安徽省合肥市第四十六中学2025-2026学年九年级数学12月月考试卷

这是一份安徽省合肥市第四十六中学2025-2026学年九年级数学12月月考试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，四象限，则的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
（满分150分 考试时间120分钟）
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，，，则与的周长比是（ ）
A. B. C. D.
3. 值等于（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，，若，，则的长为（ ）
A. 4B. 6C. D. 5
5. 一次函数的图象与轴正方向所夹锐角为，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知双曲线分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若米，则树高度为（ ）
A 米B. 米C. 米D. 米
8. 如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（ ）
A. B. C. 是的中点D.
9. 在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角恰好落在格挡边沿．若已知，则值为（ ）
A. B. 3C. D. 6
10. 已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知一元二次方程有两个实数根，，则二次函数的对称轴是直线______．
12. 在梯形中，，对角线相交于O点，，则_____．
13. 在中，，，，则_____．
14 已知：正方形，，，经过点，，分别交，于点，，连接，，．
（1）若，且，则_____
（2）若，且，则_____
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
16. 已知二次函数（是常数）．
（1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标．
（2）若点是该二次函数图象上的任意一点，求的最大值．
四．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，已知在中，于点，，，．
求：
（1）的长；
（2）的值．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务．
（1）和关于轴对称，画出；
（2）若与是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限，画出；
（3）已知，则点坐标为_____．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，已知一次函数（，是常数且）的图象与双曲线（是常数且）交于、两点，与轴交于点．
（1）求的面积；
（2）直接写出不等式组解集：____
20. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式 ．
（2）设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润＝总销售额﹣总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？
（3）若该商铺要保证销售这批商品利润不能低于4000元，则销售单价x（元）的取值范围是 ．（直接写答案）
六（本题满分12分）
21. 如图，点A，B是某条河上一座桥的两端，某数学兴趣小组用无人机从点A竖直上升到点C时，测得点到桥的另一端点的俯角为，无人机由点继续竖直上升10米到点，测得桥的另一端点的俯角为，求桥的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
七、（本题满分12分）
22. （1）问题：如图1，在四边形中，点为上一点，当时，是否成立并说明理由．
（2）探究：若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用：如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰．点在上，点在上，点在上，且，若，求的长．
八、（本题满分14分）
23. 已知关于的二次函数，（实数，为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；
（2）若，当时，二次函数的最小值13，求的值；
（3）记关于的二次函数，若在（1）的条件下，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若当，时，始终满足，直接写出的取值范围．2025-2026学年第一学期阶段性作业评价（二）
九年级数学试题卷
（满分150分 考试时间120分钟）
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，
根据二次函数的顶点坐标是，可得答案．
【详解】抛物线的顶点坐标是．
故选：A．
2. 若，，，则与的周长比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，
根据题意可得相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比得出答案．
【详解】∵，
∴这两个三角形的相似比为，
∴与的周长比为．
故选：C．
3. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．利用特殊角三角函数值代入计算即可．
【详解】解：，
故选：C．
4. 如图，在中，，若，，则的长为（ ）
A. 4B. 6C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得到，证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
5. 一次函数的图象与轴正方向所夹锐角为，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角函数，一次函数的性质，由一次函数性质得到的坐标，再得到，，根据三角函数求得，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：当时，，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6. 已知双曲线分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据双曲线的图象分布在第二、四象限得出，求解即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵双曲线的图象分布在第二、四象限，
∴，
解得：．
故选：D．
7. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若米，则树高度为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意可得：，设米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后根据，列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
设米，
在中，，
∴（米），
中，，，
∴（米），
∵，
∴，
解得，
∴（米），
∴米．
故选：C．
8. 如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（ ）
A. B. C. 是的中点D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可．
【详解】A．，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到∽，不合题意；
B.，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到，从而有∽，不合题意；
C．P是BC的中点，无法判断与相似，符合题意；
D． ，根据正方形性质得到，又∵∠B=∠C，则∽，不合题意．
故选：C
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键．
9. 在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角恰好落在格挡边沿．若已知，则值为（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线是解题的关键．作，交的延长线于点，交的延长线于点，证明，推出，延长交于点，交于点，根据平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，以及对顶角相等，得到，解直角三角形求出的值即可．
【详解】解：作，交的延长线于点，交的延长线于点，
由题意，可得四边形为矩形，
∴，，
∵四个完全相同的矩形是书的侧面，
，，，
，
又，
，
延长交于点，交于点，
∵，
由题意，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，；
故选：A．
10. 已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴，再根据或来判断出对称轴在轴的负半轴，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴，结合开口方向进行分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
当时，则，
∴，
此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向上，
∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
即，故A选项不符合题意；
∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
∴或或或，
故B选项不符合题意；
当时，则，
∴，
此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向下，
∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
即，故C选项不符合题意；
∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
∴或或或，
故D选项符合题意；
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知一元二次方程有两个实数根，，则二次函数的对称轴是直线______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对于二次函数，当时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：二次函数与轴的交点分别为：，,
∴二次函数的对称轴是直线，
故答案为：．
12. 在梯形中，，对角线相交于O点，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了同高的两个三角形的面积比等于底之比，相似三角形的面积比是相似比的平方．首先由于与是同高的两个三角形，所以它们的面积比等于底之比，得出，然后可证，根据相似三角形的面积比是相似比的平方，则可得出的值，进一步可得结论．
【详解】解：设点D到边的距离为h，
则．
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
∴；
∴，
∴
故答案为：．
13. 在中，，，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质；过点B作，求出，，，分当点D在上和的延长线上两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①如图，过点B作，垂足为点D，当点D在线段上时，
∵，，
∴，
由勾股定理得，
在中，，
∴；
②如图，过点B作，垂足为点D，当点D在线段延长线上时，
同理可求，，
∴，
综上，的值为，
故答案为：．
14. 已知：正方形，，，经过点，，分别交，于点，，连接，，．
（1）若，且，则_____
（2）若，且，则_____
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，解直角三角形和相似三角形的判定与性质等知识，熟练灵活运用相关知识是解答本题的关键．
（1）先证明，，，从而证明，运用相似三角形的性质可得结论；
（2）过点作于点则，证明，可得出，求出，利用勾股定理可得出．
【详解】解：（1）∵，,
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即；
在正方形中，，，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）过点作于点，则，如图，
则，，
，
又，
，
，
∵，，
又，
∴，
，
，即，
，
∵，
，
，
．
故答案为：（1）；（2）．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】1．
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，代入特殊角的三角函数值进行计算即可，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：
．
16. 已知二次函数（是常数）．
（1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标．
（2）若点是该二次函数图象上的任意一点，求的最大值．
【答案】（1）顶点坐标为
（2）最大值为
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将代入函数解析式即可解决问题．
（2）用m表示n即可解决问题．
【小问1详解】
解：将代入二次函数解析式得，
，
所以该二次函数图象的顶点坐标为．
【小问2详解】
解：将点坐标代入二次函数解析式得，，
所以，，
所以当时，取得最大值为．
四．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，已知在中，于点，，，．
求：
（1）的长；
（2）的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据题意可知，先求得，然后由，即可解答；
（）先用勾股定理求得，然后由直接计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∴．
∴的值为．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务．
（1）和关于轴对称，画出；
（2）若与是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限，画出；
（3）已知，则点坐标为_____．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）．
【解析】
【分析】本题考查了作图——位似变换、轴对称变换，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）分别作点关于轴的对称点，然后连线即可；
（）由（）及位似的性质进行作图即可；
根据平面直角坐标系写出坐标即可．
小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：由平面直角坐标系可得：点坐标为
故答案为：．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，已知一次函数（，是常数且）的图象与双曲线（是常数且）交于、两点，与轴交于点．
（1）求的面积；
（2）直接写出不等式组的解集：____
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质及巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
（1）运用待定系数法求出直线解析式，求出点C的坐标，再结合三角形的面积公式进行计算即可．
（2）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵一次函数（，是常数且）的图象过、两点，
∴，
解得
所以，直线的解析式为，
令，则，
∴点C的坐标为，
∴，
∴
【小问2详解】
解：根据图象得不等式组的解集为：．
故答案为：．
20. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式 ．
（2）设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润＝总销售额﹣总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？
（3）若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于4000元，则销售单价x（元）的取值范围是 ．（直接写答案）
【答案】（1）；
（2）70元时，最大总利润是6000元；
（3）．
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；
（2）利用总利润＝总销售额﹣总成本，进而得出w与x的函数关系式，进而得出最值；
（3）利用二次函数的增减性得出x的取值范围即可．
【小问1详解】
解：（1）设y与x的函数关系式为：，
∵函数图象经过点和，
∴，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意可得出：
，
自变量取值范围：．
∵，．
∴函数图象开口向下，对称轴是直线．
∵，此时y随x的增大而增大，
∴当时，；
故当销售单价为70元时，可获得的总利润最大；最大总利润是6000元；
【小问3详解】
解：由，
当时，，
解得：，
∵，
∴，
又∵；
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式和二次函数增减性等知识，利用函数增减性得出是解题关键．
六（本题满分12分）
21. 如图，点A，B是某条河上一座桥的两端，某数学兴趣小组用无人机从点A竖直上升到点C时，测得点到桥的另一端点的俯角为，无人机由点继续竖直上升10米到点，测得桥的另一端点的俯角为，求桥的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：，，从而可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：根据题意，得，，米．
在中，，
．
在中，，
．
米，
，
解得米．
答：桥的长约为米．
七、（本题满分12分）
22. （1）问题：如图1，在四边形中，点为上一点，当时，是否成立并说明理由．
（2）探究：若将角改锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用：如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰．点在上，点在上，点在上，且，若，求的长．
【答案】（1）成立，见解析；（2）结论仍成立；理由见解析；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查三角形相似的判定与性质，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，能够通过角将问题转化为一线三等角是解题的关键．
（1）由可得，即可证得；
（2）由为锐角可得，即可证得；
（3）证明，求出，再证，根据相似三角形的性质列式解答即可．
【详解】解：（1）
，
，
，
∴ ，
又
，
（2）结论仍成立；
理由：，
又，
，
，
，
又，
，结论仍成立．
（3）为等腰直角三角形，
，
，
又，
，
，
∴
是等腰直角三角形
，
，
，
是等腰直角三角形
，
，
，
又，
，
即，
解得：(负数已舍)．
八、（本题满分14分）
23. 已知关于的二次函数，（实数，为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；
（2）若，当时，二次函数的最小值13，求的值；
（3）记关于的二次函数，若在（1）的条件下，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若当，时，始终满足，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）由二次函数的图象经过点，得到，由对称轴为直线，得到，即可得出答案；
（2）分三种情况：①当时，即，②当时，即，③当时，即，分别求解即可；
（3）分别求出的最小值，的最大值，由题意得到，求解即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：当时，，
∴函数的表达式为，对称轴为直线，
根据题意可知，需要分三种情况：
①当时，即，在内，随着的增大而增大，
当时，二次函数的最小值为13，
∴，
整理得：，
解得：或（舍去），
②当时，即，在内，
当时，二次函数最小值为13，
∴，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
③当时，即，在内，随着的增大而减小，
∴时，二次函数的最小值为13，
∴
整理得：，
解得：或（舍去），
综上所述：或；
【小问3详解】
解：由（1）得：，
当时，则时，的最小值为，
∵，
∴当时，则时，的最大值为，
∵，时，始终满足，
∴，
解得：．