云南省文山壮族苗族自治州文山市第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）含答案解析

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1．A 【详解】解：由等差数列的性质可知，
所以．
故选：A．
2．B 【详解】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选：B.
3．C 【详解】由题意得,即,解得或.
当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去；
当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意.
故选：C.
4．A 【详解】由的圆心为，半径为，
而到的距离为，
所以.
故选：A
5．C 【详解】设等比数列的公比为，
由题意可得，解得或，
又数列为递增等比数列，所以，所以.
故选：C.
6．C 【详解】数列为等比数列，设公比为q，且，，
则，则，
则，
则，
故选：C.
7．C 【详解】由椭圆定义得：，又因为，
所以解得：，
再由于，，结合勾股定理可得：
，解得，所以椭圆的离心率为，
故选：C.
8．B 【详解】把代入，得，
所以点在抛物线里面，
圆的圆心记为，
因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点，
过点作抛物线准线的垂线垂足为，
则根据抛物线的定义得，
所以的最小值等于求的最小值，
当三点共线时最小，最小值为，
故的最小值为，
故选：B
9．BD 【详解】依题，，解得故A错误，B正确；
则，，故C错误，D正确.
故选：BD.
10．BC 【详解】等差数列中，，解得，而，
因此公差，通项，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，为递减数列，C正确；
对于D，，所以的前5项和为
，D错误.
故选：BC
11．AC 【详解】对于A，，所以表面积为，故A对；
对于B，如图所示：
设点在平面内的投影为，为的中点，则由对称性可知为三角形的重心，
所以，又因为，
所以正三棱锥的高为，
所以题图所示几何体的体积为，故B错；
对于C，由B选项可知面，由对称性可知三点共线，
所以面，而面，
所以面面，故C正确；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系：
其中轴平行，因为，
所以，
设平面的法向量为，所以，
不妨取，解得，所以取，
又，
而，所以直线与平面不平行，故D错.
故选：AC.
12．【详解】解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
13．【详解】当时，；
当时，.所以.
故答案为：
5【详解】数列的前n项和，当时，；当时，满足上式，则，令，则对任意都成立，即，数列单调递增，因此，故答案为：5
【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a1+3d=7a1+9d=19，--------------------------------------2分
解得：a1=1，d=2，-----------------------------------------------------------------------------------------------4分
∴an=1+2(n−1)=2n−1，-------------------------------------------------------------------------------------5分
Sn=n(1+2n−1)2=n2．-------------------------------------------------------------------------------------------------6分
(2)bn=1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，-------------------------------------------------------------8分
∴数列{bn}的前n项和为Tn=12[(1−13)+(13−15)+…+(12n−1−12n+1)]----------------------------------11分
=12(1−12n+1)=n2n+1． ---------------------------------------------------------------------------------------------13分
16.【答案】(1)证明：∵an+1=3an2an+1，∴1an+1=23+13an， 2分
可得1an+1−1=13(1an−1)，5分
又∵1a1−1=23≠0，
∴数列{1an−1}为等比数列，首项为23，公比为13．7分
(2)解：由(1)知，1an−1=23×(13)n−1，∴1an=2×(13)n+1，9分
∴Sn=1a1+1a2+…+1an=2×13[1−(13)n]1−13+n=1−(13)n+n，11分
由Sn0，
依题意得q2+3+3+d=123+4d−2q=3+2d,即q2+d=6d=q----------------------------------------------------------------------2分
解得d=q=2或d=q=−3(舍)，-------------------------------------------------------------------------------------4分
∴an=2n+1, bn=2n−1；--------------------------------------------------------------------------------------------6分
(2)由(1)可得Sn=n(3+2n+1)2=n(n+2)，---------------------------------------------------------------------------7分
∴2Sn=2n(n+2)=1n−1n+2，------------------------------------------------------------------------------------------------9分
∴cn=1n−1n+2,n为奇数2n−1,n为偶数,-----------------------------------------------------------------------------------------------10分
设数列cn的前2n项和为T2n，
则T2n=(c1+c3+⋯+c2n−1)+(c2+c4+⋯+c2n)------------------------------------------------------------11分
=(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)+(21+23+25+⋯+22n−1)------------------------------------------13分
=1−12n+1+2(1−22n)1−22=1+22n+13−12n+1 . ----------------------------------------------------------------------------15分

18.【答案】解：(1)证明：数列{an}的前n项和为Sn，an+1=2an+2n(n∈N∗)，a1=1，
由an+1=2an+2n，两边同时除以2n+1，
可得an+12n+1=an2n+12⇒an+12n+1−an2n=12，-----------------------------------------------------------------------------------2分
又a12=12，所以数列{an2n}是首项、公差均为12的等差数列，------------------------------------------------------3分
由等差数列的通项公式可得an2n=12+12(n−1)=n2，---------------------------------------------------------------4分
所以an=n⋅2n−1；--------------------------------------------------------------------------------------------------------5分
(2)由Sn=1×20+2×21+3×22+⋯+n⋅2n−1，--------------------------------------------------------------6分
可得2Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，------------------------------------------7分
所以−Sn=1+21+⋯+2n−1−n⋅2n-------------------------------------------------------------------------------8分
=1−2n1−2−n⋅2n=(1−n)2n−1，-------------------------------------------------------------------------------------10分
所以Sn=(n−1)2n+1；-----------------------------------------------------------------------------------------------11分
(3)若Sn≤2an−4n−λ对任意n∈N∗恒成立，
即有(n−1)2n+1≤n·2n−4n−λ，
整理得λ≤2n−4n−1恒成立，--------------------------------------------------------------------------------------12分
令cn=2n−4n−1，
则cn+1−cn=[2n+1−4(n+1)−1]−(2n−4n−1)=2n−4，----------------------------------------------13分
当n=1时，cn+1cn，
所以c1>c2=c3