专题01+三角形+10大高频考点（期末真题汇编，浙江专用）八年级数学上学期+答案

这是一份专题01+三角形+10大高频考点（期末真题汇编，浙江专用）八年级数学上学期+答案，文件包含专题01三角形10大高频考点期末真题汇编浙江专用八年级数学上学期原卷版docx、专题01三角形10大高频考点期末真题汇编浙江专用八年级数学上学期解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
考点02 全等三角形的性质
考点03 全等三角形的判定；确定唯一三角形
考点04 三角形的有关计算
考点05 尺规作图及其应用
考点06 角平分线、线段的垂直平分线
考点07 网格问题
考点08 第1章三角形的综合应用
考点09 新定义题；动态几何题
考点10 解答题
地 城
考点01
概念综合辨析
1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形不稳定，进行判断即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形不稳定，
∴不容易变形的是：
故选D．
2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形三边关系，掌握两边之和大于三边，两边之差小于第三边，属于基础题．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．
【详解】解：设第三边为x，则，
∴
所以第三边长可能是4．
故选：D．
3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）能说明命题“对于任意实数，都有”是假命题的反例是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了假命题的反例，绝对值的性质，
根据时，判断是否成立即可解答．
【详解】解：当时，，所以该命题是假命题．
故选：C．
4．（24-25八年级上·浙江金华·期末）在中，作边上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．
【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E，
纵观各图形，D选项符合高线的定义，
故选：D．
5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）若证明命题：“对于任意实数恒成立”是假命题，只需要举一个反例，则这个反例可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查假命题的判定，举反例，熟练掌握假命题的判定方法：举一个符合命题的条件，不满足结论即判定是假命题是解题的关键．
把各选项数据分别代入等式左右两边计算，再比较即可求解．
【详解】解：A、若，，则，，
所以成立，故此选项不符合题意；
B、、若，，则，，
所以成立，故此选项不符合题意；
C、若，，则，，
所以成立，故此选项不符合题意；
D、若，，则，，
所以不成立，故此选项符合题意；
故选：D．
地 城
考点02
全等三角形的性质
1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理，结合图形，根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”，则图中两个三角形长为的边所对的角相等，根据图中已知两角的度数，结合三角形的内角和为，计算角度，选择答案即可．
【详解】解：∵图中的两个三角形是全等三角形，是长为的边所对的角，
∴，
故选：C．
2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，已知，，则 度．
【答案】55
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得，结合已知角可得，再利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
则，
故答案为：55．
3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，，若，则长度为 ．
【答案】6
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质．关键是掌握全等三角形的对应边相等．
根据全等三角形的性质可得，进而可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：6．
4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用；根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】解：∵，，
∴
又∵，
∴
故选：C．
地 城
考点03
全等三角形的判定；确定唯一三角形
1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明利用全等三角形的知识测量河流的宽度，设计了如图所示的方案．在河边选了一点，然后在的延线上找一点，使，在点沿与河边垂直的方向直走到点，观察到A，O，D，三点在同一直线上．测得的长，就是河流的宽度，小明这种测量方法的原理是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
故选C．
2．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是熟悉三角形的判定定理，看那块可以符合全等三角形的条件．
【详解】解：两角一夹边对应相等，两个三角形全等，
带③去就可以，
故选：C．
3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，分别是位于线段两侧的点，连接，则下列条件中，与相结合无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了全段时间的判定，根据全等三角形的判定方法进行判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：、添加，根据，能判定，故该选项不合题意；
、添加，不能判定，故该选项符合题意；
、添加，根据，能判定，故该选项不合题意；
、添加，根据，能判定，故该选项不合题意；
故选：．
4．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在和中，，添加下列哪个条件，不能使的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据三角形全等的判定方法：、、、、即可判定得到结果，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．
【详解】解：∵，，
A、添加，根据能判定，故本选项不符合题意；
B、添加，根据能判定，故本选项不符合题意；
C、添加，不能判定，故本选项符合题意；
D、添加，根据能判定，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知点在上，，，添加一个条件，使．你所添加的条件是 ．（只需写一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查全等三角形的判定．根据得，由，得，因此，只要再添加一组对应角相等即可．
【详解】解：
即
因此，只要再添加一组对应角相等即即可，
证明如下：
在和中
（ASA）．
故答案为：．
6．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，连接，取，连接，下列条件中不一定能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质．根据全等三角形的判定定理，逐项判断，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
A、若添加，利用边角边判定，故本选项不符合题意；
B、若添加，满足边边角，不能判定，故本选项符合题意；
C、若添加，
∵，，
∴，利用角角边判定，故本选项不符合题意；
D、若添加，利用角角边判定，故本选项不符合题意；
故选：B
7．（23-24八年级上·浙江台州·期末）下列数据不能确定形状和大小的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据三角形全等的判定方法可对各选项进行判断．
【详解】解：A、，符合“”，所以能确定形状和大小，故此选项不符合题意；
B、，符合“”，所以能确定形状和大小，故此选项不符合题意；
C、，根据三个角相等不能能判定两三角形全等，所以不能确定形状和大小，故此选项符合题意；
D、，符合“”，所以能确定形状和大小，故此选项不符合题意；
故选：C．
8．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ）
A．， B．，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．由全等三角形的判定方法，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、C选项中的条件没有边的长度，因此不能画出唯一的，故A、C不符合题意；
B选项只是知道两边的长度，不能画出唯一的；
D．已知两角和这两角的夹边，能够画出唯一的，故D符合题意．
故选：D．
地 城
考点04
三角形的有关计算
1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，，则等于 度．
【答案】70
【分析】本题主要考查三角形的外角性质，直接利用三角形的外角性质进行求解即可．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
故答案为：70．
2．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，和分别是的角平分线和高线，已知，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理．先求出，的度数，根据平分线平分角求出，再利用进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵和分别是的角平分线和高线，
∴，，
∴，
∴；
故选：A．
3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，E为的中点．若，，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，由题意可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
4．（24-25八年级上·浙江·期末）一副三角板，如图叠放在一起，则图中的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．根据三角形外角的性质即得答案．
【详解】，，
．
故答案为：．
5．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，平分，若，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理和三角形的外角，解题的关键是能熟记全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．全等得到，外角的性质，求出，进而求出，三角形的内角和定理，求出，即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故选B．
6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，的面积为，平分，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义及三角形面积，延长交于，证明，得到，，进而得到，由此得到，即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：延长交于，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
地 城
考点05
尺规作图及其应用
1．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，P；作一条射线，以点F圆心，长为半径作弧l，交于点H；以H为圆心，长为半径作弧，交弧于点Q；作射线．这样可得，其依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得出，，利用证明，根据全等三角形的性质即可得出．
【详解】解：如图，连接，，
根据题意得，，，
在和中，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）小吴在数学实践课上用直尺和圆规作图（如图所示）．已知，，根据尺规作图痕迹，可求得的周长是（ ）
A．24B．17C．22D．19
【答案】B
【分析】本题考查了线段的垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线作法和性质，三角形周长计算，是解题的关键．
根据作图可知垂直平分，得，即得．
【详解】解：由作图知，垂直平分，
∴，
∵，，
∴的周长：．
3．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）根据如图所示的尺规作图痕迹，下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据尺规作图痕迹可得是的角平分线，是的垂直平分线，从而可以证明A，得到，可证明C，进而证明即可判断D．
【详解】解：
根据尺规作图痕迹可得：是的角平分线，是的垂直平分线，
∴，故A正确；，
∴，
∴，
∴，故C正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故D正确；
根据条件无法判断B；
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质，线段平分线的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识是关键．
4．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点D．已知，，P为上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；由题意得当时，有最小值，据此即可求解．
【详解】解：∵P为上一动点，
∴当时，有最小值，如图所示：
由题意得：是的角平分线，
∵，
∴
故答案为：
地 城
考点06
角平分线、线段的垂直平分线
1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，是的角平分线．若，，的面积为，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键；
作于，根据角平分线的性质可得，再利用计算求解即可．
【详解】解：作于，
平分，，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴；
故答案为：
2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为E，若，，则的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，根据角平分线点性质，得到，再根据三角形的面积公式，进行求解即可．掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
【详解】解：过点作，
∵是的角平分线，，
∴，
∴，
∴；
故选D．
3．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图在中，的垂直平分线分别交、于点、点，连接．若，的周长为，则的周长为 ．

【答案】26
【分析】此题考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等解答．根据线段垂直平分线性质求出，求出的周长即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长为：
，
故答案为：．
4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ）
A．的平分线上B．边的高上
C．边的垂直平分线上D．边的中线上
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等在角平分线上是解题的关键．作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案．
【详解】解：作射线，
由题意得，，，，
平分，
故选A．
5．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知的平分线与BC的垂直平分线相交于点，垂足分别为、，则（ ）
A．6B．3C．2D．1.5
【答案】B
【分析】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键．
连接、，由的平分线与的垂直平分线相较于点D，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，从而得到，可证的，则可得，即可得到结果．
【详解】连接、，
是的平分线，，，
，，
，
是的垂直平分线，
，
在和中
，
，
，，
．
故选：B
地 城
考点07
网格问题
1．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据网格特点，可得出，进而可求解．
【详解】解：如图，
由图可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选C．
2．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则 ．
【答案】/131度
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，如图，证明，得到，根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解，
【详解】解：如图，
由图可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
地 城
考点08
第1章三角形的综合应用
1．（24-25八年级上·浙江·期末）有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（ ）
A．个B．个C．个或个D．个
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角的概念求出三角形的总数，再根据直角三角形和钝角三角形的个数，即可求解．
【详解】解：∵这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角，
∴共有个三角形，且有个直角三角形，个钝角三角形，
∴有个锐角三角形，
故选：B．
2．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
【答案】C
【分析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键．
【详解】解：在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形，
故选C．
3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在数学活动课上，小沐同学画了两个三角形，它们面积之间的关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，熟练掌握利用三角形的中线解决面积计算问题的方法是解题的关键：三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形，因此分得的两个三角形面积相等，利用这一特点可以求解有关的面积问题．
由于，因此可将边与边重合，即点与点重合，点与点重合，则，即点、、在同一条直线上，再结合，可得为的边上的中线，由与等底同高即可得出答案．
【详解】解：，
将边与边重合，即：点与点重合，点与点重合，如图所示：
则，
即：点、、在同一条直线上，
，
，
即：为的边上的中线，
与等底同高，
两个三角形面积相等，
即：，
故选：．
4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知三角形的三边长分别为，有以下4个命题：
（1）以为边长的三角形一定存在．
（2）以为边长的三角形一定存在．
（3）以为边长的三角形一定存在．
（4）以为边长的三角形一定存在．
以上命题正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形，考查转化能力，根据已知条件，结合三角形的性质，以及不等式的性质，即可依次求解．
【详解】解：不妨设，
则，
对于（1），，
则，
故以为边长的三角形一定存在，故（1）正确，
对于（2），，
所以，以为边长的三角形一定存在，故（2）正确；
对于（3），令，满足，但，
故以为边长的三角形不一定存在，故（3）错误，
对于（4），，
所以，以为边长的三角形一定存在，故（4）正确．
故选：C．
5．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，正方形和正方形的顶点、、、、在长方形的边上．已知，，则长方形的面积为（ ）
A．320B．480C．640D．800
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，先证，得出，，同理可证，得出，，设，，表示、、、的长，得到，，解方程组即可，从而求出长方形的面积．
【详解】解：过点作于点，
四边形是正方形
，
四边形是长方形
，，
在和中
，
同理可证
，
设，
，
，
，即
，，
，即
联立①②，解得：，
，
故选：C．
6．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则的长为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，由全等三角形的性质得到，进而证明，则垂直平分线，可得，再利用正方形的面积计算公式即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
又∵，
∴垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
地 城
考点09
新定义题；动态几何题
1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“三倍角三角形”．若是“三倍角三角形”，且，则中最小内角的度数为
【答案】或
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，分类思想的应用，掌握以上知识是解题的关键．
由是“三倍角三角形”，且，不妨设，再分三种情况讨论，当时，当时，当时，再结合三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：∵是“三倍角三角形”，且，不妨设，
当时，则，
，
当时，
，
，
，
当时，则，不合题意舍去，
综上：是“三倍角三角形”，中最小内角的度数为或．
故答案为：或．
2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，点D在上，连接，将沿对折得到，点E恰好在上，若，则 ．
【答案】/55度
【分析】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，根据折痕是角平分线，求出的度数，进而求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵将沿对折得到，
∴，
∴；
故答案为：．
3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，P、Q分别为边上两个动点，在运动过程中始终保持，连接和，当值达到最小时，的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，
此时，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点H是的中点，
∴，
∴点P与点H重合，
∴，
∴，
故答案为：1．
地 城
考点10
解答题
1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，，求证：．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由已知条件即可得出，再根据证明，由全等三角形的性质即可得出．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴．
2．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知．
(1)与是否全等？说明理由；
(2)如果，求的度数．
【答案】(1)与全等，理由见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：
（1）利用证明与全等即可；
（2）根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】（1）解：与全等，理由如下：
，
，
即，
在与中，
，
；
（2）由（1）可知，，
，
．
3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，已知．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质求出，利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质求出，再根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
∴．
4．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线．

(1)若，求的度数．
(2)若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线定义、三角形的高等知识点，结合图形分析清楚各角之间的关系是解答的关键．
（1）由高线可得，再由三角形的内角和可求得，利用角平分线的定义可求得，从而可求的度数；
（2）参照（1）的解答过程求解即可．
【详解】（1）解：∵是的高线，
∴，
∵，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
（2）解：∵是的高线，
∴，
∵，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）尺规作图问题：
已知：，求作：的平分线．
小聪的作法：如图1，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点．连接，交于点，画射线，则射线即为所求．
小慧的作法：如图2，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，在上任取一点，再以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，交于点，画射线，则射线即为所求．
老师的观点：小聪的作法是正确的，小慧的作法不一定是正确的．
(1)如图1，证明平分；
(2)如图2，说明小慧的作法中可能存在的问题．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据作图过程，先证明，然后结合，，证明，然后运用证明，即可作答．
（2）认真分析题干小慧的作法，得出以点C为圆心，长为半径画弧，交于点F，可能有两个交点F，，得到的或，即可作答．
【详解】（1）解：由作图步骤可知，，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴平分；
（2）解：如图所示：
依题意，小慧的作法中，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点F，可能有两个交点F，，得到的或，
故不能证明．
6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，作分别交于于点，延长至点，连接，使得，若，

(1)求证：；
(2)若平分，且，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)，
【分析】（1）利用平行线的性质得出，然后利用证明 ，即可证明．
（2）设，则，利用平行线的性质得出，再由角平分线的性质得出，由三角形外角定理得出，再由三角形内角和定理求得，进一步即可求出的度数．
【详解】（1）证明：∵
∴，
在和中，
∴，
∴
（2）设，则，
∵
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定以及性质，角平分线的性质，三角形内角和定理以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定和三角形的外角性质是解题的关键．
7．（24-25八年级上·浙江·期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形重要的3个线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于一点．
（1）①如图1，在中，，则三条高线所在的直线交于点___________
②如图2，在中，，已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺做出的第三条高（不写做法，保留作图痕迹）
【综合应用】
（2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E
①若，，则___________
②请写出于之间的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，如果两个三角形的高形同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是上的一点，则有．如图5，中，M是上一点， ，N是中点．若的面积是m，请直接写出四边形的面积___________．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）①A；见解析；（2）①25；，见解析；（3）
【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键．
（1）根据三角形的3条高所在直线交于一点，即可求解；
（2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义，即可求解；
（3）根据高相等两个三角形，面积比等于对应底边的比，结合，N是中点，即可求解．
【详解】解：（1）①A；
②如图，即为所求．
（2）①中，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：25；
②与之间的数量关系为，
理由如下：
，
，
,
．
（3）如图，连接，
N是中点，
设，
，
，
，
，
解得．
故答案为：．