福建省莆田市第十五中学高二下学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省莆田市第十五中学高二下学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1. 已知函数在处可导，且，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的定义即可求值.
【详解】由导数的定义知.
故选：D.
2. 如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的加减法运算法则，直接写出向量的表达式，即可得答案.
【详解】
=,
故选：A.
3. 已知曲线上一点，记为函数的导数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导可得，代入运算即可.
【详解】因为，则，
所以.
故选：C.
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据的正负性排除B、D，再根据其单调性排除C.
【详解】或时；时，排除B、D；
，则，
得；得或，
故在上单调递增，在和上单调递减，
排除C.
故选：A
5. 在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知求出的面积，再由等体积法求点到平面的距离．
【详解】如图，连接，
正方体的棱长为1，是边长为的等边三角形，
，
设点到平面的距离为，
由，得，
可得，则点到平面的距离为．
故选：C．
6. 正方体的棱长为1， 为棱的中点，点在面对角线上运动(点异于点)，以下说法错误的是（ ）
A. 平面
B.
C. 直线与平面所成角的余弦值为
D. 三棱锥的体积为
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理可证明A选项正确；应用空间向量计算数量积，可判断B正确；
根据线面角的计算，可得C选项错误；应用空间向量法可求得点到平面距离，再结合三棱锥的体积公式，计算可得D正确.
【详解】对于A，连接、，相交于点，连接，如图所示，
因为四边形为正方形，所以是中点，
又为棱的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B，以为原点，以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，,,，
所以,，，所以，故B正确；
对于C，由B选项知，，，所以，
因为平面，所以平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，所以，故C错误；
对于D，因为，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，即，解得，
因为，所以，
点到平面的距离为，
所以三棱锥的体积为，故D正确.
故选：C.
7. 已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】，
又∵P是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，
∴，
解得 x=，
故选A．
点睛：设是平面上任一点，是平面上的三点，（不共线），则三点共线，把此结论类比到空间上就是：不共面，若，则四点共面．
8. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线法向量，在平面直角坐标系中，过的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点法式方程的定义即可求解.
【详解】与平面向量类比，得到空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，
则该平面的方程为：，
化简得.
故选：A.
二、多选题
9. 在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有（ ）
A. 与点关于x轴对称的点的坐标为
B. 若是空间向量的一组基底，且，则也是空间向量的一组基底
C. 已知，，则在上的投影向量的坐标为
D. 已知，平面的法向量为，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据空间向量坐标的定义，以及相关知识，即可判断选项.
【详解】A. 与点关于x轴对称的点的坐标为，故A正确；
B. ，若，则与共线，所以不是空间向量的一组基底，故B错误；
C. 在上的投影向量为，故C正确；
D.因为，所以，所以或，故D错误.
故选：AC
10. 已知函数，其导函数，则（ ）
A. 有两个极值点
B. 有三个互不相同的零点
C. 方程有三个不同解，则实数的取值范围为
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值点，可判断A选项；解方程可判断B选项；数形结合可判断C选项；直接验证，可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，，
由可得或，列表如下：
所以，函数的递增区间为、，单调递减区间为，
所以，函数有两个极值点，A对；
对于B选项，由得或，
所以，只有两个不同的零点，B错；
对于C选项，由A选项可知，函数的极大值为，极小值为，
如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
所以，若方程有三个不同解，则实数的取值范围为，C对；
对于D选项，由A选项可知，，
则，D对.
故选：ACD.
11. 在三棱锥中，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若G为的重心，则
C. 若，，则
D. 若三棱锥的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则
【答案】BC
【解析】
【分析】作出三棱锥直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.
【详解】
对于A ，由已知，即，则，故A错误；
对于B，由G为的重心，得，又，，，，即，故B正确；
对于C，若，，则，即，即，故C正确；
对于D，
，又，，故D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
三、填空题
12. 已知（）是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，利用数量积的坐标表示列式求解，即得答案.
【详解】由，可知，
即
，
解得，
故答案为：
13. 已知，，则向量在向量上的投影向量是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义直接计算求解．
【详解】向量在向量上的投影向量为，
故答案为：．
14. 如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，先求出点的坐标，再根据点到直线距离的向量公式计算即可．
【详解】以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
，
由平面，设，
所以，
设，
所以，即，解得，
所以，则，
设直线的夹角为，
则，
所以，
所以点到直线的距离为，
故答案为：．
四、解答题
15. 已知函数在处的切线方程．
（1）求，的值；
（2）求的单调区间与极值．
【答案】（1）
（2）在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值
【解析】
【分析】(1)根据在处切线方程求解；
（2）由（1）求解判断与的大小，得到单调区间，得到极值.
【小问1详解】
，
又在处切线方程，所以，
可得，
解得．
【小问2详解】
由（1）可得，
∴，
令，解得；令，解得，
∴在单调递减，在单调递增，
∴当时，的极小值为，无极大值．
16. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知．
（1）证明：；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面即可；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出底面和平面的法向量，代入空间二面角公式求解即可.
【小问1详解】
因底面，底面，所以，
又底面为长方形，所以，平面，
所以平面，平面，所以.
【小问2详解】
以为原点，射线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
易知底面的一个法向量为，设为
，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
设二面角的大小为，
则，
所以二面角的大小为.
17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，N为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角余弦值；
（3）点M在线段上，直线与平面所成角正弦值为，求点M到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设的中点为，连接，
（2）记的中点为，连结，易得，，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可；
（3）设，利用空间向量结合直线与平面所成角的正弦值为求出的值，再利用空间向量求解即可.
【小问1详解】
设的中点为，连接，
因为N为的中点，所以，且，
又，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
记的中点为，连结，
因为，，，
所以四边形是矩形，则，，
以为原点，以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，
所以，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
【小问3详解】
依题意，设，则，
又由（2）得平面的一个法向量为，
记直线与平面所成角为，
所以，解得（负值舍去），
所以，则，
而由（2）得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解；
（2）利用导数求得的最小值，从而得到关于的不等式，解之即可得解.
【小问1详解】
当时，，，
故，.
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
【小问2详解】
，
因为，所以由，得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
因为恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
19. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱BC，CD的中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再求平面的法向量，求证即可求证；
（2）计算，再利用向量夹角和线面角之间的关系即可；
（3）计算平面的法向量，再计算，最后利用向量夹角和二面角的平面角之间的关系即可.
【小问1详解】
以点为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，，
故，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，故，
则，则，
又平面，故平面；
【小问2详解】
由（1）可知，，则，
故直线与平面所成角的正弦值为；
【小问3详解】
由（1）可知，，设平面法向量为，
则，即，令，则，故，
所以，
则二面角的余弦值为.
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增