山西省太原市2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份山西省太原市2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．直线yx的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．椭圆的焦点坐标为
A．，B．，
C．，D．，
3．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．直线与直线之间的距离是（ ）
A．B．1C．D．2
5．圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知点分别是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．椭圆的离心率
C．面积的最大值为D．的最大值为
8．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．有最小值B．有最大值5
C．有最小值5D．有最大值
二、多选题
9．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线在轴和轴上的截距相等
B．直线的截距式方程为
C．直线的斜率为1
D．是直线的一个方向向量
10．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线所围成图形的周长是
B．曲线所围成图形的面积是
C．曲线上任意两点间距离的最大值为
D．直线与曲线一定有两个交点
11．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：
①是与都垂直的向量；
②三个向量构成右手系（如图1）；
③．
如图2，在长方体中，
，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．长方体的体积
三、填空题
12．已知，且，则 ．
13．已知直线与圆相交于两点，则 ．
14．平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于定点的阿波罗尼斯圆，其方程为，，且．若点，则的最小值为 ．
四、解答题
15．已知的三个顶点．
(1)求边上的高所在直线的斜截式方程；
(2)求边上的中线所在直线的一般式方程．
16．如图，三棱柱各棱的棱长都是1，若，点，分别是的中点，记．
(1)用向量表示向量，并求的模长；
(2)用向量方法证明：．
17．在图（1）五边形中，是等边三角形，，将沿折起到的位置，得到如图（2）所示的四棱锥，点为的中点．

(1)证明：平面；
(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知平面内点和直线，动点到点的距离与它到直线的距离的比是，记点的运动轨迹是曲线．
(1)求曲线的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，求是坐标原点）面积的最大值．
19．在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）．已知圆，圆，且．
(1)判断圆与圆的位置关系；
(2)若直线与圆交于两点，圆与轴交于两点．求证：直线与的交点在定直线上．
参考答案
1．B
【详解】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．
设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．
∴tanθ，
∴θ＝60°，
故选：B．
2．D
【详解】解：椭圆，焦点在轴上，可得，，所以，
所以椭圆的焦点坐标．
故选：D．
3．C
【详解】空间中的点关于平面的对称的点横纵坐标不变，竖坐标变为相反数，
所以点关于平面的对称点的坐标为.
故选：C
4．C
【详解】由平行线间的距离公式可得：，
故选：C
5．A
【详解】圆的圆心为，半径为1，
设所求圆的圆心为，
则与关于直线对称，
故，
则所求圆的圆心为，半径为1，
所以所求圆的方程为．
故选：A
6．B
【详解】由题，
如图，由图可知直线斜率.
故选：B
7．C
【详解】如图，作出符合题意的图形，

对于A，由题意得椭圆，
可得，，
设,，，则，
则，
函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值，且最小值如下，
为，故A错误，
对于B，由题意得椭圆的离心率，故B错误，
对于C，由于为定值，所以当位于椭圆的上下顶点时，
三角形的面积取得最大值为，故C正确，
对于D，设，由余弦定理得
，
当且仅当时等号成立，而，则，
可得的最大值不为，故D错误.
故选：C
8．D
【详解】易知，，
不妨设,
可将看作是，则，
当且仅当三点共线，且在线段上时取得等号，所以A，B错误；
可将看作是，则，
且存在点A使得，即C错误，D正确.
故选：D
9．AD
【详解】直线，令，得；令，得，
即直线在轴和轴上的截距相等，均为1，故A正确；
由，可得直线的截距式方程为，故B错误；
由，得，直线的斜率为，故C错误；
直线的斜率为，可知是直线的一个方向向量，故D正确，
故选：AD．
10．BC
【详解】当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
其图象如图，
曲线所围成图形的周长为四个半径相同的半圆的周长之和，，A错误；
曲线所围成图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，
，B正确；
曲线上任意两点间距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，此时最大值为，C正确；
恒过定点，而恰好在曲线上，
当直线与曲线在处相切时，不可能有两个公共点，D错误.
故选：BC
11．BCD
【详解】选项A：向量同时与向量垂直，
且向量三个向量构成右手系，
，
，所以，
故A不正确，
选项B：由，
，
所以，
故B选项正确，
选项C：因为
，
且与同向共线，
又，
且与同向共线，
又因为与同向共线，
所以，
故C选项正确，
选项D：长方体的体积为：，
，
故，
所以D选项正确，
故选：BCD.
12．5
【详解】∵，且，
∴，解得.
故答案为：5.
13．
【详解】由圆的圆心到直线的距离为：
，
又圆的半径为：，
所以.
故答案为：
14．
【详解】设，依题意，，
即，
整理得，
与对照得，解得，
因此；
由，得在圆内， 在圆外，
于是，当且仅当共线时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
所以边上的高所在直线的斜率，
所以边上的高所在直线的点斜式方程为，
则其斜截式方程为．
（2）设是边的中点，
则，即，
则，
所以边上的中线的方程为，即：，
所以边上的中线的一般式方程为：．
16．(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得；
，
.
（2）由（1）得，
，
，．
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取中点，连接，如下图所示：
为的中点，，
又四边形为平行四边形，
又平面，平面，
平面．
（2）当时，，平面，
平面，又平面，
平面平面，
以为原点，所在直线分别为轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，

设是平面的一个法向量，
则
令，则，
设是平面的一个法向量，
则
令，则，
,
因此平面与平面夹角的余弦值为．
18．(1)
(2)
【详解】（1）由题意得点到直线的距离为，
由得，化简整理得，
所以曲线的标准方程为．
（2）由题意得设直线的方程为，
由，得，
由得或，
，
，
又点到直线的距离为，
的面积，
令（或），则，
当且仅当，即当时，面积取最大值．
19．(1)相交
(2)证明见解析
【详解】（1）易得圆的标准方程为，其半径，
，
或（舍去），圆的圆心为，半径为，
，
圆与圆相交；
（2）由（1）得圆，
由得，
直线的方程为，直线的方程为，
，
，
直线与的交点在定直线上．