湖南省长沙市南雅中学、雅礼实验中学等五校联考2025-2026学年高二上学期12月限时训练数学试题

这是一份湖南省长沙市南雅中学、雅礼实验中学等五校联考2025-2026学年高二上学期12月限时训练数学试题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时长：120分钟 总分：150分
命题人：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知等差数列an满足a6+a7+a8=9，则a7等于（ ）
A．2B．3C．6D．9
2.若点P在抛物线C:x2=8y上，点P的纵坐标为1，则点P到抛物线C的准线的距离为（ ）
A．9 B．5 C．4 D．3
3.下列导数运算正确的是（ ）
A．csx′=sinx B．sinπ6′=csπ6
C．lg2x′=1xln2 D．2x′=2x
4.已知圆M:x−22+y+12=9，点P−1,3，点Q是圆M上的一个动点，线段PQ的最大值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．10
5.若函数fx=sin x−12x，则函数fx在区间0,π上的单调增区间为（ ）
A．0,π3 B．0,π2 C．π3,π2 D．π3,π
6.已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点，点P满足QP=1,−3，记P的轨迹为E，则（ ）
A．E是一个半径为5的圆 B．E是一条与l相交的直线
C．E上的点到l的距离均为5 D．E是两条平行直线
7.已知等比数列an首项为−1，前n项和为Sn，若S10S5=3132，则公比q为（ ）
A．1 B．12 C．−1 D．−12
8.设双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，且F1B=3F1A，F2A⋅F2B=32a2，则C的离心率为（ ）
A．5 B．132 C．72 D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数fx=sin2x，fx的导函数是，则（ ）
A．=cs2x
B．fx在点（π2 , 0）处的切线斜率为−2
C．fx在[0,π4]上的平均变化率为4π
D．fx在x=0处的瞬时变化率为1
10.已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ）
A.
B.
C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D. 当时，的面积为
11.函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列为等差数列
B．
C．
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知双曲线C的虚轴长是实轴长的7倍，则C的离心率为_____
若直线y=12x+m与曲线y=x和圆x2+y2=r2都相切，则此圆的半径r= ．
已知点A，B关于坐标原点O对称，AB=6，⊙M过点A，B且与直线x+3=0相切，
则圆心M的轨迹方程为
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分13分）
已知函数fx=lnx+x2+ax+2在点2,f2处的切线与直线2x+3y=0垂直．
(1)求实数a的值；
(2)求fx的单调区间．
16.（本小题满分15分）
记为等差数列{}的前n项和，已知＝11，＝40．
（1）求{}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和Tn．
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥P−ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形，且AD=2，
∠ADC=90°，∠BAC=90°，E为BC的中点．
(1)若F, G分别为PD, PE的中点，求证：FG//平面PAB；
(2)若PA⊥平面ABCD，PA=AC，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．

18.（本小题满分17分）
已知函数fx=x∙e2x，记f1x=，且fn+1x=，n∈N*．
(1)求fx的极小值；
(2)设fnx=an+bnx∙e2x，n∈N*，
（i）证明：数列an2n是等差数列；
（ii）求数列an的前n项和为Sn.
19.（本小题满分17分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(−1, 0)，F2(1, 0)，点M满足|MF1|+|MF2|＝4．
记M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设曲线C的左顶点为E，动直线l与曲线C交于P，Q两点.
（i）设直线EP，EQ的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2=，证明直线l恒过定点；
（ii）若直线l经过点F2，且P，N关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形OF2QN
的面积为? 若存在，求出直线l的条数；若不存在，请说明理由.