湖南省长沙市南雅、雅礼实验中学等五校联考2025-2026学年高二上学期12月限时训练数学试题（Word版附答案）

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一、单选题
1.已知等差数列an满足a6+a7+a8=9，则a7等于（ ）
A．2B．3C．6D．9
【答案】B【详解】由等差数列an可知：a6+a7+a8=9⇒3a7=9⇒a7=3，故选：B.
2.若点P在抛物线C:x2=8y上，点P的纵坐标为1，则点P到抛物线C的准线的距离为（ ）
A．9B．5C．4D．3
【答案】D【详解】抛物线x2=8y的准线方程为y=−2，所以点P到准线的距离为3，
3.下列导数运算正确的是（ ）
A．csx′=sinx B．sinπ6′=csπ6
C．lg2x′=1xln2 D．2x′=2x
【答案】C【详解】由(csx)′=−sinx，2x′=2xln2，lg2x′=1xln2，sinπ6′=0，
4.已知圆M:x−22+y+12=9，点P−1,3，点Q是圆M上的一个动点，线段PQ的最大值为（ ）
A．2B．6C．8D．10
【答案】C【详解】点P在圆M外，
圆M为x−22+y+12=9，圆心为M2,−1，半径为3，
PM=−1−22+3+12=5，所以PQ的最大值为5+3=8.故选：C
5.若函数fx=sin x−12x，则函数fx在区间0,π上的单调增区间为（ ）
A．0,π3 B．0,π2 C．π3,π2D．π3,π
【答案】A【详解】由fx=sin x−12x，得f'x=cs x−12，
由f'(x)>0，得csx−12>0，因为x∈0,π，所以00的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，且F1B=3F1A，F2A⋅F2B=32a2，则C的离心率为（ ）
A．5B．132C．72D．2
【详解】B因为双曲线关于原点对称，且直线过原点与双曲线交于A，B两点，
所以|F1A|=|F2B|，|F1B|=|F2A|.已知|F1B|=3|F1A|，所以|F2A|=3|F1A|.
由双曲线的定义可知|F2A|−|F1A|=2a，将|F2A|=3|F1A|代入可得：
3|F1A|−|F1A|=2a，解得|F1A|=a，则|F2A|=3a.
因为F2A⋅F2B=32a2，且|F1A|=|F2B|=a，|F2A|=3a，
所以F2A⋅F2B=|F2A||F2B|cs∠AF2B=3a×a×cs∠AF2B=32a2，
则cs∠AF2B=12.
在△AF2B中，根据余弦定理|AB|2=|F2A|2+|F2B|2−2|F2A||F2B|cs∠AF2B可得：
|AB|2=(3a)2+a2−2×3a×a×12=9a2+a2−3a2=7a2，即|AB|=7a.
因为O为AB，F1F2的中点，所以OA=−OB，OF1=−OF2.
F2A=OA−OF2，F2B=OB−OF2，
则F2A⋅F2B=(OA−OF2)⋅(OB−OF2)=(OA−OF2)⋅(−OA−OF2)=|OF2|2−|OA|2.
又因为|OA|=12|AB|=72a，|OF2|=c，所以c2−(72a)2=32a2，则c2=32a2+74a2=134a2.
双曲线的离心率e=ca（e>1），由c2=134a2可得e2=c2a2=134，则e=132.
二、多选题
9.已知函数fx=sin2x，fx的导函数是f′x，则（ ）
A．f′x=cs2x
B．fx在点（π2 , 0）处的切线斜率为−2
C．fx在[0,π4]上的平均变化率为4π
D．fx在x=0处的瞬时变化率为1
【答案】BC【详解】对于A，由f′x=sin2x′=cs2x⋅2x′=2cs2x，所以A错误；
对于B，因为f′(x)=2cs2x，故f′π2=2cs2×π2=2csπ=−2，所以B正确；
由f(x)在[0,π4]上的平均变化率为fπ4−f0π4−0=sin2×π4−sin0π4−0=1π4=4π，所以C正确；
因为f′(x)=2cs2x，当x=0时，f′(0)=2cs(2×0)=2cs0=2，所以D错误.故选：BC.
10.已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ）
A.
B.
C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D. 当时，的面积为
【答案】ABC
【解】因为是抛物线的焦点，所以，即得，A选项正确；
设在上，所以，所以，B选项正确；
因为以M为圆心且过F的圆半径为等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确；
当时,，且，，
所以,或舍
所以的面积为，D选项错误.故选：ABC
11.函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列为等差数列B．
C． D．
答案：BCD【解答】由，令，得或，，
由正弦函数的图象和性质可得函数的极值点为或，
又，则，，，，，
对于，数列的奇数项成首项为，公差为的等差数列，偶数项成首项为，
公差为的等差数列，故错误；对于，，故正确；
对于C，由，则
对于D，
，
所以，故D正确；
三、填空题
12.已知双曲线C的虚轴长是实轴长的7倍，则C的离心率为_____
【答案】22;
【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a,2b,2c，
由题知，b=7a，于是a2+b2=c2=a2+7a2=8a2，则c=22a，即e=ca=22
13若直线y=12x+m与曲线y=x和圆x2+y2=r2都相切，则此圆的半径r= ．
【答案】55【详解】设直线l在曲线y=x上的切点为x0,x0，
则f′x0=12x0=12，解得x0=1，切点为1,1，
将点1,1代入y=12x+m中，解得m=12，y=12x+12，即x−2y+1=0，
因为直线x−2y+1=0与圆x2+y2=r2相切，圆心0,0，所以r=15=55，故答案为：55.
14.已知点A，B关于坐标原点O对称，AB=6，⊙M过点A，B且与直线x+3=0相切，则圆心M的轨迹方程为
【答案】y2=6x；
【详解】∵AB为圆M的一条弦，O是弦AB的中点，所以圆心M在线段AB的中垂线上，设Mx,y，因为⊙M与直线x+3=0相切，所以⊙M的半径为r=x+3，
因为AB=6，所以AO=3，因为OM2+OA2=MA2，即x2+y2+9=x+32，化简得M的轨迹方程为y2=6x.

四、解答题
15．（本小题满分13分）
已知函数fx=lnx+x2+ax+2在点2,f2处的切线与直线2x+3y=0垂直．
(1)求实数a的值；
(2)求fx的单调区间．
解：（1）f′x=1x+2x+a，分
则f′2=12+2×2+a=92+a，分
由题意可得92+a×−23=−1， 解得a=−分
（2）由a=−3，故fx=lnx+x2−3x+2，定义域（0，+∞）分
则f′x=1x+2x−3=2x2−3x+1x=2x−1x−1x，x>0，分
由f′x=0得到x1=12，x2=分
故当00，y2