甘肃省张掖市肃南裕固族自治县马蹄学校2024—2025学年上学期八年级数学期末试卷-A4

这是一份甘肃省张掖市肃南裕固族自治县马蹄学校2024—2025学年上学期八年级数学期末试卷-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知（2□）2＝26，则“□”内填（ ）
A．6B．5C．4D．3
2．（3分）已知单片雪花重量很轻，仅约0.00003kg，数据0.00003用科学记数法表示为（ ）
A．3×10﹣6B．3×10﹣5C．0.3×10﹣5D．0.3×10﹣4
3．（3分）下列几组数中，不能作为三角形的三边长的是（ ）
A．1，5，5B．3，4，5C．2，4，6D．3，3，3
4．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（ ）
①x（y﹣7）＝xy﹣7x；②y2﹣2y+1＝（y﹣1）2；③（a+5）（a﹣5）＝a2﹣25．
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a﹣3＝﹣aB．（﹣2x）2＝2x2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（m2﹣mn）÷（﹣m）＝﹣m+n
6．（3分）将分式中的x和y都扩大10倍，则分式的值（ ）
A．不变B．扩大10倍
C．缩小为原来的D．缩小为原来的
7．（3分）王师傅不小心将一块瓷砖摔碎了，摔成如图所示的三块，现要去瓷砖生产厂切割一块完全一样的瓷砖，下列携带方式可行的是（ ）
A．只携带①去B．只携带②去
C．只携带③去D．携带②和③去
8．（3分）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
9．（3分）已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：M可化为最简分式；乙：当a＝3时，．
A．甲、乙都正确B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确D．只有乙正确
10．（3分）如图是小明解分式方程的过程，则开始出错的是（ ）
A．第一步B．第二步C．第三步D．第四步
11．（3分）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．只有两边相等的等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
12．（3分）在△ABC中，∠A＝62°，AB＝BC，点D，E分别在边AC，AB上，将∠A沿直线DE翻折，使点A落在点F处．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：如图，当点F落在边BC上，且FD⊥AC时，∠CFE＝80°；
结论Ⅱ：若△DEF是以DE为腰的等腰三角形，则∠BEF＝56°或68°．
A．只有结论Ⅰ正确B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）点A（3，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是 ．
14．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，DE垂直平分边AC，交边AC于点D，交边BC于点E．若AB＝3，BC＝4，则△ABE的周长为 ．
15．（3分）如图，将直尺叠放在正五边形ABCDE上，若直尺的下边沿MN⊥DE于点O，且过点B，上边沿PQ过点E，则∠ABM的度数为 ．
16．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝5，延长边BC到点E，使CE＝2，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，当△ABP和△DCE全等时，△DCE会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则△DCE首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）将下列各式分解因式：
（1）ax3﹣16ax；
（2）4x2+4x+40．
18．（8分）按要求完成下列各小题：
（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，在﹣1，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
19．（8分）某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）；
（2）如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置．
20．（8分）已知整式A＝3m+2，B＝3m﹣2，m为任意有理数．
（1）A•B+4的值可能为负数吗？请说明理由；
（2）试说明：当m是整数时，A2﹣B2的值一定能被24整除．
21．（9分）在△ABC中，AB＝AC，AN的作图痕迹如图所示，AN交BC于点N，DE垂直平分边AB，交AC于点D，交AB于点E，交AN于点O，连接OB．
（1）若AB＝6，CD＝2，求△AOD与△AOB的面积比；
（2）若∠C＝70°，求∠OBC的度数．
22．（9分）已知△ABC和△DEF，∠A＝45°，∠E+∠F＝105°，将△DEF按一定方式摆放，使∠D的两条边分别经过点B和点C．
（1）若将△DEF按如图1所示方式摆放，则∠ABD+∠ACD＝ 度；
（2）若将△DEF按如图2所示方式摆放，求∠ABD+∠ACD的度数；
（3）在（2）中， （填“存在”或“不存在”）某一位置，同时使BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．
23．（11分）某电子城用4000元购进一批蓝牙耳机，很快出售完，于是电子城又用20000元购进第二批同款蓝牙耳机，所购数量是第一批购进数量的四倍，但每个蓝牙耳机的进价比第一批贵了20元．
（1）求第二批蓝牙耳机每副的进价；
（2）该电子城将第二批蓝牙耳机的进价提高50%后出售，最后第二批蓝牙耳机有m副没有售出，电子城计划将没有售出的蓝牙耳机打八折促销．
①用含m的代数式表示第二批蓝牙耳机全部售完时的总利润；
②经核算，第二批蓝牙耳机全部售完时的总利润率不低于40%（不考虑其他因素），求m的最大值．
24．（12分）已知△ABC是边长为10的等边三角形，P是边AB上一点，点Q在射线BC上．设BQ的长为x．
（1）如图1，当x＝2，且AP＝2时．求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当x＞10时，连接PQ，交边AC于点D，且D是线段PQ的中点．
①如图2，作PE∥BC交AC于点E，且AP＝3，求x的值；
②如图3，作PF⊥AC于点F．随着x的增大，线段DF的长是否发生变化？若不变，求线段DF的长；若发生变化、请说明理由；
③如图4，长为1的木条MN在边AC上，且AM＝1.5．若②中的点F恰好落在木条MN上（不包括端点），请直接写出x的取值范围．
2024-2025学年甘肃省张掖市肃南县马蹄学校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）已知（2□）2＝26，则“□”内填（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】根据幂的乘方法则将26变形为（23）2，即可求解．
【解答】解：∵26＝（23）2，
∴“□”内填3，
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（3分）已知单片雪花重量很轻，仅约0.00003kg，数据0.00003用科学记数法表示为（ ）
A．3×10﹣6B．3×10﹣5C．0.3×10﹣5D．0.3×10﹣4
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.00003＝3×10﹣5．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列几组数中，不能作为三角形的三边长的是（ ）
A．1，5，5B．3，4，5C．2，4，6D．3，3，3
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、1+5＞5，能作为三角形的三边的长，故A不符合题意；
B、3+4＞5，能作为三角形的三边的长，故B不符合题意；
C、2+4＝6，不能作为三角形的三边的长，故C符合题意；
D、3+3＞6，能作为三角形的三边的长，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
4．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（ ）
①x（y﹣7）＝xy﹣7x；②y2﹣2y+1＝（y﹣1）2；③（a+5）（a﹣5）＝a2﹣25．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可．
【解答】解：x（y﹣7）＝xy﹣7x是乘法运算，则①不是因式分解；
y2﹣2y+1＝（y﹣1）2符合因式分解的定义，则②是因式分解；
（a+5）（a﹣5）＝a2﹣25是乘法运算，则③不是因式分解；
综上，从左到右的变形是因式分解的有1个，
故选：B．
【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a﹣3＝﹣aB．（﹣2x）2＝2x2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（m2﹣mn）÷（﹣m）＝﹣m+n
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：a2•a﹣3＝a﹣1，故选项A错误，不符合题意；
（﹣2x）2＝4x2，故选项B错误，不符合题意；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项C错误，不符合题意；
（m2﹣mn）÷（﹣m）＝﹣m+n，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．（3分）将分式中的x和y都扩大10倍，则分式的值（ ）
A．不变B．扩大10倍
C．缩小为原来的D．缩小为原来的
【分析】根据题意计算后即可求得答案．
【解答】解：
＝
＝，
则分式的值缩小为原来的，
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
7．（3分）王师傅不小心将一块瓷砖摔碎了，摔成如图所示的三块，现要去瓷砖生产厂切割一块完全一样的瓷砖，下列携带方式可行的是（ ）
A．只携带①去B．只携带②去
C．只携带③去D．携带②和③去
【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、①知道原三角形的两角和夹边，由ASA判定可以切割一块完全一样的瓷砖，故A符合题意；
B、②不知道原三角形边的长度和角的大小，不能切割一块完全一样的瓷砖，故B不符合题意；
C、③只是知道三角形的一个角的大小，不能切割一块完全一样的瓷砖，故C不符合题意；
D、②③只是知道三角形的一个角的大小，不能切割一块完全一样的瓷砖，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．
8．（3分）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
9．（3分）已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：M可化为最简分式；乙：当a＝3时，．
A．甲、乙都正确B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确D．只有乙正确
【分析】将原式利用分式的乘除法则化简后代入已知数值计算即可．
【解答】解：M＝＝，
当a＝3时，a﹣3＝0，
此时原分式方程无意义，
则只有甲正确，
故选：C．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
10．（3分）如图是小明解分式方程的过程，则开始出错的是（ ）
A．第一步B．第二步C．第三步D．第四步
【分析】根据解分式方程的方法解答即可．
【解答】解：，
去分母，得2（x﹣1）﹣4（x+3）＝x﹣5，
所以开始出错的是第一步，﹣2漏乘了2（x+3）．
故选：A．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
11．（3分）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．只有两边相等的等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【分析】根据题意，因为a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，所以（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，即a＝b，b＝c，据此判断△ABC的形状是等边三角形．
【解答】解：因为a，b，c是△ABC的三边长，
满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，
即a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
所以（a﹣b）2＝0，（b﹣c）2＝0，
即a＝b，b＝c，
所以a＝b＝c．
所以△ABC的形状是等边三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的应用、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是将题中的式子进行化简，求出三边的关系．
12．（3分）在△ABC中，∠A＝62°，AB＝BC，点D，E分别在边AC，AB上，将∠A沿直线DE翻折，使点A落在点F处．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：如图，当点F落在边BC上，且FD⊥AC时，∠CFE＝80°；
结论Ⅱ：若△DEF是以DE为腰的等腰三角形，则∠BEF＝56°或68°．
A．只有结论Ⅰ正确B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
【分析】因为AB＝AC，将∠A沿直线DE翻折，点A落在点F处，所以∠C＝∠A＝62°，∠DFE＝∠A＝62°，由点F落在边BC上，且FD⊥AC，得∠CDF＝90°，则∠CFD＝90°﹣∠C＝28°，所以∠CFE＝∠CFD+∠DFE＝90°≠80°，可判断结论Ⅰ错误；分两种情况求∠BEF的度数，一是DF＝DE，则∠DEF＝∠DFE＝62°，所以∠DEA＝∠DEF＝62°，则∠BEF＝56°；二是FE＝DE，则∠FDE＝∠DFE＝62°，所以∠DEA＝∠DEF＝180°﹣∠FDE﹣∠DFE＝56°，求得∠BEF＝68°，可判断结论Ⅱ正确，所以B符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠A＝62°，AB＝AC，将∠A沿直线DE翻折，点A落在点F处，
∴∠C＝∠A＝62°，∠DFE＝∠A＝62°，∠DEA＝∠DEF，
∵点F落在边BC上，且FD⊥AC，
∴∠CDF＝90°，
∴∠CFD＝90°﹣∠C＝90°﹣62°＝28°，
∴∠CFE＝∠CFD+∠DFE＝28°+62°＝90°≠80°，
故结论Ⅰ错误；
若△DEF是以DE为腰的等腰三角形，且DF＝DE，则∠DEF＝∠DFE＝62°，
∴∠DEA＝∠DEF＝62°，
∴∠BEF＝180°﹣∠DEA﹣∠DEF＝180°﹣62°﹣62°＝56°；
若△DEF是以DE为腰的等腰三角形，且FE＝DE，则∠FDE＝∠DFE＝62°，
∴∠DEA＝∠DEF＝180°﹣∠FDE﹣∠DFE＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∴∠BEF＝180°﹣∠DEA﹣∠DEF＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
∴∠BEF＝56°或68°，
故结论Ⅱ正确，
故B符合题意，而A、C、D都不符合题意，
故选：B．
【点评】此题重点考查翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论数学思想的运用等知识，正确地进行分类讨论是解题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）点A（3，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是 （﹣3，﹣1） ．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征，即可解答．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（3，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣1），
故答案为：（﹣3，﹣1）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
14．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，DE垂直平分边AC，交边AC于点D，交边BC于点E．若AB＝3，BC＝4，则△ABE的周长为 7 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：∵DE垂直平分边AC，
∴AE＝CE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+CE＝AB+BC＝3+4＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，将直尺叠放在正五边形ABCDE上，若直尺的下边沿MN⊥DE于点O，且过点B，上边沿PQ过点E，则∠ABM的度数为 126° ．
【分析】根据正五边形的性质求出正五边形的内角的度数，再根据对称性得出∠ABO＝∠CBO＝54°，由平角的定义进行计算即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝＝108°，
∵五边形ABCDE是正五边形，MN⊥DE，MN过点B，
∴MN所在的直线是正五边形的对称轴，
∴∠ABO＝∠CBO＝∠ABC＝54°，
∴∠ABM＝180°﹣54°＝126°．
故答案为：126°．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握正五边形的性质，平角的定义是正确解答的关键．
16．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝5，延长边BC到点E，使CE＝2，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，当△ABP和△DCE全等时，△DCE会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则△DCE首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 5 秒．
【分析】△ABP和△DCE全等，分两种情况，①当∠ABP＝90°时，△ABP≌△DCE，则BP＝CE＝2t，②当∠BAP＝90°时，△BAP≌△DCE，则AP＝14﹣2t＝CE，即可解答．
【解答】解：△ABP和△DCE全等，
分两种情况，
①当∠ABP＝90°时，即当点P在BC上运动时，
此时△ABP≌△DCE，
则BP＝CE＝2＝2t，
∴t＝1，
②当∠BAP＝90°时，即当点P在DA上运动时，
此时△BAP≌△DCE，
则AP＝5×2+4﹣2t＝14﹣2t＝CE＝2，
∴t＝6，
∴6﹣1＝5，
即△DCE首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为5秒；
故答案为：5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是分类讨论思想的运用．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）将下列各式分解因式：
（1）ax3﹣16ax；
（2）4x2+4x+40．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答；
（2）利用完全平方公式进行分解即可解答．
【解答】解：（1）ax3﹣16ax
＝ax（x2﹣16）
＝ax（x+4）（x﹣4）；
（2）4x2+4x+40
＝4x2+4x+1
＝（2x+1）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18．（8分）按要求完成下列各小题：
（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，在﹣1，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】（1）根据解分式方程的方法解答即可，注意分式方程要检验；
（2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，然后从﹣1，1，2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（1），
方程两边同乘x﹣2，得：1+3（x﹣2）＝7，
解得x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣2≠0，
∴原分式方程的解是x＝4；
（2）
＝•
＝•
＝•
＝，
∵当x＝1，﹣1或3时，原分式无意义，
∴x＝2，
当x＝2时，原式＝＝3．
【点评】本题考查分式的化简求值、解分式方程，熟练掌握运算法则和解分式方程的方法是解答本题的关键．
19．（8分）某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）；
（2）如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置．
【分析】（1）结合线段垂直平分线的性质，作线段AB的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求．
（2）取点A关于直线m的对称点A'，连接A'C交直线m于点E，则点E即为所求．
【解答】解：（1）如图1，作线段AB的垂直平分线，交直线m于点D，
则点D即为所求．
（2）如图2，取点A关于直线m的对称点A'，连接A'C交直线m于点E，连接AE，
此时AE+CE＝A'E+CE＝A'C，为最小值，
则点E即为所求．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
20．（8分）已知整式A＝3m+2，B＝3m﹣2，m为任意有理数．
（1）A•B+4的值可能为负数吗？请说明理由；
（2）试说明：当m是整数时，A2﹣B2的值一定能被24整除．
【分析】（1）利用平方差公式，整式的混合运算计算；
（2）利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）∵A＝3m+2，B＝3m﹣2，m为任意有理数，
∴A•B+4
＝（3m+2）（3m﹣2）+4
＝9m2﹣4+4
＝9m2，
∵9m2≥0，
∴A•B+4的值不可能为负数；
（2）A2﹣B2
＝（3m+2）2﹣（3m﹣2）2
＝（3m+2+3m﹣2）（3m+2﹣3m+2）
＝6m•4
＝24m．
∵m是整数，
∴24m能被24整除．
∴m是整数时，A2﹣B2的值一定能被24整除．
【点评】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，解题的关键是掌握平方差公式，整式的混合运算．
21．（9分）在△ABC中，AB＝AC，AN的作图痕迹如图所示，AN交BC于点N，DE垂直平分边AB，交AC于点D，交AB于点E，交AN于点O，连接OB．
（1）若AB＝6，CD＝2，求△AOD与△AOB的面积比；
（2）若∠C＝70°，求∠OBC的度数．
【分析】（1）过点O作OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质得出OE＝OF，再根据三角形的面积公式即可求解；
（2）根据等边对等角得出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出∠ABO的度数，即可推出结果．
【解答】解：（1）如图，过点O作OF⊥AC于点F，由作图可知，AN平分∠CAB，
又∵DE垂直平分边AB，
∴OF＝OE，
∵AB＝AC＝6，CD＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝6﹣2＝4，
∴△AOD与△AOB的面积比＝：＝AD：AB＝2：3；
（2）∵AB＝AC，∠C＝70°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝40°，
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAO＝20°，
∵DE垂直平分边AB，
∴OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝20°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝70°﹣20°＝50°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质定理是解题的关键．
22．（9分）已知△ABC和△DEF，∠A＝45°，∠E+∠F＝105°，将△DEF按一定方式摆放，使∠D的两条边分别经过点B和点C．
（1）若将△DEF按如图1所示方式摆放，则∠ABD+∠ACD＝ 240 度；
（2）若将△DEF按如图2所示方式摆放，求∠ABD+∠ACD的度数；
（3）在（2）中， 不存在 （填“存在”或“不存在”）某一位置，同时使BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．
【分析】（1）先根据三角形内角和为180°和已知条件，求出∠ABC+∠ACB和∠D的度数，再次利用三角形内角和定理求出∠DBC+∠BCD，最后根据∠ABD+∠ACD＝∠ABC+∠DBC+∠ACB+∠BCD，代入进行计算即可；
（2）先根据三角形内角和为180°和已知条件，求出∠ABC+∠ACB和∠D的度数，再次利用三角形内角和定理求出∠DBC+∠BCD，最后根据∠ABD+∠ACD＝∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠BCD），代入进行计算即可；
（3）先根据已知条件，求出∠CBD+∠BCD＝105°，假设BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB，求出∠ABC+∠ACB，根据三角形内角和定理平行解答判断即可．
【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝45°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣45°＝135°，
∵∠E+∠F+∠D＝180°，∠E+∠F＝105°，
∴∠D＝180°﹣105°＝75°，
∵∠DBC+∠BCD+∠D＝180°，
∴∠DBC+∠BCD＝180°﹣75°＝105°，
∴∠ABD+∠ACD＝∠ABC+∠DBC+∠ACB+∠BCD＝135°+105°＝240°，
故答案为：240；
（2））∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝45°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣45°＝135°，
∵∠E+∠F+∠D＝180°，∠E+∠F＝105°，
∴∠D＝180°﹣105°＝75°，
∵∠DBC+∠BCD+∠D＝180°，
∴∠DBC+∠BCD＝180°﹣75°＝105°，
∴∠ABD+∠ACD＝∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠BCD）＝135°﹣105°＝30°；
（3）∵∠E+∠F＝105°，
∴∠D＝180°﹣105°＝75°，
∴∠CBD+∠BCD＝180°﹣75°＝105°，
若BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB，
则∠CBD+∠BCD＝∠ABD+∠ACD＝105°，
∴∠ABC+∠ACB＝∠CBD+∠BCD+∠ABD+∠ACD＝210°，与三角形内角和定理相矛盾，
∴不能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB，
故答案为：不存在．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系．
23．（11分）某电子城用4000元购进一批蓝牙耳机，很快出售完，于是电子城又用20000元购进第二批同款蓝牙耳机，所购数量是第一批购进数量的四倍，但每个蓝牙耳机的进价比第一批贵了20元．
（1）求第二批蓝牙耳机每副的进价；
（2）该电子城将第二批蓝牙耳机的进价提高50%后出售，最后第二批蓝牙耳机有m副没有售出，电子城计划将没有售出的蓝牙耳机打八折促销．
①用含m的代数式表示第二批蓝牙耳机全部售完时的总利润；
②经核算，第二批蓝牙耳机全部售完时的总利润率不低于40%（不考虑其他因素），求m的最大值．
【分析】（1）设第二批蓝牙耳机每副的进价为x元，则第一批蓝牙耳机每副的进价为（x﹣20）元，根据用20000元购进第二批同款蓝牙耳机，所购数量是第一批购进数量的四倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）①由（1）可知，购进第二批蓝牙耳机的数量为20000÷100＝200（副），则第二批蓝牙耳机已售出（200﹣m）副，再由题意列出计算即可；
②根据第二批蓝牙耳机全部售完时的总利润率不低于40%，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设第二批蓝牙耳机每副的进价为x元，则第一批蓝牙耳机每副的进价为（x﹣20）元，
依题意得：＝×4，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意，
答：第二批蓝牙耳机每副的进价为100元；
（2）①由（1）可知，购进第二批蓝牙耳机的数量为20000÷100＝200（副），
∵第二批蓝牙耳机有m副没有售出，
∴第二批蓝牙耳机已售出（200﹣m）副，
∴100×（1+50%）（200﹣m）+100×（1+50%）×0.8m﹣20000＝（﹣30m+10000）（元），
即第二批蓝牙耳机全部售完时的总利润为（﹣30m+10000）元；
②依题意得：﹣30m+10000≥20000×40%，
解得：m≤，
又∵m为整数，
∴m的最大值为66．
答：m的最大值是66．
【点评】本题考查了分式方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）①正确列出代数式；②找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24．（12分）已知△ABC是边长为10的等边三角形，P是边AB上一点，点Q在射线BC上．设BQ的长为x．
（1）如图1，当x＝2，且AP＝2时．求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当x＞10时，连接PQ，交边AC于点D，且D是线段PQ的中点．
①如图2，作PE∥BC交AC于点E，且AP＝3，求x的值；
②如图3，作PF⊥AC于点F．随着x的增大，线段DF的长是否发生变化？若不变，求线段DF的长；若发生变化、请说明理由；
③如图4，长为1的木条MN在边AC上，且AM＝1.5．若②中的点F恰好落在木条MN上（不包括端点），请直接写出x的取值范围．
【分析】（1）可得出∠B＝∠CAB＝60°，AB＝AC，BQ＝AP＝2，从而△ABQ≌△CAP；
（2）①可证明△PDE≌△QDC，从而得出结果；
②作PE∥BC，交AC于E，由①得△APE是等边三角形，△PDE≌△QDC，从而DE＝CD＝CE，AF＝EF＝AE，进一步得出结论；
③利用②分别求出点F在M处和点N处时的CQ的值，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠CAB＝60°，AB＝AC，
∵BQ＝AP＝2，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：①由（1）知，
∠B＝∠A＝60°，
∵PE∥BC，
∴∠APE＝∠B＝60°，∠EPD＝∠Q，∠PED＝∠ACQ，
∴△APE是等边三角形，
∴PE＝AP＝3，
∵D是PQ的中点，
∴PD＝DQ，
∴△PDE≌△QDC（AAS），
∴CQ＝PE＝3，
∴x＝BQ＝BC+CQ＝13；
②如图1，
DF的长不变，理由如下，
作PE∥BC，交AC于E，
由①知，
△APE是等边三角形，△PDE≌△QDC，
∴DE＝CD＝CE，
∵PF⊥AC，
∴AF＝EF＝AE，
∴DF＝EF+DE＝AE+CE＝AC＝5，
∴DF的长不变；
③如图2，
当点F在M处时，作PE∥BC，交AC于E，
由上知，
△APE是等边三角形，PE＝AP＝AE＝2AF＝2AM＝3，
∴BQ＝PE＝3，
此时x＝BQ＝10+3＝13，
当F在N处时，此时AF＝1.5+1＝2.5，
∴CQ＝PE＝AE＝5，
∴x＝BQ＝10+5＝15，
∴13≤x≤15．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B．
C
B
D
C
A
C
C
A
B
题号
12
答案
B