2025-2026学年云南省文山州文山市第一中学高二上学期9月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年云南省文山州文山市第一中学高二上学期9月月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=0,1,2,3,4,5,B=x∈R∣x2−7x+6≤0，则A∩B=( )
A. [1,5]B. [0,6]C. 2,3,4,5D. 1,2,3,4,5
2.设z=i(2+i)，则z=
A. 1+2iB. –1+2iC. 1–2iD. –1–2i
3.已知空间向量a=(x,1,2)，b=(4,2,4)，若a⊥b，则x=( )
A. 1B. −52C. −32D. 3
4.已知直线l过点A(1,2)，B(3,4)，则直线l的倾斜角为( )
A. −π6B. −π3C. π4D. π3
5.直线l1⊥l2，若l1的倾斜角为60°，则l2的斜率为( )
A. 3B. − 3C. 33D. − 33
6.空间向量a=(1,0,1)在b=(0,1,1)上的投影向量为( )
A. 12,0,12B. 22,0, 22C. 0,12,12D. 0, 22, 22
7.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为( )
A. 2 23B. 1C. 2D. 2 2
8.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，M为侧面DCC1D1内的一个动点，且A1C⊥BM，记BM与平面A1ABB1所成的角为α，则sinα的最大值为( )
A. 22117B. 1717C. 22115D. 1515
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=32sin2x+ 32cs2x，则下列选项正确的有( )
A. f(x)的最小正周期为πB. 曲线y=f(x)关于点π3,0中心对称
C. f(x)的最大值为 3D. 曲线y=f(x)关于直线x=π6对称
10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A. 两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a=(2,3,−1)，b=(−2,−3,1)，则l1//l2
B. 两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2,2,−1)，v=(−3,4,2)，则α⊥β
C. 直线l的方向向量a=(1,−1,2)，平面α的法向量是u=(6,4,−1)，则l⊥α
D. 直线l的方向向量a=(0,3,0)，平面α的法向量是u=(0,−5,0)，则l//α
11.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，AB⊥AC，点E为B1C1的中点，则下列说法正确的是( )
A. AE=12AB+12AC+AA1
B. AB1//平面A1CE
C. 异面直线AE与A1C所成的角的余弦值为 312
D. 点A1到平面ACE的距离为2 55
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l1的倾斜角为45°，直线l1//l2，且l2过点A(−2,−1)和B(3,a)，则a的值为 ．
13.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则AC1⋅CB= ．
14.若a,b,c为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则a+2b−3c= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=2b，a=2ccsC．
(1)求ab的值；
(2)若b=2时，求▵ABC的面积．
16.(本小题15分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→．

(1)用a→，b→，c→表示AC1→；
(2)求AC1的长．
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，E为BB1的中点，AB=CC1=2BC=2．
(1)证明：AC⊥C1E．
(2)求二面角A−EC1−B的余弦值．
18.(本小题17分)
如图所示，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，AB=BC=3，BP=3，CF=13CP，DE=13DA．
(1)证明：EF//平面ABP；
(2)求直线PC与平面ADF所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面PBC,∠ABP=π3，底面ABCD为直角梯形，AB//DC,AB⊥BC,AB=2DC=4，BC=2 2．
(1)证明：平面ABCD⊥平面PAB；
(2)求点C到平面PAD的距离；
(3)线段PC上是否存在一点E，使得平面BDE与平面PAD所成角(即两个平面相交时所成的锐二面角)的余弦值为79，若存在，求出PEEC的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.C
5.D
6.C
7.A
8.A
9.ACD
10.AB
11.ABD
12.4
13.−1
14. 21
15.(1)∵a=2ccsC，由余弦定理得，a=2c⋅a2+b2−c22ab，
又c=2b，
∴a=2×2b×a2+b2−(2b)22ab，化简得a2=6b2，
∴ab= 6．
(2)由(1)得csC=a2c= 6b2×2b= 64，
∴C为锐角，∴sinC= 1−cs2C= 104，
∵b=2，∴a=2 6，
∴△ABC的面积S=12absinC=12×2 6×2× 104= 15．

16.(1)在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，
AB=a，AD=b，AA1=c，
∴AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c．
(2)∵AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，
AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c．
∴AC12=a+b+c2
=a2+b2+c2+2a⋅b+2a⋅c+2b⋅c
=25+9+16+0+2×5×4×cs60°+2×3×4×cs60°=82．
∴AC1的长|AC1|= 82．

17.1)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以CC1⊥AC，
又由题可知，AC⊥BC，
CC1，BC⊂平面BCC1B1
且CC1∩BC=C，
所以AC⊥平面BCC1B1，
又因为C1E⊂平面BCC1B1，所以AC⊥C1E．
(2)以C为坐标原点，CA,CB,CC1分别为x,y,z轴建系如图，
由AC⊥BC，AB=2BC=2，可得AC= 3，
则有A( 3,0,0),E(0,1,1),C1(0,0,2),
设平面AEC1的一个方向量为m=(x,y,z),AE=(− 3,1,1),AC1=(− 3,0,2)，
所以AE⋅m=0AC1⋅m=0 ,即− 3x+y+z=0− 3x+2z=0 ,令z= 3,则x=2,y= 3，
所以m=(2, 3, 3),
因为AC⊥平面BCC1B1，所以CA=( 3,0,0)为平面EC1B的一个法向量，
所以，cs =m⋅CAmCA=2 3 10× 3= 105，
即二面角A−EC1−B的余弦值等于 105．

18.(1)由题意知，BC，BA，BP两两互相垂直，以B为原点，BC，BA，BP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B−xyz，
则B(0,0,0)，C(3,0,0)，E(2,3,0)，F(2,0,1)，
所以BC=(3,0,0)，EF=(0,−3,1)．
∵PB⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PB⊥BC
又∵BC⊥BA，PB∩BA=B，
且PB,BA⊂平面ABP，
∴BC⊥平面ABP，
所以BC=(3,0,0)是平面ABP的一个法向量．
因为BC⋅EF=(3,0,0)⋅(0,−3,1)=0，
所以BC⊥EF．
又EF⊄平面ABP，所以EF/\!/平面ABP．
(2)因为A(0,3,0)，C(3,0,0)，D(3,3,0)，P(0,0,3)，F(2,0,1)，
所以AD=(3,0,0)，AF=(2,−3,1)，PC=(3,0,−3)，
设平面ADF的法向量为n=(x,y,z)，则
由n⋅AD=3x=0n⋅AF=2x−3y+z=0，解得x=0z=3y，令y=1，
得平面ADF的一个法向量为n=(0,1,3)．
设直线PC与平面ADF所成的角为θ，
则sinθ=cs=PC⋅nPC⋅n=(3,0,−3)⋅(0,1,3)3 2× 10=3 510．
故：直线PC与平面ADF所成角的正弦值为3 510．

19.(1)由PA⊥平面PBC,BC⊂平面PBC，则PA⊥BC，
又AB⊥BC，由PA∩AB=A，且PA,AB⊂平面PAB，
所以BC⊥面PAB，
又BC⊂面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAB．
(2)由(1)易知PA⊥PB，又∠ABP=π3，过P作PO⊥AB于O，
由面ABCD⊥面PAB，面ABCD∩面PAB=AB,PO⊂面PAB，
所以PO⊥面ABCD，
过O作Oz/\!/BC，易知Oz⊥AB，
故可构建如图示空间直角坐标系．
又AB=2DC=4,BC=2 2,DC/\!/AB，
则A(0,−3,0),P 3,0,0,C0,1,2 2,D0,−1,2 2，
所以AP= 3,3,0,AD=0,2,2 2,DC=(0,2,0)，
若m=(x,y,z)是面PAD的一个法向量，
则m⋅AP= 3x+3y=0m⋅AD=2y+2 2z=0, 解得m=− 6, 2,−1，
所以点C到平面PAD的距离m⋅DCm=2 23．
(3)同(2)构建空间直角坐标系，易知平面PAD的法向量m=− 6, 2,−1
设CE=λCP，
于是BE=BC+CE=BC+λCP
=0,0,2 2+λ 3,−1,−2 2
= 3λ,−λ,2 2−2 2λ，
DB=0,2,−2 2，
设n=(x,y,z)是平面EBD的一个法向量，
则n⋅BE= 3λx−λy+2 2−2 2λz=0n⋅DB=2y−2 2z=0，令z=1,n=3 2λ−2 2 3λ, 2,1，
因为平面BDE与平面PAD所成角的余弦值为79，
所以cs〈m,n〉=− 6×3 2λ−2 2 3λ+2−1 3 2λ−2 2 3λ2+2+1× 6+4+1=79，
整理得81λ2−12λ−5=0，即(27λ+5)(3λ−1)=0,λ=13或λ=−527(舍)
故CE=13CP，所以PEEC=2