初中相似三角形的判定教课ppt课件

这是一份初中相似三角形的判定教课ppt课件，共33页。PPT课件主要包含了合作探究，符号语言，典例精析，勾股定理等内容，欢迎下载使用。
掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理.
观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？
问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值．你有什么发现？
两角分别相等的两个三角形相似
与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A =∠A′ = 40°，∠B =∠B′ = 55°，探究下列问题：
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上截取 A′D = AB，过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E，则有 △A′DE∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′．∵∠B =∠B′，∴∠A′DE =∠B．又∵ A′D = AB，∠A =∠A′，∴△A′DE ≌△ABC（ASA）．∴△ABC∽△A′B′C′．
问题二 试证明 △ABC∽△A′B′C′.
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.
∵∠A =∠A'，∠B =∠B'，
∴△ABC∽△A'B'C'.
在△ABC 和△A'B'C' 中，
证明：在△ABC 中，∵∠A = 40°，∠B = 80°，∴∠C = 180°－∠A－∠B = 60°．在△DEF 中，∵∠E = 80°，∠F = 60°，∴∠B =∠E，∠C =∠F．∴△ABC∽△DEF．
例 1 如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A = 40°，∠B = 80°，∠E = 80°，∠F = 60°．求证：△ABC∽△DEF．
如图，在△ABC和△A′B′C′中，若∠A＝50°，∠B＝75°，∠A′＝50°，则当∠C′＝________°时，△ABC∽△A′B′C′.
∠ADE＝∠C(答案不唯一)
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是______________．(写出一种情况即可)
例 2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB = PC · PD．证明：连接 AC，DB．∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角，∴ ∠A = _______．同理 ∠C = _______，∴ △PAC ∽ △PDB.∴__________， 即 PA · PB = PC · PD.
如图，AD，BC相交于点P，连接AC，BD，且∠1＝∠2，AC＝6，CP＝4，DP＝2，则BD的长为________.
[教材P36练习T1变式]下列各组三角形中，可能不相似的是(　　)A．底角为40°的两个等腰三角形B．有一个角是45°的两个等腰三角形C．有一个角是60°的两个等腰三角形D．有一个角为120°的两个等腰三角形
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA = 90°.
判定两个直角三角形相似
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为 D．求 AD 的长．
又∠C = 90°，∠A =∠A，
∴△AED ∽△ABC.
由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似．
对于两个直角三角形，我们可以用 “HL”判定它们全等．那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
证明：设 = k，则 AB = kA′B′，AC = kA′C′.由 ，得 ， ∴ .∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
________________
由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
证明：∵∠DEC＝∠ADB，∠DEC＋∠AED＝∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠AED＝∠ADC.∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC.
(4分) 如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠DEC＝∠ADB.求证：△AED∽△ADC.
证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠DBC.又∵∠AEB＝∠C，∴△ABE∽△DBC.
(4分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，点E在对角线BD上，连接AE，∠AEB＝∠C.求证：△ABE∽△DBC.
【分析】观察得到 AB 和 AC 分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论．
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时， AC : AD = AB : AC，即 : 2 =AB : ，解得 AB = 3；
(2) 当 Rt△ABC ∽ Rt△CAD 时， AC : CD ＝ AB : AC，即 : = AB : ，解得 AB = ．∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是(　　)A．∠A＝65°，∠D＝25°B．AC＝3，BC＝4，DF＝6，EF＝8C．AC＝9，BC＝12，DF＝12，EF＝16D．AB＝12，BC＝8，DE＝35，EF＝21
(4分)[教材P36练习T2变式]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，且CD⊥AB.求证：AC2＝AB·AD.
[2025河北中考]如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是(　　)A．∠B＋∠4＝180° B．CD∥ABC．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，请用直尺和圆规在AC上确定点D，使△ABD与△ABC相似．下面是四种不同作法，根据作图痕迹可以判断，作法正确的是(　　)
如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC于点E，交AD于点F，则在下列给出的三角形中，与△BDF相似的是(　　)A．△BFA B．△BAEC．△BEC D．△AEF
解：如图，直线l即为所求．
(8分)[2025廊坊一模]如图，量角器放置在矩形纸面中，AB为其直径，点O为其圆心，点C，D对应的刻度分别为30°和60°，连接OC，OD，BD. (1)尺规作图：求作线段OA的垂直平分线l，直线l与OA交于点E，与OC交于点F.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接AF，求证：△AFO∽△BOD.
(12分) 在等边三角形ABC和等边三角形DMN中，点D为AB边的中点，DM，DN分别交AC，BC于点E，F，连接EF.(1)如图①，若∠ADM＝70°，则∠DFB的度数为________(直接写出结果)；
证明：∵△ABC和△DMN为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠EDF＝60°，∵∠BDE＝∠A＋∠AED＝∠EDF＋∠BDF，∴∠AED＝∠BDF，又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BFD.
(2)如图①，若∠ADE为任意锐角，证明：△ADE∽△BFD；
(3)若将△DMN绕点D顺时针旋转，如图②所示，DM与AC的延长线交于点E，其他条件不变，则(2)中的结论是否仍成立？请直接写出结论无需证明.