江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟页数：共6页满分150分）
出卷人：程庆保审卷人：姬成双 2024年1月
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．155B．165C．290D．310
2．若有以下两个命题：命题甲：成等比数列；命题乙：．则命题甲是乙的（ ）．
A．充分而非必要条件B．必要而非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
3．求与直线平行且将圆的周长平分的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为
A．B．C．D．
5．“五一”假期将至，腾冲又将迎来今年的新一轮旅游热潮．腾冲某旅行社适时推出了“火山热海”、“和顺古镇”、“叠水河畔”、“湿地荷韵”和“佤寨风光”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“火山热海”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（ ）
A．720种B．360种C．320种D．288种
6．已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最小正数n为（ ）
A．36B．35C．34D．33
7．数列共有12项，其中，，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为
A．84B．168C．76D．152
8．双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知为曲线上一动点，则（ ）
A．的最小值为
B．存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离
C．到直线距离的最小值小于
D．的最小值为6
10．下列说法正确的是（ ）
A．用0，1，2，3，4能组成48个不同的3位数.
B．将10个团员指标分到3个班，每班要求至少得2个，有15种分配方法.
C．小明去书店看了4本不同的书，想借回去至少1本，有16种方法.
D．甲、乙、丙、丁各写了一份贺卡，四人互送贺卡，每人各拿一张贺卡且每人不能拿到自己写的贺卡，有9种不同的方法.
11．1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是( )
A．若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则
B．若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列
C．若最初有个桃子,则第只猴子分得个桃子(不含吃的)
D．若最初有个桃子,则必有的倍数
12．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为、.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的标准方程为
B．若点在椭圆上，则的最大值为
C．若点在椭圆上，的最大值为
D．过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知点是椭圆的两个焦点，横坐标为4的点在椭圆上，则的周长为 ．
14．已知数列满足（），则取最小值为 .
15．已知点，若圆上存在点，使得线段的中点也在圆上，则实数的取值范围是 .
我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为的个球的口袋中取出个球，共有种取法.在种取法中，不取号球有种取法；取号球有种取法.所以.试运用此方法，写出如下等式的结果： .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知二项式.
（1）当时，求二项式展开式中各系数的和；
（2）若二项式展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数和成等差数列，且二项展开式中存在常数项，求的值.
18．我国自改革开放以来，生活越来越好，肥胖问题也日渐显著，为思路引导肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响，在肥胖人群中随机抽出8人，他们的肥胖指数值、总胆固醇指标值单位:)、空腹血糖指标值(单位:)如下表所示：
(1)用变量与与的相关系数，分别说明指标值与值、指标值与值的相关程度;
(2)求与的线性回归方程，已知指标值超过为总胆固醇偏高，据此模型思路引导当值达到多大时，需要注意监控总胆固醇偏高情况的出现(上述数据均要精确到0.01)
参考公式:相关系数
，，.
参考数据:，，，，
，，，.
19．已知等差数列和等比数列，其中的公差不为0.设是数列的前项和.若，，是数列的前3项，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）是否存在常数，使得为等差数列？并说明理由.
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．
21．设数列的前项和为，满足，且，数列满足，对任意的，且成等比数列，其中.
（1）求数列的通项公式
（2）记，证明：当且时，
22．已知椭圆C：，四点中恰有三点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点．
(3)如图，抛物线M：的焦点是F，过动点的直线与椭圆C交于P，Q两点，与抛物线M交于两点，且G是线段PQ的中点，是否存在过点F的直线交抛物线M于T，D两点，且满足，若存在，求直线的斜率k的取值范围；若不存在，说明理由．

人员编号
1
2
3
4
5
6
7
8
BMI值x
25
27
30
32
33
35
40
42
TC指标值y
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
6.5
6.9
7.1
GLU指标值z
6.7
7.2
7.3
8.0
8.1
8.6
9.0
9.1
常州一中高二数学期末试卷参考答案
1．A
2．A
【解析】利用等比中项的性质，及特例法可求出甲是乙的充分不必要条件.
【过程解析】若成等比数列，由等比中项可知成立，即成等比数列；
若时，满足，但不是等比数列，
所以命题甲是乙的充分不必要条件.
故选：A
3．C
4．A
5．D
【思路引导】根据四人是否有人选择“火山热海”线路进行分类讨论，由此求得正确答案.
【过程解析】若四人中，没有人选择“火山热海”线路，
则方法数有种.
若四人中，恰有人选择“火山热海”线路，
则方法数有种.
所以他们报名的情况总共有种.
6．B
【思路引导】先由已知条件判断出的取值范围，即可判断使得的最小正数n的数值.
【过程解析】由得：，.
，又，
，，
，则使得的最小正数n为35.
故选：B.
7．A
【过程解析】解：数列的首项为0，第五项为2，第12项为5，则依次得到第三项为4个，第4项为8个，依次得到其余项的结果数，根据分布计数原理可得共有84个数列．
8．A
【思路引导】由题意画出图，由已知求出的值，找出的坐标，由的内切圆圆心分别为，进行思路引导，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出的底和高，利用三角形的面积公式计算即可.
【过程解析】由题意如图所示：
由双曲线，知，
所以，
所以，
所以过作垂直于轴的直线为，
代入中，解出，
由题知的内切圆的半径相等，
且，的内切圆圆心
的连线垂直于轴于点，
设为，在中，由等面积法得：
由双曲线的定义可知：
由，所以，
所以，
解得：，
因为为的的角平分线，
所以一定在上，即轴上，令圆半径为，
在中，由等面积法得：
，
又
所以，
所以，
所以，
，
所以
，
故选：A.
9．BD
【思路引导】先确定曲线为抛物线的右半部分，再根据抛物线的焦点为，准线为，可以判断出选项AB. 原点到直线的距离是最短距离，可判断出选项C. 可以看成是到焦点的距离加上到点的距离的和，最小值可以转化为点到准线的距离，即可判断选项D.
【过程解析】由，得，则曲线为抛物线的右半部分．
因为抛物线的焦点为，准线为，所以B正确，，A错误．
原点到直线的距离为，原点到直线的距离是最短距离，C错误．
设点到准线的距离为d，P到准线的距离为，
则，D正确．
10．BD
【思路引导】根据分步乘法计数原理求出三位数的个数判断A，根据隔板法和分步乘法计数原理求出分配方法数，判断B，利用间接法求出满足要求的方法数判断C，利用分步乘法计数原理求出满足条件的方法数，判断D.
【过程解析】对于A，第一步先排百位数，有4种排法，第二步排十位数有5种排法，第三步排个位数有5种排法，由分步乘法计数原理可得共有个不同的三位数，A错误；
对于B，第一步，每个班先各分一个团员指标，有一种方法，第二步，再将余下7个团员指标排成一排，7个指标之间有6个空，用2块隔板插入其中的两个空，每种插空方法就是一种将7个指标分给3个班，每班至少一个指标的分配方法，故第二步有种方法，由分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有15种，B正确；
对于C，因为借回至少1本的反面为1本都不借，又小明所有的借书方法数为种，所以借回至少1本的方法数为 种，C错误；
对于D，第一步甲先拿贺卡，有3种方法，第二步安排甲拿到的贺卡的主人拿，有3种方法，第三步余下两人拿贺卡，由于其中一人不能拿自己的贺卡，故只有一种方法，由分步乘法计数原理可得共种方法，D正确；
11．ABD
【思路引导】设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为，则,若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则,根据与关系即可判断A的正误;由A构造等比数列即可判断B的正误;根据B求出数列的通项公式,将代入求解即可判断C;根据题意,,又为等比数列,判断D的正误.
【过程解析】设最初有个桃子,猴子每次分剩下的桃子依次为,则
,
若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则
,
所以,
即,故A正确;
由A，,
则,
即是等比数列,
若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则,
所以是以为公比的等比数列,故B正确.
由B知,是等比数列,
所以,
即,
若最初有个桃子,即,
所以,故C错误;
根据题意:,
因为以为公比的等比数列,
所以,
化简得,
因为,且为正整数,
所以,
即必有的倍数,故D正确.
故选:ABD.
12．ACD
【思路引导】利用椭圆的定义及离心率大小可求得椭圆方程，判断,利用余弦定理，可得顶角的最大为钝角，故最大值为，可判断;设出点的坐标为，利用两点间的距离公式求得范围即可判断;利用椭圆在点处的切线方程为，及点在直线上，求出，两点满足的方程，即可求得所过定点，判断
【过程解析】一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，如下图所示：
所以可得即
又椭圆的离心率为，可得，
所以，
故椭圆方程为，所以正确；
由椭圆的定义知，
不妨设，
，
因为，可得
所以，
当且仅当时等号成立，此时最大为钝角设为，
则，故当时，
的最大值为，故错误；
易得,设点，
则
当时，，故正确；
易知椭圆在点处的切线方程为，
证明如下：当切线斜率存在时，
设直线与相切与点，
联立，
所以，
整理可得，
又易知，即，
所以
整理可得①；
又切点在椭圆上，即，
整理可得②，
联立①②，可得
即，
所以切线方程为，
化简得，
经检验，直线斜率不存在时也符合上式，
即椭圆在点处的切线方程为，
设，
所以椭圆在点处的切线的方程为，
在点处的切线的方程为，
两线相交于点，所以可得
，
即点满足方程，
所以直线的方程为，
整理可得，
令，
故直线的方程过定点，故正确，

故选：
13．18
14．
15．
【过程解析】设,，的中点，由已知有，故
将,代入圆的方程中得，
即的中点的轨迹为圆，
又线段的中点也在圆上，
两圆有公共点，，
解得：，
故答案为：
16．
【思路引导】将等式看作是从编号为个球中，取出个球，其中第个球的编号依次为的情况，利用分类加法计数原理得到的结果；再由从编号为个球中，取出个球，有种取法，即可得到结果.
【过程解析】从编号为个球中，取出个球，记所选取的六个小球的编号分别为，且，
当时，分三步完成本次选取：
第一步，从编号为的球中选取2个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中任选个，故选取的方法数为；
当时，分三步完成本次选取：
第一步，从编号为的球中选取2个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中任选个，故选取的方法数为；
……；
当时，分三步完成本次选取：
第一步，从编号为的球中选取2个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中选个，故选取的方法数为；
至此，完成了从编号为个球中，选取个球，第个球的编号确定时的全部情况，
另外，从编号为个球中，取出个球，有种取法，
所以.
故答案为：.
17．（1）；（2）.
【思路引导】（1）令利用赋值法求展开式各项系数；
（2）依题意，即可求出，再代入二项式展开式的通项去检验，即可判断；
【过程解析】解：（1）当，令，得二项式的展开式中各系数和为；
（2）二项式展开式的通项为
由题：，，
即或；
当时，二项式展开式的通项为，所以，是常数，符合；
当时，若是常数，则，不符，舍去，所以.
18．(1)答案见下；
(2)达到时，需要注意监控总胆固醇偏高情况出现。
【思路引导】（1）根据公式计算变量与的相关系数、变量与的相关系数，即可判定结论；
（2）求出变量与的线性回归方程，利用回归方程求不等式的解集，即得结论．
【过程解析】（1）解：由题知，变量与的相关系数分别是
变量与的相关系数分别是
所以，指标值与值、指标值与值都是高度正相关.
（2）解：与的线性回归方程，.根据所给的数据，
可以计算出，.
所以与的回归方程是
由，可得，
所以，据此模型思路引导值达到时，需要注意监控总胆固醇偏高情况出现.
19．(1); ; (2) 或
【思路引导】（1）由，，是等比数列的前3项利用等差中项的性质列出、d的关系式，代入即可求出、d，从而求得数列和的通项公式；（2）令先求出的表达式，若数列为等差数列推出为常数，则，列出方程求t，代入原式验证即可.
【过程解析】（1）设数列的公差为d，通项公式为，
因为，，是等比数列的前3项，所以，
即，整理得，
又，所以，
，，
所以，
因为，所以.
（2）数列的前n项和，
则，令，
若数列为等差数列，则为常数，
当时，，
整理得，解得或，(舍去)
经验证当或时均为常数，
综上所述，或时为等差数列.
20．（1）；（2）．
【解析】（1）依题意可得，所以得到，根据的面积，计算可得；
（2）联立直线方程与曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意得到，从而求出参数的取值范围，利用弦长公式表示出，，即可得到的取值范围；
【过程解析】解：（1）因为双曲线为等轴双曲线，
所以，设双曲线的焦距为2c，，
故，即．
因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，
将代入，可得，故．
将的面积为，
所以，即，
所以，，故双曲线E的方程为．
（2）依题意，直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，
联立方程组消去y可得，，
所以解得，且
所以
．
联立方程组得，同理，
所以．
所以，其中，
所以．
21．（1）.；.（2）证明见解析.
【思路引导】（1）当时，由，
两式相减得，用等差中项确定是等差数列再求通项公式.令，根据成等比数列，求得，从而得到
（2）由（1）知根据证明的结构使用放缩法，得到，再相消法求和.
【过程解析】（1）当时，由，
得，
两式相减得，
当时，，
所以是等差数列.
又因为，
所以，
所以，
所以.
.
令，
因为成等比数列，
所以，
所以，
所以，
又因为.，
所以.
（2）由（1）知，
因为，
所以，
.
同理
所以
所以.所以当且时，
【点睛】本题主要考查了数列递推关系和等比数列的性质，放缩法证明数列不等式问题，属于难题.
22．(1)
(2)证明见解析
(3)存在，
【思路引导】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C上．把的坐标代入椭圆C，求出，即可求出椭圆C的方程；
（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l过定点；
（3）利用点差法求出直线PQ的斜率，从而可得直线PQ的方程，与抛物线方程联立，由，及点G在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD的方程为，与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m的取值范围，进而可求得直线的斜率k的取值范围．
【过程解析】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C上，
又的横坐标为1，
∴椭圆必不过，
∴三点在椭圆C上．
把代入椭圆C，
得，解得，
∴椭圆C的方程为．
（2）证明：①当斜率不存在时，设,，
∵直线与直线的斜率的和为，
∴，
解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设,，，
联立，消去y整理得，
则，，
则
,
又，∴，此时，
故存在k，使得成立，
∴直线l的方程为，即
∴l过定点．
（3）∵点P，Q在椭圆上，所以，，
两式相减可得，
又是线段PQ的中点，
∴，
∴直线PQ的斜率，
∴直线PQ的方程为，与抛物线方程联立消去x可得，
由题可知，∴，
又G在椭圆内部，可知，∴，故，
设，，由图可知，，
∴，
当直线TD的斜率为0时，此时直线TD与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，
设直线TD的方程为，与抛物线方程联立，消去x可得，
∴，
由，可知，即，
∴，即，
∴，
∵，
∴，解得，即，