2023-2024学年安徽省阜阳市九年级上册第二次联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省阜阳市九年级上册第二次联考数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．下列标志图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．B．C．D．
3．把抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知点为上一点，平分弦，连接．若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
5．在一只不透明的口袋中放入除颜色外规格完全相同的白球个，黑球8个，黄球4个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是白球的概率为，则的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．如图，在中，已知，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，交于点．若，则的度数是（）

A．B．C．D．
7．如图，已知⊙O的半径为是直径，是弦，是的中点，连接分别与交于点，若点是的中点，则的长是（ ）
A．7B．6C．4D．3
8．如图，在正方形中，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为（ ）
A．2．5B．3C．D．4
9．已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为（ ）
A．B．或C．或D．
10．已知是边长为3的等边三角形，的半径为是上一动点，分别切于点的另一条切线交于点，则周长的取值范围是（ ）

A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入的较小值为 ．
12．已知点与点关于原点对称，则的值为 ．
13．如图，在矩形中，，点分别是边上的两点，连接，以为直径的半圆分别与矩形的另外两边相切，则图中阴影部分的周长为 （结果保留）
14．已知二次函数的顶点在第一象限．
（1）点的坐标是 ．（用含的式子表示）
（2）若抛物线与轴交于两点，连接，则的值是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程：．
16．如图，在的网格中，点及的顶点均在网格的格点上．

(1)将绕点逆时针旋转得到，请画出；
(2)若与关于点成中心对称，请画出．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在正方形中，，点为延长线上一点，连接，且，把绕点逆时针旋转至的位置，点恰好落在边上，求线段的长．
18．小明将四张正面分别标有数字，，，的卡片（除数字外其他都相同）置于暗箱内摇匀，从中随机抽取两张，求所抽卡片上的数字至少有一个是方程的解的概率．
五、（本大题共2小题，每小题10分，㴖分20分）
19．已知抛物线是常数，经过三点，且．
(1)求证：；
(2)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的取值范围．
20．如图，点O为斜边上的一点，以为半径的⊙O与交于点D，与交于点E，连接，且平分
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积（结果保留π）．
六、（本题满分12分）
21．2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会正式开幕．吉祥物“小喜”，以合肥市鸟喜鹊为原型，活泼可爱、神情欢快，突出了地域特色，也体现了合肥开放包容、热情友好的城市气质．某商家新开发了一款“小喜”玩偶套装，每套成本为元，规定销售单价不低于成本且不高于元，且为整数．销售一段时间发现，每天的销售量y（套）与售价x（元/套）满足一次函数关系，部分数据如表所示．
(1)请求出y与x之间的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为元，那么售价应定为每套多少元？
(3)若要使每天销售所得利润不低于元，请写出所能确定的售价x的值．
七、（本题满分12分）
22．如图，在⊙O中，为直径，于点，点为⊙O上一点，点关于的对称点恰好在直径上，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若⊙O的半径为2，，求劣弧的长；
(3)若，求的长．
八、（本题满分14分）
23．如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，直线与抛物线交于点M，N（点M在点N的右侧），交y轴于点P．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若，点M，N均在第一象限，且的面积为3，求k的值；
(3)若，且点M在第四象限，直线交y轴于点Q，求的取值范围．
参考答案与解析
1．B
【分析】此题考查轴对称图形和中心对称图形的概念：一个图形沿着一条直线翻折后，直线两侧部分能完全重合的图形是轴对称图形；将一个图形绕一点旋转180度后能与自身完全重合的图形是中心对称图形，根据概念直接判断．
【详解】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；
B. 是中心对称图形，是轴对称图形，故符合题意；
C. 不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
D. 不是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为，把原方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式即可得到答案．
【详解】解：
，
∴将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为，
故选B．
3．C
【分析】此题考查二次函数图象的平移，二次函数图象的性质，先确定原抛物线的顶点坐标，根据平移得到平移后抛物线的顶点坐标，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，
所得抛物线的顶点坐标为，即，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，根据平分弦，得到，结合，得到，结合等腰三角形的性质计算即可．
【详解】，∵平分弦，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选A．
5．C
【分析】本题考查已知概率求数量，根据概率公式列分式方程，解方程即可．
【详解】解：由题意知：，
化为整式方程，得，
解得，
经检验，是分式方程的解，
故的值为6，
故选C．
6．B
【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
由旋转的性质可知，由三角形内角和定理可算出，由，可算出，由三角形内角和即可求解．
【详解】解：由旋转的性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
7．B
【分析】连接，由垂径定理证明垂直平分，由点O和F分别是、的中点得到，，再证明，得到，则，由即可得到的长．
此题考查了垂径定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握垂径定理和三角形中位线定理是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵是的中点，连接，
∴垂直平分，
∵点O和F分别是、的中点，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵⊙O的半径为，
∴，
∴，
故选：B
8．D
【分析】过点G作，垂足为H，可得，根据正方形的性质可得，根据旋转的性质可得，然后利用同角的余角相等可得，从而可证，进而可得，最后可得点G在与平行且与的距离为的直线上，从而可得当点G在边上时，的值最小，进行计算即可解答；
【详解】解：过点G作，垂足为H，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
由旋转得：，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴点G在与平行且与的距离为1的直线上，
∴当点G在边上时，最小且，
∴的最小值为4，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查一次函数与x轴交点问题，二次函数图象性质，二次函数的最值．根据二次函数的图象与轴最多有一个公共点，得，求得，再根据的最小值为3，分类讨论，求出t值即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴最多有一个公共点，
∴
化简得
解得：，
∵，
∵，抛物线开口向上，
当时，∵，y随m增大而增大，
∴时y值最小，此时最小值为
∵的最小值为3，
∴
解得：；
当时，
当时，y有最小值
∵的最小值为3，
∴
此时t无解；
当时，∵，y随m增大而减小，
∴ ，y值最小，此时最小值为
∵的最小值为3，
∴
解得（舍去）；
综上，若的最小值为3，则．
故选：D．
10．C
【分析】连接，，根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得，根据垂线段最短可得，当时，最小，求出最小值为，当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时，即可得出，从而可求得l最大与是最小值，即可得出答案．
【详解】解：连接，，设切于G，

∵，分别是的切线，
∴，
∵是的切线，
∴，，
∴，
∴周长，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，l最小，当最大时，l最大；
根据垂线段最短可得，当时，最小，
∵是边长为3的等边三角形，，
∴，
由勾股定理得：，
当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，垂线段最短．根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得，以及当时，最小，点D与点B（或C）重合时，AD最长是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了程序类的有理数混合运算、求一个数的平方根：依题意，列式，化简计算，即可作答．
【详解】解：依题意，得
即或
∴输入的较小值为
故答案为：
12．
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解二元一次方程方程组，负整指数幂运算，先根据关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称，它们的横坐标、纵坐标各互为相反数，得到方程组，解之求出m、n的值，代入算式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
13．##
【分析】设中点为，半圆与相切于点，与相切于点，连接并延长，交于点，连接，设半圆的半径为，即，由切线的性质可得，，易得四边形，，，均为矩形，，，在中，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，在中，由勾股定理可列式并求解可得，再进一步确定，，得答案．
【详解】解：如下图，设中点为，半圆与相切于点，与相切于点，连接并延长，交于点，连接，

即点为半圆圆心，
设半圆的半径为，即，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∵半圆与相切于点，与相切于点，
∴，，
∴，，
∴四边形均为矩形，
∴，，，
∵，，
∴，，
在中，中点为，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
整理可得，
解得，（不合题意，舍去），
∴，，，
∴，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、切线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．
14． ##
【分析】本题考查了二次函数的顶点式、对称性等知识点，熟记相关结论是解题关键．（1）将一般式配成顶点式即可求解；（2）令，求出点的坐标；根据条件可得是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：（1）
顶点的坐标为．
（2）∵二次函数的顶点在第一象限．
∴
解得：
当时，，解得
∴点的坐标为，．
由抛物线的对称性可知，
是等腰直角三角形，
，
解得（舍去），，
即的值为．
故答案为：①；②
15．，
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法即可求解，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：移项，得，
配方，得，
即，
开平方，得，
解得：，．
16．(1)作图见解析；
(2)作图见解析．
【分析】（）根据旋转的性质找到点的对应点，连接，则即为所求；
（）根据中心对称图形的性质，分别找到点的对应点，顺次连接，则即为所求；
本题考查了旋转作图，作中心对称图形，掌握旋转的性质和中心对称图形的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）解：如图，即为所求．

17．
【分析】本题考查图形变换之旋转几何题，理解旋转前后图形全等，再结合“所对的直角边等于斜边的一半”和勾股定理，即可解题．
【详解】解：把绕点逆时针旋转至的位置，
，，
，，
即为等腰直角三角形．
又，
，
．
，
，即，
，
．
18．
【分析】本题主要考查概率的计算和一元二次方程解的综合题目，首先去解这个方程，找到满足条件的情况，再用树状图法计算总的情况数量，最后利用概率公式去计算求解．
【详解】解：，
得，
解得，；
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所抽卡片上的数字至少有一个是方程的解的结果有，，，，，，，，，共种；
所抽卡片上的数字至少有一个是方程的解的概率为．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一元二次方程与二次函数，一元二次方程根与系数的关系．
（1）由可判断抛物线与轴的负半轴有交点，根据抛物线与x轴的交点位置可判断抛物线开口向下，即，把代入抛物线，变形得，根据可得．
（2）根据方程有两个相等的实数根，得到．把代入抛物线，得，从而，因此，即．由在抛物线上，可得为方程的两个根，根据根与系数的关系得到因此，求得．
【详解】（1）∵抛物线经过
∴抛物线与轴的负半轴有交点．
假设抛物线的开口向上，则抛物线与轴的交点都在的左侧．
又
∴抛物线与轴的一个交点一定在或的右侧，
抛物线的开口向上不成立，即抛物线的开口一定向下，
．
把代入抛物线，得，即．
．
∴
（2）由方程变形，得．
方程有两个相等的实数根，
．
把代入抛物线，得，
，
∴，即，
，
，即．
在抛物线上，
为方程的两个根，
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用角平分线和半径之间关系推出，结合得，根据切线的判定推出即可；
（2）连接、，由题干得为等边三角形，利用半径相等得四边形是菱形，得出阴影部分的面积=扇形的面积，求出扇形的面积即可．
【详解】（1）证明：连接，如图
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即
∴，
∵是⊙O的半径，
∴是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接，，交于点M，

∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
又由（1）知，，即，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
，
∴，
∴
【点睛】本题考查圆与三角形的结合，利用等角对等边、角平分线、圆的切线、等边三角形的判定和性质、平行四边形以及菱形的判定和性质，并熟练掌握扇形面积公式．
21．(1)
(2)售价应定为每套元
(3)所能确定的售价的值为
【分析】本题考查了一次函数、二次函数、一元二次方程在实际问题中的应用，掌握数学中的“建模”思想是解题关键．
（1）设每天的销售量（套）与售价（元/套）之间的函数关系式为，将表格数据代入即可求解；
（2）根据题意得，解方程即可求解；
（3）设每天销售所得利润为元，确定与x之间的函数关系式，根据函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设每天的销售量（套）与售价（元/套）之间的函数关系式为．
把代入得
解得：
与之间的函数关系式为．
（2）解：根据题意得，
解得．
规定销售单价不低于成本且不高于元，
．
答：售价应定为每套50元．
（3）解：设每天销售所得利润为元．
根据题意得，
是关于的二次函数．
∴抛物线开口向下．
由（2）知，当时，或，
当时，．
又销售单价不低于成本且不高于52元，且为整数，即，
，且为整数，
所能确定的售价的值为．
22．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由垂径定理可得垂直平分，可推出；由轴对称可得垂直平分，可推出．即可求证；
（2）连接，根据求出，进而可得，据此即可求解；
（3）由垂径定理可得，设在中可得，在中根据可求出；最后在中即可求解.
【详解】（1）证明：为直径，，
点关于的对称点恰好在直径上，
是等边三角形．
（2）解：如图，连接．
，
，
．
为直径，，
．
又的半径为
劣弧的长为．
（3）解：为直径，
设
．
在中，由勾股定理得．
在中，由勾股定理得
解得（负值舍去），
，即．
是等边三角形，
在中，由勾股定理得．
【点睛】本题以圆为几何背景，考查了垂径定理、弧长的求解、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点．熟记相关几何结论是进行几何推理的关键．
23．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合，熟练掌握一次函数和二次函数的性质是解题的关键．
（1）先利用待定系数法求解二次函数的解析式，然后化为顶点式，再直接写出顶点坐标即可；
（2）由抛物线解析式求出C点坐标，然后联立一次函数和二次函数解析式，利用根与系数关系列出方程组求解即可；
（3）先利用一次函数的性质求出，然后联立一次函数和二次函数解析式，利用根与系数关系求出，即可求解．
【详解】（1）解：把，代入中，得，
解得，
抛物线的解析式为，
即抛物线的解析式为，顶点坐标为．
（2）解：由抛物线的解析式为可知，，．
，
直线，
，
，
．
联立得整理，得，
由根与系数的关系，得，．
联立，得解得或（舍去），
．
（3）解：，
直线，
直线过定点．
，
直线必过点B．
又点在第四象限，
点N与点B重合，点Q与原点O重合．
，，
，，
．
联立，得整理，得，
由根与系数的关系，得，解得．
点M在点N点B的右侧，
，
，
即的取值范围为．
售价x（元/套）
…
35
40
45
…
每天销售量y（套）
…
90
80
70
…