湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含解析

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含解析，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用补集和并集的定义直接计算即可.
【详解】，，
，
，.
故选：B.
2. 终边在轴的非负半轴上的角的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据终边相同的角的集合，即可解题.
【详解】终边在轴的非负半轴上的角的集合为.
故选：D
3. 已知半径为的扇形面积为3，则扇形的圆心角为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式列式求解.
【详解】设扇形的圆心角为，依题意，，解得，
所以扇形的圆心角为2.
故选：D
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先解分式不等式，再结合充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】因为，所以解得或，
则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平方关系先求出，结合的范围判断正弦值余弦值的符号，从而求解.
【详解】因，
则，
又时，，故是第四象限角，则.
则.
故选：A
6. ，下列说法不正确是（ ）
A. 是偶函数
B. 有最小值，没有最大值
C. 有4个零点
D. 在和单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶函数的定义判断A，根据函数的单调性判断BD，令求出的值，判断C.
【详解】函数的定义域为，
对于A：，所以偶函数，故A正确；
对于B、D：当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上有最小值，无最大值；
又是偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
在上有最小值，无最大值；
所以有最小值，没有最大值，故B、D正确；
对于C：令，所以，即，所以，
所以有2个零点，故C错误；
故选：C
7. 已知，则在这4个数中，最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对取以10为底的对数，得，再根据对数的性质可得，即可判断4个绝对值的最小值．
【详解】对取对数得
，，
，，
故，即
且
即，即，
故
故在这4个数中，最小的是
故选：B
8. 已知函数，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A. 或B. 1或
C. 或1D. 或2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，求出，结合函数的对称性得出函数关于对称，由函数有唯一零点，可知，即可求出.
【详解】函数，分别为定义在上的偶函数和奇函数，
则，，
所以，解得，
由为偶函数，关于对称，则关于对称，
又为偶函数，关于对称，则关于对称，
所以关于对称，
则有唯一零点一定在处取得，
故有，
化简得，解得或.
经检验，时，对任意恒成立，因为关于对称，
所以对任意恒成立，即时,有唯一零点，符合题意，同理符合题意．
故选：A.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先判断角终边所在位置，在判断其三角函数的符号，逐项判断即可.
【详解】因为，为第二象限角，故，
得.
故选：BD
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和基本不等式，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A，由，根据不等式的性质，可得，所以A正确；
对于B，取，可得，所以B不正确；
对于C，取，可得，此时，所以C不正确；
对于D，由，可得，又由，
当且仅当时，即时，显然等号不成立，所以，所以D正确.
故选：AD.
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B.
C. 若函数，则在定义域上单调递增
D. 若实数，满足，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】分析函数的奇偶性和单调性，可判断ABC的真假；利用的单调性和奇偶性，可判断D的真假.
【详解】因为，
.
所以函数为奇函数，图象关于原点对称.
对A：因为，所以的图象由的图象向上平移4个单位得到，所以的图象关于点对称.故A正确；
对B：因为，所以，故B正确；
对C：因为，
当时，，都是单调递增的，所以在上单调递减，
又为奇函数，所以在上也是单调递减，且，
所以在其定义域上单调递减，故C错误；
对D：实数，满足，即.
因为.
又在上单调递减，所以，即，故D正确.
故选：ABD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 某同学用二分法求函数的零点近似值时，已将一个零点锁定在区间内，则该同学第二次所取的区间是______．
【答案】
【解析】
【分析】由二分法计算分析即可判断.
【详解】因为，，
因此第二次所取的区间应为．
故答案为：
13. 已知是定义在区间上的减函数，且，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用函数单调性与定义域列不等式，解不等式，可得答案.
【详解】由题意得，解得，
因为是定义在区间上的减函数，且，
所以，解得，所以的取值范围是.
故答案为：
14. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数性质，以及基本初等函数性质，画出函数图像，判断有四个零点时，参数的情况，进而根据对数函数性质和二次函数性质，求出结果.
【详解】当时，，
当时，，
且，，
则函数图像如下图所示，
当时，，
即函数在时的最大值为，
当存在，使得，即有四个解，分别为，
由图像可知，
则，即，解得，
当，则方程的解为，化简得，
可知时，恒成立，则，
所以，
由可知，.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. （1）已知，求的值．
（2）已知角终边上一点，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用商数关系，化弦为切即可得；
（2）由三角函数定义、诱导公式即可求解。
【详解】（1）由，
故；
（2）由角终边上一点，得，
故
16. 现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100°C的水泡制，待茶水温度降至60°C时，饮用口感最佳.某中学学生利用课余时间探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
设茶水温度从100°C经过后温度变为°C，现给出以下三种函数模型：
①；
②；
③.
（1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；
（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：，）；
【答案】（1）选模型②，且
（2）
【解析】
【分析】（1）根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数性质确定模型，再结合数据求解析式；
（2）根据（1）求出的模型进行计算.
【小问1详解】
由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，
选模型②，则，可得，
所以且；
【小问2详解】
令，则，
所以泡好茶达到最佳饮用口感的放置时间为.
17. 已知关于的函数，定义域为
（1）当时，求函数的零点；
（2）若函数有零点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，求解出对应的值，则零点可知；
（2）将问题转化为“在上有解”，根据对勾函数的单调性求解出的值域，则的取值范围可知.
【小问1详解】
当时，，，
令，则，则，
所以或(舍)，解得，
所以的零点为
【小问2详解】
由题意可知，在上有解，
令，则在上有解，
则在上有解，即在上有解，
因为在上单调递减，在上单调递增，
且，所以的值域为，
所以的取值范围是.
18. 已知函数．
（1）设．
（i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值；
（ii）求的单调递减区间．
（2）对任意、，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）（i）最小值为，；（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）令，，则，利用二次函数的基本性质可求出的最小值及其对应的的值；
（ii）利用复合函数法可求得函数的单调递减区间；
（2）令，则可化为，记函数在上的最大值为，最小值为，问题可化为，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
（i）当时，，
的定义域为，
令，，则，
当，即当时，即时，取得最小值，最小值为.
（ii）在上单调递增，
上单调递减，令，解得，
所以的单调递减区间为.
【小问2详解】
当时，令，
可化为．
记函数在上的最大值为，最小值为，
由对任意、，恒成立，得恒成立．
，其图象开口向上且对称轴为直线．
①当时，在上单调递增，
可得，，
由，得，解得，不符合题意；
②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，，
当时，由，可得，所以，
解得，此时；
当时，由，可得，解得，此时；
③当时，，
由，可得，解得，不符合题意．
综上，的取值范围为.
19. 若函数满足：
①对于，都有；
②对于，都有；
则称函数为“雅礼函数”．
已知为幂函数且是偶函数，函数过点．
（1）试求的解析式；
（2）试判断函数与是否是“雅礼函数”；
（3）若函数为“雅礼函数”，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）是“雅礼函数”，不是“雅礼函数”，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数定义先确定的可取值，再根据奇偶性确定出的值，则可求；代入于，则可求，则可求；
（2）根据“雅礼函数”的定义进行判断即可；
（3）根据“雅礼函数”的定义将问题转化为“对于，都有”以及“对于恒成立”，由此求解出结果.
小问1详解】
因为为幂函数，所以，解得或，
当时，，定义域为关于原点对称，且，所以是奇函数，不符合条件，
当时，，定义域为关于原点对称，且，所以是偶函数，符合条件，
所以；
因为过点，所以，解得，
所以.
【小问2详解】
对于：
对于，都有，故满足①，
对于，都有，
所以，故满足②，
所以是“雅礼函数”；
对于：
对于，都有，故满足①，
对于，都有
，
因为，所以，所以，
所以，故不满足②，
所以不是“雅礼函数”.
【小问3详解】
因为为“雅礼函数”，所以对于，都有，
即对于，都有，即对于，都有，
即对于，都有，
因为，所以，所以对于，都有，
所以，所以；
因为为“雅礼函数”，所以对于，都有，
即对于，都有，
即对于，都有，
即对于，都有，
上述不等式两边同乘可得，
即对于，都有，
即对于，都有，
因为，所以，
所以对于恒成立，所以，所以，
综上所述，的取值范围是.
时间/min
0
1
2
3
4
5
水温/℃
100
92
84.8
78.32
72.49
67.24