安徽省合肥市合肥经开区合肥一六八玫瑰园学校2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试题

这是一份安徽省合肥市合肥经开区合肥一六八玫瑰园学校2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试题，共32页。试卷主要包含了填空题，解答题，解答等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每小都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）．
A. B. C. D.
3. 将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ）
A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位
C. 向上平移2个单位D. 向下平移2个单位
4. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
5. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断关于的方程的一个解的范围是（ ）
A. B. C. D.
7. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”升空高度与飞行时间满足的关系为．已知“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（ ）
A. B. C. D. 或
8. 如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ）
A. 1B. C. D. 2
9. 如图，点A，B，O都在格点上，则的正切值是（ ）
A B. C. D.
10. 如图，在中，，，点为边上一动点不与点、重合，垂直交于点，垂足为点，连接并延长交于点，下面结论正确的个数是（ ）
①若是边上的中线，则；②若平分，则；③若，则；④的最小值为．

A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 已知，则__________．
12. 二次函数顶点坐标为______．
13. 如图，一个矩形一边与量角器的零刻度线共线，其对边与量角器交于点，且点在量角器上对应读数为．若将量角器看作是半径为5的扇形，则矩形与量角器重叠部分的周长为__________．
14. 已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N．
①若BE＝1，那么CN的长 ___；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长 ___．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15. 计算：．
16. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为．求这个二次函数的表达式．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A和点B的坐标分别为．

（1）在第一象限画出以原点O为位似中心的位似图形，使与的位似比为；
（2）画出绕点按逆时针方向旋转后的．
18. 如图，直线与双曲线相交于两点，与x轴相交于点C．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接，求的面积；
（3）直接写出当时，关于x的不等式的解集．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD•AG=AF•AB．
20. 如图，育才学校教学楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，教学楼在建筑物的墙上留下高的影子，而当光线与地面的夹角是时，教学楼顶点A在地面上的影子点F与墙角点C有的距离，B，F，C三点在同一条直线上，求教学楼的高度（结果精确到，参考数据：，，）
六、解答（本大题12分）
21. 如图，是外接圆，，过点A作交于点D，连接，延长到点E，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
七、解答题（本大题12分）
22. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接相交于点F，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
八、解答题（本大题14分）
23. 二次函数经过点，点，点C，点D分别二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点.
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，连接，过点作的平行线交二次函数于点，连接，，，．求四边形面积的最大值以及此时点的坐标；
（3）如图2，过点作轴，交于点（点不与点重合），过点作轴，交于点，当时，直接写出点的坐标．0
1
2
7
2
安徽省合肥市合肥经济技术开发区合肥一六八玫瑰园学校
2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每小都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质，是解答本题的关键．
根据中心对称图形的性质，找到对称中心，绕中心旋转后与自身重合，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项是中心对称图形，故本选项符合题意；
选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
2. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵，，
∴该图象也过点，
故选：．
3. 将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方式中，正确是（ ）
A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位
C. 向上平移2个单位D. 向下平移2个单位
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”解答即可．
【详解】解：将抛物线向下平移2个单位可得到抛物线，
故选：D．
4. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．根据旋转的性质可得，，证明是等边三角形，即可得的长．
【详解】解：连接，如图所示：
将绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
则，
故选：A．
5. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键．先根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的对角互补求解即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故选：A．
6. 根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断关于的方程的一个解的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到由正变为负时，自变量的取值即可．利用二次函数和一元二次方程的性质．
【详解】解：观察表格可知：当时，；当时，，
∴方程的一个解的范围是．
故选：B．
7. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．已知“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用、一元二次方程的解法，正确理解题意并掌握一元二次方程的解法是解题关键．将代入二次函数关系式，解关于的一元二次方程，同时结合实际意义舍去负值即可．
【详解】解：∵ ，且，
∴ ，
整理，得，
解得，．
∵ ，
∴ ．
故选：C．
8. 如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查菱形性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由菱形的性质得，，可证明，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∵点F在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
9. 如图，点A，B，O都在格点上，则的正切值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
过点作于点，连接并延长，过点作交延长线于点，根据勾股定理可求出，，设，再由勾股定理可求出x的值，从而求出，即可的正切值．
【详解】解：如图，过点作于点，连接并延长，过点作交延长线于点，
在中，
∵，，，
∴由勾股定理可知：，
同理，在中，由勾股定理可知：，
设，
在中，由勾股定理可知：；
同理，在中，，，
∴，
∴，
∴，
解得：，即，
∴，
∴，
故选：C．
10. 如图，在中，，，点为边上一动点不与点、重合，垂直交于点，垂足为点，连接并延长交于点，下面结论正确的个数是（ ）
①若是边上的中线，则；②若平分，则；③若，则；④的最小值为．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，得，据此判断符合题意；过点作交于点，根据题意推出是的中位线，则，根据直角三角形的性质及平行线的性质推出，，，根据相似三角形的性质即可判断符合题意；当时，设，则，，过点作交的延长线于点，结合题意及直角三角形的性质利用推出，根据全等三角形的性质得到，根据，判断，进而推出，根据相似三角形的性质即可判断符合题意；根据当最短时，点为的中点，求解即可判断不符合题意；
【详解】解：是边上的中线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故正确，符合题意；
如图，过点作交的延长线于点，

，，
等腰直角三角形，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故正确，符合题意；
当时，设，则，
，
过点作交的延长线于点，

，
，
垂直，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
，
故正确，符合题意；
，
点在以为直径的圆上，
当最短时，点为的中点，
，
，
的最小值为，
故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 已知，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是比例的性质，熟练掌握该知识点是关键．
将所求分式拆分为已知比例减1，代入计算即可．
【详解】解：∵，
．
故答案为：．
12. 二次函数的顶点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，的顶点坐标为，根据顶点式的意义直接解答即可．
【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是．
故答案为：．
13. 如图，一个矩形的一边与量角器的零刻度线共线，其对边与量角器交于点，且点在量角器上对应读数为．若将量角器看作是半径为5的扇形，则矩形与量角器重叠部分的周长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查弧长公式及等边三角形的判定与性质，熟练掌握弧长公式是关键．结合题意可知△为等边三角形，进而可得，利用弧长公式可得，，即可求解．
【详解】解：如图，
，，，
，
，
△为等边三角形，
，，
，
，
矩形与量角器重叠部分的周长为．
故答案为：．
14. 已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N．
①若BE＝1，那么CN的长 ___；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长 ___．
【答案】 ①. ##1.5 ②. 或##或2
【解析】
【分析】①求出，证明，得出，即可得出结果；
②如图，过点作于点，则四边形是矩形，得出，，根据折叠的性质证明，得出，从而证明，设，则，，代入可得，即可得出结果．
【详解】①，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
故答案为：；
（2）
如图，过点作于点，则四边形是矩形，
，，
根据折叠的性质得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，即，
，即，
，
解得：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查矩形的综合问题，掌握相似三角形的判定与性质以及折叠的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15. 计算：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，代入特殊角三角函数值进行计算即可，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
【详解】解：原式
．
16. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为．求这个二次函数的表达式．
【答案】二次函数的表达式为．
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数表达式，熟练掌握“逢点必代”思想是解题的关键．将两个交点的坐标分别代入函数表达式，并准确解方程组即可．
【详解】解：根据题意将点，分别代入，得，
解得．
∴二次函数的表达式为．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A和点B的坐标分别为．

（1）在第一象限画出以原点O为位似中心的位似图形，使与的位似比为；
（2）画出绕点按逆时针方向旋转后的．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变换—位似和旋转：
（1）根据位似图形的性质，画出即可；
（2）根据旋转的性质，画出即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
如图所示，即为所求；

18. 如图，直线与双曲线相交于两点，与x轴相交于点C．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接，求的面积；
（3）直接写出当时，关于x的不等式的解集．
【答案】（1）一次函数，反比例函数
（2）4 （3）或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求解函数解析式，图形面积的计算以及函数图象解不等式的解集，根据点与函数的关系可求解点的坐标与函数解析式，再观察图像得到函数的性质是解决本题的关键．
（1）先将点代入中可求解m的值，再将点代入中可求解n的值，再将点A与点B代入中即可求解k与b的值；
（2）先求出一次函数与y轴的交点，即点D，再根据即可求解；
（3）不等式表示反比例函数图象位于一次函数图象上方的x的取值，观察函数图象即可得解．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数上，
∴，解得，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴点，
将点与点代入中，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：对于一次函数，
令，则，
∴点，
又∵点，点，
∴，
，
∴；
【小问3详解】
解：观察图象，当时，
不等式表示反比例函数图象位于一次函数图象上方的x的取值，
∴或．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD•AG=AF•AB．
【答案】（1）6；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）由平行可得 ，可求得AC，且EC=AC-AE，可求得EC；
（2）由平行可知 ，可得出结论．
【详解】解：（1）∵DE∥BC，
∴，
又，AE=3，
∴，
解得AC=9，
∴EC=AC-AE=9-3=6；
（2）∵DE∥BC，EF∥CG，
∴，
∴AD•AG=AF•AB．
20. 如图，育才学校教学楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，教学楼在建筑物的墙上留下高的影子，而当光线与地面的夹角是时，教学楼顶点A在地面上的影子点F与墙角点C有的距离，B，F，C三点在同一条直线上，求教学楼的高度（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】教学楼的高度约为
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，过点E作于点M，构造矩形，设，解和求出x的值即可．
【详解】解：如图，过点E作于点M，则四边形为矩形，
，，
设，
在中，，
，
．
在中，，，，
，
解得．
答：教学楼的高度约为．
六、解答（本大题12分）
21. 如图，是的外接圆，，过点A作交于点D，连接，延长到点E，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用平行线的性质，同圆的半径相等，平行线的判定和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）连接，交于点，利用（1）的结论判定四边形为平行四边形，利用垂径定理和勾股定理求得，设半径的长为，则，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：

∵，过圆心，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：连接，设与相交于点F，

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又，，
∴，，
∵，过圆心，
∴，
∴，
设的半径为r，则，，
∵，
∴，
∴，
即的半径为．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
七、解答题（本大题12分）
22. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接相交于点F，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先由平行四边形的性质得到，进而根据平行线的性质和已知条件得到，据此证明，根据相似三角形的性质即可证明；
（2）求出，再证明，得到，则．
【小问1详解】
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去）．
八、解答题（本大题14分）
23. 二次函数经过点，点，点C，点D分别二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点.
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，连接，过点作的平行线交二次函数于点，连接，，，．求四边形面积的最大值以及此时点的坐标；
（3）如图2，过点作轴，交于点（点不与点重合），过点作轴，交于点，当时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）四边形的面积有最大值18，此时
（3）或．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）求出直线的解析式，再由平行线的性质求出直线的解析式从而确定点坐标，再由直线的解析式求出直线与轴的交点坐标，从而求出的面积，过点作轴交直线于点，设，则，可得，从而求出四边形面积的最大值及点的坐标；
（3）求出，，设，则，则，，再由，求出（舍或或，即可求点坐标．
【小问1详解】
解：将点，点代入，
，
解得，
二次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：当时，，
，
∵点，
，
设的解析式为，代入，，
得，解得：，
直线的解析式为，
∵，，则设直线的解析式为，
代入，得，解得，
直线的解析式为，
当时，解得或，
，
设的直线解析式为，
，
解得，
直线解析式为，
直线与轴的交点为，
，
过点作轴交直线于点，
设，则，
，
，
四边形的面积，
∵，
当时，四边形的面积有最大值18，此时；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵轴，则当时，，
∴，
设，则，
，，
∵，
，
解得（舍去）或或，
∴或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，两点间距离公式，平行线的性质，铅锤法求面积是解题的关键．
0
1
2
7
2