，
∴点在过点且垂直于的垂线上，
∴当，即点与点重合时，线段有最小值，
过点作于，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，
故答案为：；
（4）解：∵，
∴，
由（2）知，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴线段的长为．
24．(1)
(2)，
(3)当时，；当时，；当时，
(4)或或
（1）解：由题意可把点、代入抛物线得：
，解得：，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，由题意得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵过点P作y轴的平行线交线段于点C，且，
∴，
∵，
∴，
解得：，；
（3）解：由抛物线可知：对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
根据二次函数的对称性可知：点关于对称轴对称点的坐标为，
∵，
∴点P在直线上方的抛物线上，则由题意可分：
当时，此时抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象，最大值为9，最小值为，
∴；
当时，此时抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象，最大值为9，最小值为5，
∴；
当时，此时抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象，最大值为，最小值为5，
∴；
综上所述：当时，；当时，；当时，；
（4）解：令时，则有，解得：，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
由题意可分：当点P在对称轴的左侧时，如图所示：
设线段与抛物线的交点为点D，线段与抛物线的交点为点E，抛物线与x轴的另一个交点为点C，即，过点E作于点F，
∵过点P作y轴的垂线交直线于点Q，，
∴点D的纵坐标为，
由旋转的性质可知：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵抛物线在内部的图象（含交点）为G，图象G即为点D、E之间的抛物线，且图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，
∴，
∵点Q到y轴的距离为1，
∴点E与点B重合，
∴，
解得：，；
当点P在对称轴的右侧时，如图所示：
设线段与抛物线的交点为点N，抛物线与x轴的另一个交点为点C，即，过点N分别作，垂直直线，垂足分别为点G，H，
∴四边形是矩形，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形，
∵抛物线在内部的图象（含交点）为G，图象G即为点N、P之间的抛物线，且图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，
∴，
∴点N的横坐标为2，
∴当时，则有，即，
∴，
解得：（负根舍去），
综上所述：或或．
软件
平均数
中位数
众数
甲
78
80
m
乙
78
n
75
软件
维度1
维度2
维度3
维度4
甲
94
k
92
93
乙
91
93
93
92