江苏省常州高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省常州高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
2．方程表示的曲线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
3．若两直线平行，则实数的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆关于直线对称，则圆的半径为（ ）
A．B．2C．D．4
5．“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．若圆上总存在两个点到原点的距离均为2，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．设为双曲线上两点，若线段AB的中点是，则直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是
A．B．C．D．
二、多选题
9．如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是该椭圆和双曲线的一个公共点，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为
11．已知曲线，点为曲线上任意一点，则（ ）
A．曲线的图象由两个圆构成
B．的最大值为
C．的取值范围为
D．直线与曲线有且仅有3个交点
三、填空题
12．已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为 .
13．若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的实轴长为 .
14．如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为 .

四、解答题
15．平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为.
(1)若直线在轴上的截距为5，求的值；
(2)若时，求直线的斜截式方程.
16．已知圆的方程为，直线.
(1)求圆关于直线对称的圆的方程；
(2)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值.
17．已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的左顶点作直线与椭圆的另一个交点为，若点是线段AB垂直平分线上一点，且满足，求实数的值.
18．双曲线，左、右顶点分别为为的右焦点.
(1)是双曲线右支上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程.
(2)已知点，直线与交于A，B两点.当时，上存在点使得，其中依次为直线PA，PB，PM的斜率，证明：在定直线上.
19．已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，设是椭圆上的一点，过E，F两点的直线交轴于点，若，求的取值范围；
(3)若斜率为的直线与椭圆交于A、B两点（直线PA斜率为正），直线PA、PB（若、重合，直线PB即为椭圆在点处的切线）分别与轴交于M、N两点，为PN中点.求的最大值.
1．A
利用抛物线准线方程定义求解即可．
【详解】抛物线的准线方程为，焦点在轴上，，即，，
准线方程是．
故选：A.
2．C
由已知等式的几何意义结合椭圆的定义可求曲线的标准方程
【详解】表示到点的距离之和为10，
又，故点的轨迹满足椭圆的定义，
设其标准方程为：，
显然，又，解得，
则标准方程为：.
故选：C.
3．B
根据两直线平行得到方程和不等式，求出.
【详解】由题意得且，
解得.
故选：B
4．A
先由圆的一般式得到圆心坐标，再利用圆的对称性得到关于的方程，进而再将圆的一般式化为标准方程，从而得解.
【详解】由，可得圆的圆心为.
因为圆关于直线对称，
所以由圆的对称性可知，圆心在直线上，
则，解得，
故圆，可化为，
所以圆的半径为.
故选：A.
5．A
根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果.
【详解】联立方程，整理可得，
当时，即，方程有一解，即只有一个公共点；
当时，，解得；
所以直线与双曲线只有一个公共点时，或，
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件，
故选：A
6．A
问题转化为圆与圆有两个交点，利用圆与圆的位置关系，即得所求的取值范围.
【详解】到原点的距离为2的点的轨迹为圆，
因此问题转化为圆与圆有两个交点，
易知，，，，，
所以，即，
解得或，
又因为
所以实数的取值范围为.
故选：A.
7．D
设，通过点差法求解直线的斜率，从而得直线方程．
【详解】设，线段的中点是，
，，
，在双曲线上，则，
两式相减得，
即，
则，所以直线方程为，即，
联立，，故直线与双曲线有两个交点，
故经检验直线方程为.
故选：D．
8．B
化已知直线为，即有且，解方程可得定点Q，可得M在以PQ为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值．
【详解】解：直线，即，
由，求得，直线经过定点．
由为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动，
可得圆心为PQ的中点，半径为，
则与M的最大值为，
则与M的最小值为，
故MN的范围为：，
故选B．
9．BC
根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论.
【详解】直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，
由倾斜角定义知，，，，故C正确；
由，知，，，，故B正确；
故选：BC
10．BCD
由椭圆与双曲线中参数之间的关系得到，判断A选项；由三角形正弦定理求得角，由椭圆和双曲线定义表示出线段，，再用余弦定理求得关系，由三个参数的关系式，判断B选项；由两边同除再化简，判断C选项；用离心率公式代入数值后利用基本不等式求得最小值，判断D选项．
【详解】对于A，，是椭圆和双曲线的公共焦点，
双曲线，则焦点在轴，所以椭圆中，
，，即，即，故A选项错误；
对于B，由正弦定理可知在中，，，
，，
由椭圆和双曲线的定义可知：，解得，，
，
即，，
，故B选项正确；
对于C，，，即，，故C选项正确；
对于D，由得，所以
，
当且仅当，即时取等号，所以最小值为，故D选项正确．
故选：BCD．
11．AC
根据题意，化简方程为，结合圆的标准方程，可判定A正确；由表示点到原点距离的平方，可判定B错误；设过点且与圆相切的直线方程为，结合点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系，可判定C正确；由直线与圆均相切，可判定D错误．
【详解】对于A中，由，得，
即，即，
所以或，
即或，
所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆，所以A正确；
对于B中，由表示点到原点距离的平方，
最大值为，所以B错误；
对于C中，如图所示，设过点且与圆相切的直线方程为，
则点到该直线的距离，解得，
即图中直线的斜率为1，可得直线的方程为，
点到直线的距离，则直线与圆相切，
设过点且与圆相切的直线方程为，
则点到该直线的距离，解得，
又由表示的是点到点的斜率，
故的取值范围为，所以C正确；
对于D中，由C项可知直线与圆均相切，
所以直线与曲线有且仅有2个交点，所以D错误．
故选：AC．
12．2
由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度.
【详解】圆的圆心为，半径，
则轴为的切线，切点为，
圆的圆心，半径，
则轴为的切线，切点为，
如图所示：
又，
则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线，
公切线段的长度为.
故答案为：2.
13．6
根据题意可设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出，即可得出双曲线的标准方程，从而得双曲线的实轴长．
【详解】由题意可设该双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，
即双曲线的方程为，化为标准方程为，
故双曲线的，所以双曲线的实轴长为．
故答案为：．
14．
利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再由点的变化范围得到相应不等式，进而求得取值范围．
【详解】设，，则，所以，
因为，，所以，
所以．
由，可得．
因为存在，所以在上有解，
因为，且，
所以在上有解，
即在上有解．
因为，所以，即解得．
故答案为：.
15．(1)
(2)或
（1）根据题意可知直线过点，由此可得斜率，再由点斜式得解；
（2）设直线在轴上的截距为，由此建立关于的方程，解出即可得直线的斜截式方程.
【详解】（1）依题意，直线过点，
则其斜率为，方程为，
令，可得，
则；
（2）设直线在轴上的截距为，
则直线过点，
故其斜率为，方程为，
令，可得，
则，解得或，
则直线的斜截式方程为或．
16．(1)
(2)
（1）求得圆心关于直线的对称点，可得圆的方程；
（2）由，可得所求最小值．
【详解】（1）由圆的方程为知圆心，半径．
设圆心关于直线的对称点为，则，
解得，
所以圆的方程为；
（2）因为，

所以当，，三点共线时，取得最小值．
因为，所以的最小值为．
17．(1)
(2)
（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆上，把代入椭圆求出，即可得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，与椭圆联立并利用韦达定理求得的坐标，继而得的中点的坐标.再利用及列式求解即得解.
【详解】（1）∵椭圆，
根据椭圆的对称性，，两点必在椭圆上，
又的横坐标为1，所以椭圆必不过，
则、、在椭圆上，
所以，，解得，
∴椭圆的方程为．
（2）由（1）得，设，令是的中点.
由题意知，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，
联立，得，
且，
∴，，
，
由，得，，即，
所以，，
由，得，化简得
解得，所以.

18．(1)或；
(2)证明见解析
（1）根据为的中点得的面积是面积的2倍，进而的面积等于的面积，求得轴，与双曲线方程联立求得点坐标，然后求出直线斜率，代入点斜式直线方程求解即可；
（2）分别设，表示出，再由直线与双曲线联立，得出根与系数的关系代入求出即可得证.
【详解】（1）由题意，所以为的中点，所以的面积是面积的2倍，
所以的面积等于的面积，所以，所以轴，
故直线方程为，联立得，即或，
又，所以直线的斜率为或，
所以直线的方程为或，
即或；
（2）不妨设，
则，
因为均在上，
所以，
所以，
欲使，只需，
故只需，即，
联立整理得，
因为，所以且，
所以，所以只需，即，解得，
所以，
所以，即上存在点满足题设，
显然在定直线上，证毕.
19．(1)；
(2)；
(3).
（1）由题意联立方程求解即可；
（2）设，由可得，结合计算可得的取值范围；
（3）设出直线方程，与椭圆方程联立利用韦达定理，结合斜率坐标公式推证得，再利用余弦定理建立函数关系求出正弦最大值.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）设，
则，，
若，则，
即，解得，
因为在椭圆上，则，
化简可得，
因为，所以，解得或，
即的取值范围；
（3）设直线，由消去得，
设，则，直线的斜率分别为，
则
，则，即，
在中，令，则，
在中，，
在中，,
因为，
所以，
即，解得，
，
当且仅当时取等号，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以取最小值时， 有最大值为.