安徽省阜阳市2025--2026学年上学期九年级第三次联考数学试卷

这是一份安徽省阜阳市2025--2026学年上学期九年级第三次联考数学试卷，共31页。
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4 页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列成语描述的事件中，是必然事件的是（ ）
A. 瓮中捉鳖B. 水中捞月C. 守株待兔D. 百步穿杨
2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 边长为2的正六边形的边心距为（ ）
A 1B. 2C. D. 2
4. 若的直径为12，直线l上有一点P满足，则直线与的位置关系是（ ）
A. 相切B. 相离C. 相离或相切D. 相切或相交
5. “先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”是《岳阳楼记》中的名句．在这句话中，“乐”字出现的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，正五边形内接于，连接，，则度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若△的周长为12，则的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
8. 如图，在所给的电路图中，同时闭合两个开关能让小灯泡发光的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 若点，和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在矩形中，，，点，分别是，边上点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知圆弧所在圆的半径为6，所对的圆心角为，这条弧长为__________．
12. 某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中心区域，现将其平时训练的结果统计如下：
估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为______．（结果保留小数点后一位）
13. 如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（点E 不与点A，B 重合），交于点 F．以点O为圆心，长为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为__________．
14. 如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧）．
（）__________；
（）点的坐标为，点在抛物线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ．当点落在轴正半轴上时，点的坐标为________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知代数式和的值相等，求的值．
16. 在平面直角坐标系中，已知△的三个顶点坐标分别为、、．
（1）画出△关于原点的中心对称图形△，并写出点坐标；
（2）请用无刻度直尺作出中边上的中线，并保留作图痕迹．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，是的直径，是弦，，垂足为点E，连接，，，求的面积．
18. 如图，二次函数的图象的对称轴为直线，与直线相交于点和点，其中点在轴上．
（1）求该二次函数的顶点坐标；
（2）当时，根据图象写出的取值范围．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知抛物线．
（1）求证：不论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）若该抛物线与轴两交点为和，且，求的值．
20. 一次访谈活动，主办方邀请9名学生参加活动，在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有学生入座的椅子．
（1）如图1，如果有两名学生入座，又有一名学生随机入座，则这三名同学刚好在同一直线上的概率为_________；
（2）如图2，如果有五名学生入座（剩余座位分别记为A，B，C，D），又有甲、乙两名同学随机入座，请用树状图或列表法求甲和乙坐在同一横排且相邻概率．
六、（本题满分12分）
21. 已知四边形内接于，为的直径，点 E 是 延长线上一点，连接，，

（1）如图1，若交 于点F， ，求 和的大小；
（2）如图2，若与相切于点C，过点A 作，交 的延长线于点P，与相交于点 D．若，求的长．
七、（本题满分12分）
22. 中秋期间，为了解同学们对市场上不同种月饼的喜爱情况，学校的实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：
八、（本题满分14分）
23. 如图1，抛物线（a，b常数且a≠0）与x轴交于点A和点B，点A位于原点左侧，点B位于原点右侧，与y轴交于点C，连接，，已知．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若是该抛物线的对称轴，点D是抛物线的顶点，点P是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．
（i）如图2，连接，，若的面积为3，求点P的坐标；
（ii）如图3，设与交于点G，连接，求的最大值．投掷次数
20
40
100
200
400
1000
“投掷到中心区域”的频数
15
34
88
184
356
910
“投掷到中心区域”的频率
0.75
0.85
0.88
0.92
0.89
0.91
关于学校学生对不同品种月饼喜爱情况的调查报告
数据收集
调查方式
抽样调查
调查对象
学校九年级部分学生
数据的整理与描述
品种
：莲蓉月饼
：五仁月饼
：豆沙月饼
：水果月饼
：冰皮月饼
数据分析及应用
（1）扇形统计图中， ，请补全条形统计图；
（2）该学校总人数为人，请你估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼的总人数；
（3）甲、乙两位同学根据调查的数据，发现，，三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用画树状图法求出他们恰好选择同一种月饼的概率．
九年级数学
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4 页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列成语描述的事件中，是必然事件的是（ ）
A. 瓮中捉鳖B. 水中捞月C. 守株待兔D. 百步穿杨
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类．
必然事件指一定发生的事件．瓮中捉鳖比喻事情必然成功；水中捞月不可能发生；守株待兔和百步穿杨是随机事件，非必然．
【详解】解：必然事件是概率为1的事件．
A．瓮中捉鳖：鳖在瓮中，捉取必然成功，是必然事件；
B．水中捞月：月亮不在水中，捞取不可能成功，是不可能事件；
C．守株待兔：是随机事件；
D．百步穿杨：是随机事件；
故选：A．
2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义和图案特点即可解答．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
C、是中心对称图形，故选项正确，符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
3. 边长为2的正六边形的边心距为（ ）
A. 1B. 2C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用勾股定理即可求出．
【详解】解：连接OA，作OM⊥AB，垂足为M，连接OB，
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴△AOB是等边三角形
∴∠AOM=30°，AO=AB
∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AM=AB=×2=1，OA=2．
∴正六边形的边心距是OM=
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的计算，正多边形的计算常用的方法是转化为直角三角形的计算．
4. 若的直径为12，直线l上有一点P满足，则直线与的位置关系是（ ）
A. 相切B. 相离C. 相离或相切D. 相切或相交
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和相交；②直线l和相切；③直线l和相离分垂直于直线l，不垂直于直线l两种情况讨论．
【详解】解：当垂直于直线l时，即圆心O到直线l距离，与l相切；
当不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离，与直线l相交．
故直线l与的位置关系是相切或相交．
故选：D．
5. “先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”是《岳阳楼记》中的名句．在这句话中，“乐”字出现的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，由先天下之忧而忧，后天下之乐而乐一共有14个字，其中“乐”有2个，然后根据概率公式计算概率即可，
【详解】解：根据概率计算方法可得：“乐”字出现的概率是：，
故选：C．
6. 如图，正五边形内接于，连接，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正多边形内角问题，圆内接正多边形，圆周角定理．
根据正多边形内角公式求出，连接，则，根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵正五边形，
∴，
连接，
则，
∴．
故选：A．
7. 如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若△的周长为12，则的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将△的周长转化为与相关的表达式来求解．本题可根据切线长定理，将△的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长．
【详解】解：由题意可得：．．
同理，，是的切线，切点分别为，，
．
．
．
又，
．
△的周长为12，即，
，可得，
解得．
故选：B．
8. 如图，在所给的电路图中，同时闭合两个开关能让小灯泡发光的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率的知识．根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：设分别用1、2、3、4表示，
画树状图得：
由树状图可知能够让灯泡发光的概率为：，
故选：C．
9. 若点，和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质．
由二次函数解析式可得对称轴为直线，且开口向下，故距离对称轴越近的点函数值越大，比较各点横坐标与对称轴的距离即可．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且，
∴抛物线开口向下．
∵点，
∴点B到对称轴的距离为，点C到对称轴的距离为，点A到对称轴的距离为．
∵开口向下，
∴距离对称轴越近，函数值越大．
∴，
即．
故选：B．
10. 如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，最短路径．
由直角三角形斜边上中线的性质可得，可知点的轨迹为：以为圆心，为半径的圆弧（一部分），作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长，根据勾股定理可得，即可得的最小值．
【详解】解：，点为的中点，
，
点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧（一部分），
作关于的对称点，连接，交于，当为与的交点时，的值最小，最小值为的长，
，，
，
在中，，
，
的最小值为，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知圆弧所在圆的半径为6，所对的圆心角为，这条弧长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查弧长公式．根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：弧长为：．
故答案为：．
12. 某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中心区域，现将其平时训练的结果统计如下：
估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为______．（结果保留小数点后一位）
【答案】0.9
【解析】
分析】根据当实验次数较多时，可以用频率估计概率解答即可．
【详解】解：根据表中信息可知，当实验次数越来越多时，估计冰壶“掷到中心区域”的概率为0.9．
故答案为：0.9．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值就是概率，解决本题的关键是掌握利用频率估计概率．
13. 如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（点E 不与点A，B 重合），交于点 F．以点O为圆心，长为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了扇形面积公式、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握扇形面积公式和正方形的性质是解题的关键．
求出，证明，则，由即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
14. 如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧）．
（）__________；
（）点的坐标为，点在抛物线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ．当点落在轴正半轴上时，点的坐标为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（）根据抛物线与轴相交于，两点，求出当时对应的的值即可得出答案；
（）如图，过点作轴于点、作轴于点，证明四边形是矩形得，根据旋转的性质得，，证明得，，推出四边形是正方形，继而得到，设，解方程，确定，再由可得答案．
【详解】解：（）∵抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧）
当时，得：，
解得：，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（）如图，过点作轴于点、作轴于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点的坐标为，点在抛物线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ，且点落在轴正半轴上，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
设，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点及函数图像上点的坐标特征，旋转的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形等知识点，掌握函数图像上点的坐标特征、旋转的性质及特殊平行四边形的判定和性质是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知代数式和的值相等，求的值．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程的应用．先根据题意得出方程，再求出方程的解即可．
【详解】解：根据题意，得，
整理，得，移项，得，
配方，得，即，
开平方，得或，
解得，．
16. 在平面直角坐标系中，已知△的三个顶点坐标分别为、、．
（1）画出△关于原点的中心对称图形△，并写出点坐标；
（2）请用无刻度直尺作出中边上的中线，并保留作图痕迹．
【答案】（1）作图见解析，点的坐标为
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图旋转变换，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
（2）取的中点，连接即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
由图可得，点坐标为．
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，是的直径，是弦，，垂足为点E，连接，，，求的面积．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据是的直径，是弦，，得出，再运用勾股定理列式，代入数值计算，得出半径是，再运用三角形的面积公式列式进行计算，即可作答．
【详解】解：连接，
∵
∴，
设的半径为r，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
18. 如图，二次函数的图象的对称轴为直线，与直线相交于点和点，其中点在轴上．
（1）求该二次函数的顶点坐标；
（2）当时，根据图象写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）求出点的坐标，结合二次函数的对称轴即可求解；
（2）根据图象即可解题．
【小问1详解】
解：在中，当时，，
∴，
把点代入二次函数，得，
∵该抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得，
∴该二次函数的解析式为：，
∴该二次函数的顶点坐标为；
小问2详解】
解：当时，根据图象知的取值范围为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知抛物线．
（1）求证：不论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）若该抛物线与轴两交点为和，且，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系：
（1）证明一元二次方程中即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出和，根据列等式即可求解．
小问1详解】
证明：令，
，
，
，
有两个不相等的实数根，
不论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点；
【小问2详解】
解：该抛物线与轴两交点为和，
是一元二次方程的两个根，
，，
，
，
解得
20. 一次访谈活动，主办方邀请9名学生参加活动，在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有学生入座的椅子．
（1）如图1，如果有两名学生入座，又有一名学生随机入座，则这三名同学刚好在同一直线上的概率为_________；
（2）如图2，如果有五名学生入座（剩余座位分别记为A，B，C，D），又有甲、乙两名同学随机入座，请用树状图或列表法求甲和乙坐在同一横排且相邻的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
（1）根据图形，结合题意，根据概率公式直接求解即可；
（2）根据图形，结合题意，列表法求概率即可．
【小问1详解】
解：如图1，共有7个空位置，只有当坐在第3排第2列的那个位置时，符合题意，则这三名同学刚好在同一直线上的概率为；
故答案为：
【小问2详解】
解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙坐在同一横排且相邻的共有4种等可能的结果，
∴．
六、（本题满分12分）
21. 已知四边形内接于，为的直径，点 E 是 延长线上一点，连接，，

（1）如图1，若交 于点F， ，求 和的大小；
（2）如图2，若与相切于点C，过点A 作，交 的延长线于点P，与相交于点 D．若，求的长．
【答案】（1），
（2）的长为8
【解析】
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据三角形的外角的性质可求出；再根据直径所对的圆周角是直角得，再由直角三角形两锐角互余可得；
（2）连接，过O作，得，再证明四边形是矩形，再由勾股定理去求解即可．
【小问1详解】
解：如图1，连接．
∵四边形内接于，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵为的直径，
∴．
∴．
【小问2详解】
解：如图2，连接，过点作于点，
则．
∵与相切于点，
∴．
∵，交的延长线于点，与相交于点，
∴．
∴四边形是矩形．
∴．
∵为的直径，，
∴．
∴．
在中，．
∴，
即的长为8．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，圆内接四边形性质，切线的性质，三角形外角性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 中秋期间，为了解同学们对市场上不同种月饼的喜爱情况，学校的实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：
【答案】（1），补全条形统计图见解析；（2）估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼的总人数为人；（3）．
【解析】
【分析】本题考查了样本容量，圆心角的计算，画条形统计图，频数的计算，利用画树状图求解随机事件的概率，通过样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解题的关键．
（1）根据频数除以所占百分比等于样本容量，再求解圆心角的度数；根据频数之和等于样本容量，确定组的人数，完善统计图即可；
（2）利用样本估计总体的思想，计算解答即可．
（3）画树状图，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得（人），，故;
喜欢豆沙月饼的人数为：（人）;
补全条形统计图如图所示．
（2）解：根据题意，得（人）．
答：估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼的总人数为人．
（3）由题意，画树状图如下：
由树状图可知，一共有种等可能的结果，其中两位同学选择同一种月饼有种可能的结果．
（甲、乙两同学选择同一种月饼）．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，抛物线（a，b是常数且a≠0）与x轴交于点A和点B，点A位于原点左侧，点B位于原点右侧，与y轴交于点C，连接，，已知．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若是该抛物线的对称轴，点D是抛物线的顶点，点P是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．
（i）如图2，连接，，若的面积为3，求点P的坐标；
（ii）如图3，设与交于点G，连接，求的最大值．
【答案】（1）
（2）（i）点的坐标为；（ii）最大值为3
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，三角形面积的计算，理解二次函数的性质、正确计算是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）（i）先求出的解析式，过点作轴交于点．设点，则点．根据公式求解即可；（ii）先求直线的解析式，设直线交于点，设点，然后求出直线的解析式为，最后根据，利用二次函数的性质求出最大值．
【小问1详解】
解：在抛物线中，
当时，，即点，
∴，
∵，
∴，
∴点，点，
∴抛物线将点代入，得，解得，
∴抛物线的解析式为，即；
【小问2详解】
解：（i）设所在直线的解析式为，
把点代入，得解得，
∴直线的解析式为，
如答图1，过点作轴交于点，
设点，则点，
∴，
由题意，得，
整理，得．解得（舍去）或，
∴，
∴点的坐标为；
（ii）由抛物线知，顶点的坐标为，
由（i）知直线的解析式为，则点，
∴，
如答图2，设直线交于点，设点，
由直线经过点，可设直线的解析式为，
把点代入，得，
解得（舍去）或，即，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
∴，
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为3．
投掷次数
20
40
100
200
400
1000
“投掷到中心区域”的频数
15
34
88
184
356
910
“投掷到中心区域”的频率
0.75
0.85
0.88
0.92
0.89
0.91
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
关于学校学生对不同品种月饼喜爱情况的调查报告
数据收集
调查方式
抽样调查
调查对象
学校九年级部分学生
数据的整理与描述
品种
：莲蓉月饼
：五仁月饼
：豆沙月饼
：水果月饼
：冰皮月饼
数据分析及应用
（1）扇形统计图中， ，请补全条形统计图；
（2）该学校总人数为人，请你估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼的总人数；
（3）甲、乙两位同学根据调查的数据，发现，，三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用画树状图法求出他们恰好选择同一种月饼的概率．