安徽省淮南市淮南西部地区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份安徽省淮南市淮南西部地区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．“翻开数学书（大于28页），恰好翻到第28页”，这个事件是（ ）
A．随机事件B．必然事件C．不可能事件D．确定事件
2．小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏．若随机出手一次，则小华获胜的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．随机抛掷一枚瓶盖次，经过统计得到“正面朝上”的次数为次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率为（ ）
A．0.22B．0.42C．0.50D．0.58
4．一个布袋中有红球x个，白球个，黄球8个，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸出一个球，如果摸到黄球的可能性最大，那么布袋中白球可能有（ ）
A．4个B．5个C．7个D．8个
5．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，电路图上有3个开关A，B，C和一个小灯泡，同时闭合开关A，C或同时闭合开关B，C都可以使小灯泡发光．下列操作中，使“小灯泡发光”的事件是随机事件的是（ ）
A．不闭合开关B．只闭合1个开关C．只闭合2个开关D．闭合3个开关
7．如图，一块含角的直角三角板的最短边长为6cm，现以较长的直角边所在直线为轴旋转一周，形成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，即当时，．若，，则（ ）
A．B．C．D．
9．在，，1，2四个数中，随机取两个数分别作为函数中a，b的值，则该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．若直线是二次函数图象的对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A．一定等于B．有可能为0
C．该抛物线顶点的纵坐标最大为1D．在时，最大值为2
二、填空题
11．事件A是确定事件，那么事件A的概率是 ．
12．如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为 ．
13．现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 ．
14．如图，与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点C．若．
（1）圆心P的坐标为 ；
（2）点C的纵坐标为 ．
三、解答题
15．如图，现有甲、乙、丙、丁四个转盘，若转动一次，最终指针指向红色区域的可能性最大的是________，试说明理由．
16．如果k是随机投掷一个骰子朝上一面出现的数字（骰子六个面上分别标有1，2，3，4，5，6），求关于x的一元二次方程有两个不等实数根的概率．
17．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD8m，EM8m，求⊙O的半径．
18．如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形．
19．如图，在平面坐标系中，二次函数的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)若且与的面积比为，求k的值．
20．如图是正五边形，连接对角线，，设与相交于点O．
(1)写出图中的所有等腰三角形；
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
21．已知，分别与相切于点，，，为上一点．
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．
22．在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，求天平恢复平衡的概率．
23．已知抛物线经过点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合）．
①若，且，比较与的大小；
②当时，若是一个与无关的定值，求与的值．
《安徽省淮南市淮南西部地区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题》参考答案
1．A
【分析】本题考查的是事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件的分类判断即可．
【详解】解：∵数学书有多个页码，翻到第28页可能发生，也可能不发生，
∴该事件是随机事件．
故选A．
2．A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情况数，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，
∴小华获胜的概率是：=．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．D
【分析】根据随机抛掷一枚瓶盖次， “正面朝上”的次数为次可得“反面朝上”的次数，即可得．
【详解】解：∵随机抛掷一枚瓶盖次， “正面朝上”的次数为次，
∴“反面朝上”的次数为（次），
∴这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解题意，求出随机抛掷一枚瓶盖次“反面朝上”的次数．
4．C
【分析】根据“摸到黄球的可能性最大”，列出不等式组求解即可．
【详解】解：∵红球x个，白球个，黄球8个，摸到黄球的可能性最大，
∴，解得：，
∴布袋中白球可能有6个或7个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，事件发生的可能性，解题的关键是掌握只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等，以及解一元一次不等式组的方法和步骤．
5．B
【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种，
∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为．
故选：B．
6．C
【分析】根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．
【详解】解：A、不闭合开关，小灯泡一定不会发光，属于不可能事件，本选项不符合题意；
B、只闭合1个开关，小灯泡一定不会发光，属于不可能事件，本选项不符合题意；
C、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，本选项符合题意；
D、闭合3个开关，小灯泡一定会发光，属于必然事件，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了随机事件的分类，正确判断小灯泡能否发光是解题的关键．
7．B
【分析】根据直角三角板可求出斜边长，从而可求圆锥的母线，由直角边可求出底面圆的周长，从而可求解．
【详解】解：由题意得：
斜边为：，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转体与原图形之间的关系，圆锥的侧面积公式，掌握二者之间的关系和公式是解题的关键．
8．D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，特别是二次函数的对称轴以及利用函数的对称性来求解函数值．解题关键在于熟练利用二次函数图象的对称性找出二次函数的对称轴，再利用二次函数图象的对称性，找出与的关系．由确定二次函数的对称轴．分析与到对称轴的距离，判断它们关于对称轴对称的关系．根据二次函数图象的对称性，得出与的函数值关系，进而求出的值．
【详解】解：∵
∴对称轴
设点关于的对称点，
∴，
解得，
根据二次函数的对称性，
∴．
故选：D．
9．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据二次函数的性质得到，，，然后画树状图表示出所有等可能的结果数和使二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的情况数，然后根据概率公式求解．
【详解】∵函数
∴当时，
∴函数与y轴的交点坐标为
∴当该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限时，
∴开口向上，且对称轴在y轴右边，且与x轴有两个交点
∴，，
∴，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，满足，的结果数为4，
当，时，，符合题意；
当，时，，不符合题意；
当，时，，符合题意；
当，时，，不符合题意；
∴该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的情况有2种，
∴该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率．
故选：C．
10．B
【分析】本题考查二次函数的对称轴、顶点坐标、开口方向及与函数最大值，解决本题的关键是熟悉二次函数的性质．
首先求出二次函数与x轴的交点坐标为，，然后根据二次函数的对称轴为直线，得到，即可得到，即可判断A；根据得到此时二次函数与x轴只有一个交点，即二次函数的交点，即可判断B；根据题意得到二次函数与x轴一定有交点，然后结合图象开口向上即可判断C；根据题意得到当时，y随x的增大而增大，进而判断D即可．
【详解】解：∵二次函数
∴当时，即
解得，
∴二次函数与x轴的交点坐标为，
∵直线是二次函数图象的对称轴，
∴
∴，故A结论错误，不符合题意；
当时，即
∴此时二次函数与x轴只有一个交点，即二次函数的顶点在x轴上．
∴此时，符合题意，故B正确，符合题意；
∵二次函数与x轴的交点坐标为，
∴二次函数与x轴一定有交点
∵二次项系数为
∴图象开口向上
∴当二次函数与x轴只有一个交点时，二次函数的顶点在x轴上
∴此时该抛物线顶点的纵坐标最大为0，故C结论错误，不符合题意；
∵图象对称轴为直线，且开口向上
∴当时，y随x的增大而增大
∴当时，y随x的增大而增大
∴当时，y取得最大值，即，不一定等于2，故D结论错误，不符合题意．
故选：B．
11．0或1
【分析】本题考查了确定事件的定义．
确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．
【详解】解：事件A是确定事件，则事件A要么是必然事件，要么是不可能事件．
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，
因此事件A的概率是0或1．
故答案为：0或1．
12．20
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接，由切线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解；如图所示，连接，
∵与相切于点B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有4种，
∴甲出的卡片数字比乙大的概率是．
故答案为：
14． /
【分析】（1）连接，，，过点作于，于，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，由垂径定理得到，解直角三角形得到，，，即可求出圆心P的坐标；
（2）根据勾股定理得到的长，于是得到结论．
【详解】解：（1）连接，，，过点作于，于，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
∴圆心P的坐标为．
故答案为：；
（2）∵，
，
，
点的纵坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．丁，见解析
【分析】本题考查了求事件的概率，熟练掌握求简单事件的概率是解题的关键．分别求出甲、乙、丙、丁四个转盘各转动一次，指针指向红色区域的概率，比较计算结果的大小即可．
【详解】解：根据题意，，，，，
，
转动一次，最终指针指向红色区域的可能性最大的是丁．
故答案为: 丁．
16．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，求概率.
先求出k的取值范围，得到符合题意的数字，进而根据概率公式计算即可.
【详解】解：若一元二次方程有两个不等实数根，
则，且，
解得且，
则符合题意的数字为2，3，4，
故方程有两个不等实数根的概率．
17．⊙O的半径为5m．
【分析】根据垂径定理得EM⊥CD，求出CMDM4，在Rt中，由勾股定理得，进而可求得半径OC．
【详解】解：连接OC，如图所示：
∵M是⊙O弦CD的中点，CD8m，
∴EM⊥CD，CMDMCD4m，
设⊙O的半径为x m，
在Rt中，由勾股定理得：，
即，
解得：x5，
即⊙O的半径为5m．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
18．(1)作图见详解
(2)证明过程见详解
【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键．
（1）运用尺规作直径的垂直平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质结合题意得到，，即，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证．
【详解】（1）解：如图所示，
∵是直径，
∴运用尺规作直径的垂直平分线角于点，
∴点即为所求点的位置；
（2）证明：如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点分别是的中点，
∴，，即，
∴四边形是平行四边形．
19．(1)直线
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质．
（1）根据对称轴为直线计算即可；
（2）将二次函数化为顶点式，得到顶点，将代入得到，即，根据的面积，的面积，结合与的面积比为列方程求解即可．
【详解】（1）解：对称轴为直线；
（2）解：，
顶点
当时，
即，
，
的面积，的面积，与的面积比为，
，
解得：．
20．(1)，，，，
(2)四边形是菱形，见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，正多边形内角公式，菱形的判定．
（1）根据等腰三角形的定义可知，是等腰三角形，根据等边对等角及正多边形内角公式得到，同理可得，，根据角的和差及三角形内角和可知是等腰三角形，同理可得是等腰三角形，根据可知是等腰三角形；
（2）根据等边对等角及正多边形内角公式得到，即，得到，可知，同理可证，即四边形是平行四边形，根据即可证明．
【详解】（1）解：∵五边形是正五边形，
∴，
即，是等腰三角形，
∵，
，
同理可得，，
∴，
∴，
即，
∴，
即是等腰三角形，
同理可得是等腰三角形，
∵，
∴，
即是等腰三角形；
（2）解：四边形是菱形．
理由如下：，
，
又，
，
同理可证．
∴四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形．
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和等于360°计算；
（Ⅱ）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．
【详解】解：（Ⅰ）如图，连接．
∵是的切线，
∴，．
即．
∵，
∴在四边形中，．
∵在中，，
∴．
（Ⅱ）如图，连接．
∵为的直径，
∴．
由（Ⅰ）知，，
∴．
∴．
∵在中，，
∴．
又是的一个外角，有，
∴．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键
22．
【分析】本题考查了用列举法求事件的概率，熟练掌握用列举法求事件的概率是解题的关键．要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为，列表得出共有12种可能结果，其中使天平恢复平衡的有4种，即可根据概率的计算公式求解．
【详解】解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为，
列表如下：
共有12种可能结果，其中使天平恢复平衡的有4种，
天平恢复平衡的概率为．
23．(1)
(2)①；②，
【分析】本题考查了求抛物线的对称轴、代数式的大小比较、定值问题的代数分析，将点代入抛物线解析式求参数关系、利用等式恒成立分析系数是解题的关键．
（1）将已知点代入抛物线解析式，得到和的关系，代入对称轴公式即可；
（2）①代入确定解析式，与作差，根据判断差值为正，得出；②代入、到，化简得，变形得，代入拆分为，由 “定值” 得，解得，结合得．
【详解】（1）解：由题意得，将点代入得，，即，
所以，
故所求抛物线的对称轴是直线；
（2）解：①当时，由（1）得，故抛物线的解析式为，
又，故，
因为抛物线过原点，且点与原点不重合，所以，
∴，故；
②由题意知，，，
，
∴，
因为两条抛物线均过原点，且，与原点都不重合，所以，，
故，即，
，
依题意知，是与无关的定值，
则，解得，
经检验，当时，是一个与无关定值，符合题意，
所以，．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
C
B
C
B
D
C
B
10
20
30
40
10
30
40
50
20
30
50
60
30
40
50
70
40
50
60
70