专题13 几何初步和平行线相交线（5大考点）练习含答案--2026年中考数学一轮专题

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【考点归纳】
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc176294066" 一、考点01几何体的展开图 PAGEREF _Tc176294066 \h 1
\l "_Tc176294067" 二、考点02直线、射线、线段 PAGEREF _Tc176294067 \h 10
\l "_Tc176294068" 三、考点03相交线及所形成的角 PAGEREF _Tc176294068 \h 16
\l "_Tc176294069" 四、考点04 平行线及其判定 PAGEREF _Tc176294069 \h 27
\l "_Tc176294070" 五、考点05 平行线的性质 PAGEREF _Tc176294070 \h 35
考点01几何体的展开图
一、考点01几何体的展开图
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．自B．立C．科D．技
【答案】C
【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，还原正方体是正确解答的关键．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：将“自”作为底面，则折起来“强”在前面，“立”在右面，“科”在后面，
∴与“强”字所在面相对面上的汉字是“科”，
故选：C．
2．（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．根据棱锥的侧面展开图的特征即可得到答案．
【详解】
解：棱锥的侧面是三角形，故四棱锥的侧面展开图的是
故选：B．
3．（2024·青海·中考真题）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了立体图形的侧面展开图．熟记常见立体图形的侧面展开图的特征是解决此类问题的关键．
由圆锥的侧面展开图的特征知它的侧面展开图为扇形．
【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形．
故选：D．
4．（2024·江西·中考真题）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【答案】B
【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
共有2种方法，
故选：B．
5．（2023·黑龙江大庆·中考真题）一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为 ．
【答案】
【分析】根据圆锥的体积=×底面积×高，即可求解．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为5，高为12，
∴它的体积，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥的体积，关键是熟练掌握圆锥的体积=×底面积×高．
6．（2023·江苏无锡·中考真题）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为的正方形，则该直三棱柱的表面积为 ．
【答案】/
【分析】根据题意得出正三角形的边长为，进而根据表面积等于两个底面积加上侧面正方形的面积即可求解．
【详解】解：∵侧面展开图是边长为的正方形，
∴底面周长为，
∵底面为正三角形，
∴正三角形的边长为
作，
是等边三角形，，
，
在直角中，
，
；

∴该直三棱柱的表面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三棱柱的侧面展开图的面积，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1 图2 图3
(1)直接写出的值；
(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
(3)
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
【答案】(1)2；
(2)C；
(3)见解析．
【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由折叠和题意可知，，，四边形是正方形，得到，即，即可求解；
（2）根据几何体的展开图即可求解；
（3）由题意可得，每张型号卡纸可制作10个正方体，每张型号卡纸可制作2个正方体，每张型号卡纸可制作1个正方体，即可求解．
【详解】（1）解：如图：
上述图形折叠后变成：
由折叠和题意可知，，，
∵四边形是正方形，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴的值为：．
（2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故选：C．
（3）解：
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为，则要制作一个边长为的正方体的展开图形为：
∴型号卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：
型号卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
型号卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
∴可选择型号卡纸2张，型号卡纸3张，型号卡纸1张，则
（个），
∴所用卡纸总费用为：
（元）．
8．（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可．
【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，
故选：C．
9．（2022·广西柳州·中考真题）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据面动成体：一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱，据此判断即可．
【详解】解：由题意可知：
一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱．
故选：B
【点睛】本题考查了圆柱的概念和面动成体，属于应知应会题型，熟练掌握基础知识是解题关键．
10．（2022·四川自贡·中考真题）如图，将矩形纸片绕边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据矩形绕一边旋转一周得到圆柱体示来解答．
【详解】解：矩形纸片绕边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是圆柱体．
故选：A．
【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握“面动成体”得到的几何体的形状是解题的关键．
二、考点02直线、射线、线段
11．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题．
【详解】解：过点有，
，
即得到的力臂大于的力臂，
其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
12．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由于是定值，只需求解的最小值即可，作点D关于对称点，连接、、，则最小值为的长度，即阴影部分周长的最小最小值为．利用角平分线的定义可求得，进而利用勾股定理和弧长公式求得和即可．
【详解】解：如图，作点D关于对称点，连接、、，

则，，，
∴，当A、C、共线时取等号，此时，最小，即阴影部分周长的最小，最小值为．
∵平分，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
又，
∴阴影部分周长的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查弧长公式、勾股定理、角平分线的定义、轴对称性质，能利用轴对称性质求解最短路径问题是解答的关键．
13．（2022·广西柳州·中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【分析】根据两点之间线段最短进行解答即可．
【详解】解：∵两点之间线段最短，
∴从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线中，最短的路线是②，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间所有连线中，线段最短．
14．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．

【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．
【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，
其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短
故答案为：两点之间，线段最短．
15．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点．
（1）的面积为 ；
（2）的面积为 ．
【答案】
【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可．
【详解】解：（1）连接、、、、，
∵的面积为，为边上的中线，
∴，
∵点，，，是线段的五等分点，
∴，
∵点，，是线段的四等分点，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴的面积为，
故答案为：；
（2）在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴、、三点共线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．
16．（2023·宁夏·中考真题）如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．

【答案】
【分析】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可．
【详解】解：∵点是的中点，线段，
∴，
∴点表示的数是：；
故答案为：．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点．熟练掌握线段中点的定义，以及数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
三、考点03相交线及所形成的角
17．（2024·北京·中考真题）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键．
根据得到，再由平角即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
18．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，度分秒的计算等，先利用垂直定义结合已知条件求出，然后利用平行线的性质以及度分秒的换算求解即可．
【详解】解∶∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选∶C．
19．（2024·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出的度数.
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
故选：B
20．（2024·四川泸州·中考真题）把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角的运算，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用平行线性质得到，再根据平角的定义求解，即可解题．
【详解】解：如图，
直角三角板位于两条平行线间且，
，
又直角三角板含角，
，
，
故选：B．
21．（2023·江苏·中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（ ）．

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵直尺的两边平行，
∴，
又∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外交的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
22．（2023·内蒙古·中考真题）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】平行线的性质，得到，再利用，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算．正确的识图，掌握平行线的性质，是解题的关键．
23．（2023·山东济南·中考真题）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出的度数．
【详解】解：如下图进行标注，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了平行线性质，三角形平角的定义，利用三角板的特点求出结果是解答本题的关键．
24．（2023·湖北十堰·中考真题）一副三角板按如图所示放置，点A在上，点F在上，若，则 ．

【答案】/100度
【分析】根据直角三角板的性质，得到，，结合得到，利用平角的定义计算即可．
【详解】解：如图，根据直角三角板的性质，得到，，
∵，
∴，
．

故答案为：．
【点睛】本题考查了三角板的性质，直角三角形的性质，平角的定义，熟练掌握三角板的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
25．（2022·江苏镇江·中考真题）一副三角板如图放置，，，，则 ．
【答案】105
【分析】根据平行性的性质可得，根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
，，
，
，
故答案为：105．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．
26．（2022·广西·中考真题）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为
【答案】135°/135度
【分析】根据三角板及其摆放位置可得，求解即可．
【详解】，
，
故答案为：135°．
【点睛】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键．
27．（2023·江西·中考真题）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段AB的长为 cm．

【答案】
【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵直尺的两边平行，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∵点，表示的刻度分别为，
∴，
∴
∴线段AB的长为,
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．
28．（2024·四川雅安·中考真题）如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质．
已知，可得的度数，因为对顶角，即得的度数．
【详解】解：∵，
，
，
故选：A．
29．（2024·内蒙古·中考真题）如图，直线和被直线和所截，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质是解题的关键．先利用判定，再利用对顶角的性质和平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴,
∵，
∴，
故选：B．
30．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ）
A．30°B．C．D．60°
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，
由题意得，，，
∴，
故选：B．
31．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，补角的定义等知识，利用平行线的性质得出，得出结合对顶角的性质，根据邻补角的定义得出，即可求出中与互补的角，即可求解．
【详解】解∶∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴图中与互补的角有，，，共3个．
故选∶C．
32．（2024·广东深圳·中考真题）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据，，则，再结合平行线的性质，得出同位角相等，即可作答．
【详解】解：如图：
∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，
∴，，
∴，
则，
∵光线是平行的，
即，
∴，
故选：B．
33．（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解．
【详解】解：正六边形每个内角为：，
而六边形的内角和也为，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
34．（2024·广东广州·中考真题）如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，先证明，再利用邻补角的含义可得答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：
35．（2024·广西·中考真题）已知与为对顶角，，则 °．
【答案】35
【分析】本题主要考查了对顶角性质，根据对顶角相等，得出答案即可．
【详解】解：∵与为对顶角，，
∴．
故答案为：35．
四、考点04 平行线及其判定
36．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行D．对顶角相等
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的判定，由，即可得出福大街与平安大街互相平行，即内错角相等，两直线平行．
【详解】解：∵，
∴福大街与平安大街互相平行，
判断的依据是：内错角相等，两直线平行，
故选：B．
37．（2024·天津·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的．
【详解】解：记与相交于一点H，如图所示：
∵中，将绕点顺时针旋转得到，
∴
∵
∴在中，
∴
故D选项是正确的，符合题意；
设
∴
∵
∴
∴
∵不一定等于
∴不一定等于
∴不一定成立，
故B选项不正确，不符合题意；
∵不一定等于
∴不一定成立，
故A选项不正确，不符合题意；
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴
∴
故C选项不正确，不符合题意；
故选：D
38．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D．
【详解】解：由轴对称图形的性质得到，，
∴，
∴B、C、D选项不符合题意，
故选：A．
39．（2023·山东临沂·中考真题）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交B．相交且垂直C．平行D．不能确定
【答案】C
【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断．
【详解】解：∵在同一平面内，过直线外一点作的垂线，即，
又∵过作的垂线，即，
∴，
∴直线与的位置关系是平行，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定．掌握平行线判定的方法是解题的关键．
40．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线，根据平行线的性质，可得，根据三角板可知，进而等量代换结合已知条件即可求解．
【详解】解：如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线
∵a∥b，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键．
41．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果．
【详解】解：A、当时，；故A不符合题意；
B、当时，；故B不符合题意；
C、当时，；故C符合题意；
D、∵，则，
∵，则，
∴；故D不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
42．（2022·江苏南京·中考真题）如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则 ．
【答案】/32度
【分析】根据平行四边形的性质得到，再利用平行线的性质得到即可解答．
【详解】解：过点作，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
43．（2024·北京·中考真题）如图，是的直径，点，在上，平分.

(1)求证：；
(2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，得，结合，得到，继而得到，根据平分，得到，继而得到，可证；
（2）不妨设，则，求得，证明，，求得，取的中点M，连接，则，求得，，结合切线性质，得到，解答即可.
【详解】（1）根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
不妨设，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得，
取的中点M，连接，
则
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
解得，
故半径的长为.

【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键.
44．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边AB上，经过边的中点E，且．求证．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，根据题意得，即可证明，有成立，根据平行线的判定即可证明结论．
【详解】证明：∵点E为边的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
五、考点05 平行线的性质
45．（2024·湖北·中考真题）如图，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管道，并有纵向管道连通．若，则的度数是（ ）
A．B．60°C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．
46．（2024·山东东营·中考真题）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
47．（2024·广东·中考真题）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
由题意知，，根据，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故选：C．
48．（2024·青海·中考真题）如图，一个弯曲管道，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补即可得出结果．
【详解】
故选：C
49．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，．则的度数为（ ）
A．B．60°C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键．
由三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：∵在中，，，
∴,
∵，
∴．
故选：C．
50．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：
①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；
②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；
③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；
④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出．
【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意；
B．∵，
∴，
∴一定成立，故B不符合题意；
C．∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴一定成立，故C不符合题意；
D．不一定成立，故D符合题意．
51．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据得到，再由四边形内接于得到，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴,
故选：C．
52．（2024·河南·中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案．
【详解】解：如图，
由题意得，，，
∴，
故选：B．
53．（2024·湖北·中考真题）如图，直线，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据同旁内角互补，，求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
54．（2024·陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案．
【详解】，
，
，
，
，
．
故选B．
55．（2024·福建·中考真题）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解．
【详解】∵，
∴，
∵，则，
∴，
故选：A．
56．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，若，，则的度数为（ ）

A．B．C．60°D．
【答案】B
【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B
57．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ．
【答案】/65度
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，等边对等角，得到，再根据角的和差关系求出的度数即可．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
58．（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
利用基本作图得到，平分，，接着证明得到，然后利用求解．
【详解】解：由作法得，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
卡纸型号
型号Ⅰ
型号Ⅱ
型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元）
3
5
20
卡纸型号
型号
型号
型号
需卡纸的数量（单位：张）
1
3
2
所用卡纸总费用（单位：元）
58