福建省多校2025-2026学年高三上学期12月联考数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份福建省多校2025-2026学年高三上学期12月联考数学试卷含解析（word版+pdf版），文件包含福建省多校2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题与解析docx、福建金太阳2026届高三上学期12月联考数学试卷pdf、福建金太阳2026届高三上学期12月联考数学答案pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 ,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
2.若复数 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ,所以 .
3.在等差数列 中, ,则
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】A
【解析】由等差数列的性质可知 ,则 .
4.某校期中考试的数学成绩 (满分: 150 分) 服从正态分布 ,若 115) ,则
A. 75 B. 80 C. 90 D. 95
【答案】C
【解析】因为 ,所以 ,则 .
5.某品牌酒产自福建省南平市. 一般来说,年份越久的该品牌酒,其收藏价值越高. 已知一箱原价 800 元的该品牌酒，储存 年后的收藏价值 (单位:元)满足函数关系式 . 若储存 6 年的此种品牌酒整箱的收藏价值为 1200 元,则此种品牌酒储存 12 年后整箱的收藏价值为
A. 1600 元 B. 1800 元 C. 2400 元 D. 2800 元
【答案】B
【解析】由题意可得 ,即 ,所以此种品牌酒储存 12 年后整箱的收藏价值为 元.
6.已知递增的等比数列 满足 ,则 的公比
A. 6 B. 3 C. 2D.
【答案】B
【解析】由 ,解得 或 因为 是递增数列,所以 则 (负根舍去).
7.已知抛物线 的焦点为 ,过 的直线与该抛物线交于 两点,记直线 为坐标原点) 的斜率分别为 ,若 ,则
A. 148 B. 150 C. 152 D. 154
【答案】A
【解析】设 ,则 ,则 ,直线 的斜率 . 由题可知 ,所以直线 的方程为 -1),代入 ,得 ,得 .
8.函数 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点,则 的取值范围是
A. B, C. D.
【答案】B
【解析】因为 ,所以 ,所以 ,所以 因为 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点,所以 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知双曲线 的焦距为 4,则下列条件能使 的方程为 的是
A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为
C. 的实轴长为 D. 是 上的点
【答案】AD
【解析】由题可知 . 若 的离心率为 ，则 ，得 的方程为 符合题意. 若 的渐近线方程为 ,则 ,得 的方程为 不符合题意. 若 的实轴长为 ,则 ,
的方程为 不符合题意. 若 是 上的点,则 ,又 4，所以 ， ，则 的方程为 ，D 符合题意.
10.如图,这是某十字路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口 的机动车辆数如图所示,例如:路口 中的数字 “55”表示单位时间驶入路口 的机动车辆数，数字“50”表示单位时间驶出路口 的机动车辆数. 图中 分别表示该时段单位时间通过路段 的机动车辆数(假设单位时间内，在上述路段中, 同一路段上驶人与驶出的车辆数相等), 则
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】由题意可得 则 .
11.如图,在棱长为 2 的正方体 中, 分别是线段 上的动点 (不含端点),且 ,则下列结论正确的是
A.
B. 三棱锥 体积的最大值为
C. 若 ,则三棱锥 外接球的表面积为
D. 存在 ，使得 平面
【答案】ABD
【解析】以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,则 , , ,则 正确. 三棱锥 的体积 正确. 当 时, 分别是线段 的中点,取 的中点 ,连接 (图略),易得 ，则三棱锥 - 外接球的半径为 1，表面积为 ， 不正确. 连接 (图略). 由图可知平面 的一个法向量为 . 由 平面 , 可得 ,解得 ,此时 分别是线段 的中点,则 平面 ,从而 平面 , D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.若向量 ，且 ，则 ________.
【答案】
【解析】由题意可得 ,则 ,解得 .
13.甲、乙、丙三名毕业生到 A, B, C三个公司实习, 假设每名毕业生都要去实习, 且到 A, B, C三个公司实习的概率相等,则恰有两名毕业生到 A 公司实习的概率是_______.
【答案】
【解析】由题意可得所求概率 .
14.若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为________.
【答案】
【解析】因为对任意的 ,不等式 恒成立,所以 恒成立. 令函数 ,易得 在 上单调递增,则 ,则 又 ,所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长 .
【解析】(1) 因为 ,所以 ,则 ,即
又 ,所以 ,解得 .
(2)因为 的面积为 ，所以 .
又 ,所以 ,
则 ,解得 ,
所以 的周长为 .
16.某汽车厂商为研究新能源汽车的电池类型与用户满意情况的关联性, 以及某新能源汽车续航里程 (单位:百千米) 与充电频率 (单位:次/月) 的关系，收集了 200 位用户的调研数据，得到如下表格:
表 1 单位:人
表 2
(1)根据小概率值 的独立性检验，分析新能源汽车的电池类型与用户满意情况是否有关；
(2)根据表 2 中的数据建立该新能源汽车的充电频率关于续航里程的一元线性经验回归方程.
参考公式: ，其中 ；
参考数据:
【解析】(1)零假设为 :新能源汽车的电池类型与用户满意情况无关.
根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,即认为新能源汽车的电池类型与用户满意情况有关, 此推断犯错误的概率不大于 0.005 . 7 分
(2)由题意可得 ,
则 ,
从而 ,
故该新能源汽车的充电频率关于续航里程的经验回归方程为 .
17.如图，在四棱锥 中，四边形 是梯形， 是棱 的中点.
(1)证明: 平面 .
(2)求二面角 的正弦值.
【解析】
( 1 )证明:因为 ，所以 .
因为 平面 平面 ,且 ,所以 平面 . 因为 平面 ,所以 .
因为 ，所以 .
因为 ,所以 .
因为 ,所以 ,所以 ,所以 .
因为 平面 平面 ,且 ,所以 平面 .
(2)解:由(1)可知 两两垂直，则以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设 ,则 ,
故 .
设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得 .
设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得 .
设二面角 为 ,则 ,
故 ,即二面角 的正弦值为 .
18.已知椭圆 的离心率为 的左顶点为 ，上、下顶点分别为 .
(1)求 的方程.
(2)记 为坐标原点，设 是 上异于顶点的一个动点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 .
( i )记 的面积为 ， 的面积为 ，证明: .
(ii) 若点 在 外接圆的圆外,求点 的纵坐标的取值范围.
【解析】(1)解:由题可知 解得
则 的方程为 .
(2)(i)证明:由(1)可得 . 设直线 的方程为 ，
则 .
由 可得 ,
则 ,
则 ,
则直线 的方程为 ,则 .
又 ,
,
所以 .
(ii)解:记 外接圆的圆心为 .
因为 ,所以 为线段 的中点,则 .
因为点 在 外接圆的圆外,所以 ,
则 ,
则 ,
解得 .
因为 ,由 ,可得 ,
所以 ,故点 的纵坐标的取值范围为 .
19.已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线与在 处的切线的倾斜角互补，求 的值.
(2)设 是 的三个零点.
(1)求 的取值范围；
( 1 )证明: .
【解析】(1) 所以
则 .
因为曲线 在 处的切线与在 处的切线的倾斜角互补,所以
解得 .
(2)(i)令 ，则 . 5 分令 ,则
所以
则 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
又 有三个零点,所以 的取值范围为 .
(ii) 证明: 由 (i) 可知 .
下面证明: .
①要证明 ，只需证明 .
又 ,即证 ,所以上式等价于证明 .
由 ,得 ,则 ,
所以只需证明 ,即证 .
令 ,则 ,上式等价于证明 .
令 ,则 .
因为 ,所以 恒成立,所以 在 上单调递增,
所以当 时, ,即 ,
所以原不等式成立,即 .
②要证明 ，只需证明 ，
由 (i) 知 ,则 .
因为 在 上单调递减,所以 成立.
综上, .电池类型
用户满意情况
合计
满意
不满意
A 类型电池
85
15
100
B类型电池
65
35
100
合计
150
50
200
续航里程
3
4
5
6
7
充电频率
17
13
10
8
7
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879