安徽省宣城市2024-2025学年上学期期末教学质量监测九年级数学试题

这是一份安徽省宣城市2024-2025学年上学期期末教学质量监测九年级数学试题，共31页。试卷主要包含了 抛物线向左平移2个单位后过点等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝，则 csB 的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线向左平移2个单位后过点（，），则的值为（ ）
A. 4B. 3C. -2D. -1
4. 已知二次函数，则下列说法正确是（ ）
A. 函数图象的顶点坐标是B. 当时y随x的增大而增大
C. 当时，函数有最小值是4D. 函数图象与x轴有两个交点
5. 如图，点D在的边上，添加下列条件后不能判定与相似的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A. （3，2）B. （3，1）C. （2，2）D. （4，2）
7. 如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长是（ ）
A. B. C. 2D.
8. 如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上点D处（不与B、C重合），折痕为．若，，的长是（ ）
A. B. C. 2D.
9. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且)的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在边长为6的正方形中，，连接交于点M，G，H分别是，的中点，连接并延长，交边于点N．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若，则的值是_______．
12. 如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点A， B，C都在格点上，那么的值为_______．
13. 当，函数最小值为2，则m的值为_______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数、一次函数的交点，已知．在线段上取一点C，过C点作直线l 平行x轴，交反比例函数于点D，连接、．
（1）_______；
（2）记的面积为，则最大值为_______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点均为格点（网格线的交点）．

（1）在给定的网格中，以点为位似中心，将线段放大为原来的2倍，得到线段（点的对应点分别为），画出线段；
（2）以线段为一边，画一个格点四边形，使得格点四边形是菱形．（作出一个菱形即可）
四、本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长．
18. 周末爬敬亭山是宣城市民的娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．上个周末小明同学从敬亭山西坡B处沿坡角为的山坡爬了350米到达E处，紧接着又沿坡角为的山坡爬了152米到达山顶A处，请计算敬亭山的高度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：，，，，）
五、（本大题共2小题每小题10分，满分20分）
19. 如图，已知一次函数与反比例函数的图像在第一、三象限分别交于，两点，连接．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出时x取值范围．
20. 如图，在中，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒．
（1）为何值时，；
（2）是否存在某一时刻，使，若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
六、本题满分12分）
21. 某商店销售一种进价60元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：
（1）求销售量y关于售价x的函数关系式．
（2）①设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
②若规定售价高于进价且不超过进价的1.5倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
七、（本题满分12分）
22. 如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，．
（1）求证：；
（2）如果．
①求的长；
②若，求的长．
八、（本题满分14分）
23. 已知二次函数．
（1）若二次函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式；
（2）若二次函数的顶点在x轴上时，求的最小值；
（3）在（1）的条件下，直线l经过，两点，且在时，直线l与的图象只有一个交点，求t的取值范围．售价x/（元/件）
80
100
销售量y/件
100
60
2024—2025学年度第一学期期末教学质量监测
九年级数学试题
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象，根据该反比例函数的图象位于第一、第三象限可得，求解即可解答．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限，
∴，
∴．
故选：B．
2. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝，则 csB 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：根据锐角三角函数的概念得：
sinA=，csB==sinA=.
故选：C.
3. 抛物线向左平移2个单位后过点（，），则的值为（ ）
A. 4B. 3C. -2D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】根据向左平移横坐标减，求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后写出抛物线顶点式，再将经过的点（，）代入解方程组即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，0），
∴向左平移2个单位后抛物线的顶点坐标为（-2，0），
∴平移后的抛物线的解析式为，
∵平移后过点（，），
∴，
解得，
故选A.
【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
4. 已知二次函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数图象的顶点坐标是B. 当时y随x的增大而增大
C. 当时，函数有最小值是4D. 函数图象与x轴有两个交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，将该二次函数化为顶点式，根据二次函数的图象及性质即可判断选项A，B，C；令，则，根据根的判别式可判断选项D．
【详解】解：二次函数，
A、该二次函数的图象的顶点为1,4，故本选项的说法错误；
B、∵二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小．故本选项的说法错误；
C、∵二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
∴当时，函数有最大值是4．故本选项的说法错误；
D、令，则
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴该函数图象与x轴有两个交点．故本选项的说法正确．
故选：D
5. 如图，点D在的边上，添加下列条件后不能判定与相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定，由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得选项A，选项B的条件都能判定与相似；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得选项D的条件都能判定与相似，即可解答．
【详解】解：∵是公共角，
∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故添加选项A，选项B的条件都能判定与相似；
当时，不是夹角，故不能判定与相似，符合题意；
当时，，则（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故选项D的条件都能判定与相似．
故选：C．
6. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A. （3，2）B. （3，1）C. （2，2）D. （4，2）
【答案】A
【解析】
【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴=，
∵BG=6，
∴AD=BC=2，
∵AD//BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴=，
∴=，
解得：OA=1，
∴OB=3，
∴C点坐标为：（3，2），
故选：A．
7. 如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键．
先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出，过点作于点，根据锐角三角函数值得到，，由即可求出，进而根据勾股定理可求出，即可解答．
【详解】解：在中，，，，
∴ ，
，
过点作于点，如图，
∴，
∵，，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
8. 如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为．若，，的长是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
证明，得到，根据折叠的性质可求得，，进而即可解答．
【详解】解：∵将等边三角形折叠，使点A落在边上点D处，
∴，，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴．
故选：B．
9. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且)的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象判断两个值，函数的图象是否正确即可得到答案．
【详解】解：A、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，但根据，得抛物线的对称轴应在轴的右侧，与图象不符，故该选项不符合题意；
B、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中m>0，故该选项不符合题意；
C、根据函数图象可知：一次函数解析式中m>0，二次函数解析式中m>0，两者符号相同，但根据，得抛物线的对称轴应在轴的左侧，与图象不符，故该选项不符合题意；
D、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，根据，得抛物线的对称轴应在轴的右侧，与图象相符，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查一次函数与二次函数的图象性质，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函数图象是解题的关键．
10. 如图，在边长为6的正方形中，，连接交于点M，G，H分别是，的中点，连接并延长，交边于点N．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明可判断①②；连接并延长交于点，连接，利用中位线的性质可得，延长交的延长线于点，求得和的长度，利用等高不同底的三角形面积比等于底边之比，可判断④，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，故②正确；
如图，连接并延长交于点，连接，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
点分别是的中点，
，故③正确；
如图，延长交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
可得，
，
，
，故④正确，
故正确的为：①②③④，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若，则的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，根据题意设，，再代入中化简求解，即可解题．
【详解】解：，
，
设，，
则；
故答案为：．
12. 如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点A， B，C都在格点上，那么的值为_______．
【答案】##0.8
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的性质．设小正方形的边长为a，则
，，，过点B作于点D，根据等腰三角形的“三线合一”得到，从而用勾股定理求出，过点C作于点E，利用的面积求出，根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：设小正方形的边长为a，则
，，，
过点B作于点D，
∵，
∴，
∴在中，，
过点C作于点E，
∴
∴，
∴，
∴．
故答案为：
13. 当，函数的最小值为2，则m的值为_______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数解析式得到二次函数开口向上，在时取得最小值−2，再结合二次函数最值情况进行求解，即可解题．
详解】解：，
，
二次函数开口向上，在时取得最小值−2，
当，函数的最小值为2，
当时，，解得或（不合题意，舍去），
当时，，解得或（不合题意，舍去），
综上所述，m的值为或．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数、一次函数的交点，已知．在线段上取一点C，过C点作直线l 平行x轴，交反比例函数于点D，连接、．
（1）_______；
（2）记的面积为，则最大值为_______．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，坐标与图形．
（1）将代入，即可解答；
（2）设，则，根据点C在线段上得到，由，高，得到，根据二次函数的性质即可解答．
【详解】解：（1）∵反比例函数的图象过点，
∴，解得．
故答案为：4
（2）∵一次函数的图象过点，
∴，解得，
∴一次函数解析式为
由（1）得，
∴反比例函数解析式为．
解方程组得，，
∴
设，则，
∵点C是线段上的点，
∴
∵，高，
∴，
∵，
∴，
∴
∴的最大值为．
故答案为：
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值代入求值即可．
【详解】解：
．
16. 如图，在由边长为1个单位长度小正方形组成的网格中，已知点均为格点（网格线的交点）．

（1）在给定的网格中，以点为位似中心，将线段放大为原来的2倍，得到线段（点的对应点分别为），画出线段；
（2）以线段为一边，画一个格点四边形，使得格点四边形是菱形．（作出一个菱形即可）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图−位似变换等知识．
（1）连接，并延长到，使得，同法作出点，连接即可；
（2）以为边构造菱形即可．
【小问1详解】
解：如图所示，线段即为所求．
；
【小问2详解】
解：如图所示，四边形即为所求．（答案不唯一）
四、本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了三线合一定理，平行线分线段成比例定理，先由三线合一定理得到，再由平行线分线段成比例定理得到，，同理得到，则，则，据此可得答案．
【详解】解：，，
，
又，
，
，
，，
，
，
，即．
解得，．
18. 周末爬敬亭山是宣城市民的娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．上个周末小明同学从敬亭山西坡B处沿坡角为的山坡爬了350米到达E处，紧接着又沿坡角为的山坡爬了152米到达山顶A处，请计算敬亭山的高度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：，，，，）
【答案】敬亭山的高度约为316米
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中的坡度坡角问题．过点A作于，过点作于，于，根据正弦的定义可以分别求出和的长，然后结合矩形的对边相等即可得到答案．
【详解】解：过点A作于，过点作于，于，则四边形为矩形，
，
在中，，
则（米），
在中，，
则（米），
∴米
（米），
答：敬亭山的高度约为316米．
五、（本大题共2小题每小题10分，满分20分）
19. 如图，已知一次函数与反比例函数的图像在第一、三象限分别交于，两点，连接．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出时x的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）把A代入反比例函数可求得m，即可得到反比例函数的解析式，再将代入可求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可；
（3）根据图像得到一次函数图像在反比例函数图像上方的x取值范围即可．
【小问1详解】
解：把代入反比例函数，解得：，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图像上，
∴，解得：，
∴，
∵一次函数的图像经过A和B，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为．
【小问2详解】
解：∵一次函数的解析式为，
∴令，解得：，即一次函数图像与x轴交点，
∵，，
∴．
【小问3详解】
解：如图：∵，，
∴根据函数图像可得：x的取值范围为或．
【点睛】本题是主要考查了一次函数与反比例函数交点问题、待定系数法求函数解析式等知识点，正确确定反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键．
20. 如图，在中，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒．
（1）为何值时，；
（2）是否存在某一时刻，使，若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）当时，
（2）存在，
【解析】
【分析】（）由题可得，，，，若，则有，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（）由得，要使，只需，据此即可求解；
本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意得，，，
∵，，
∴，，
若，则有，
∴，
即，
解得，
∴当时，；
【小问2详解】
解：存在．
∵，
∴，
要使，只需，
即，
解得，
∴．
六、本题满分12分）
21. 某商店销售一种进价60元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：
（1）求销售量y关于售价x的函数关系式．
（2）①设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
②若规定售价高于进价且不超过进价的1.5倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）①；②W有最大值．最大值为2400
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键．
（1）设，待定系数法求函数解析式即可；
（2）①利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数解析式；②利用二次函数的性质，求最值即可．
【小问1详解】
解：设销售量y关于售价x的函数关系式为．
根据题意，得
解得：，
销售量y关于售价x的函数关系式为：．
【小问2详解】
解：①由（1）知每天的销售量．
∵商品进价为60元/件，
∴W与x之间的函数关系式为
即；
②∵．
∴，
∴．
∵．
∴当时．W有最大值．最大值为2400．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，．
（1）求证：；
（2）如果．
①求的长；
②若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是根据平行四边形得到相似三角形的条件．
（1）根据平行四边形的性质，知道，，结合，先证明，然后根据相似三角形对应边成比例，得证；
（2）①先证明，得到，再证明，得到，解得的长度，最后利用即可求得的长度；
②通过平行线分线段成比例，，算得的长度，再通过，得到，从而算得的长度．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
．
，即；
【小问2详解】
解：①，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，，
，
，
，
解得：（舍去负值），
；
②，
，
，
，
，
，
，，
，
．
八、（本题满分14分）
23. 已知二次函数．
（1）若二次函数的图象经过，两点，求此二次函数的解析式；
（2）若二次函数的顶点在x轴上时，求的最小值；
（3）在（1）的条件下，直线l经过，两点，且在时，直线l与的图象只有一个交点，求t的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，直线与抛物线的交点．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的的顶点在x轴上得到，从而，根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据题意求出由直线l与函数的图象在点和之间（包含这两个端点）有一个交点，作出图象，分别求出直线l过点或时t的值，或者直线l过二次函数图象顶点时t的值，即可解答．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过，两点，
∴，解得，
∴该二次函数的解析式为．
【小问2详解】
解：二次函数的顶点为，即，
∵该顶点在x轴上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最小值．
【小问3详解】
解：由（1）得，，
∵，
当时，，
当时，，
∴函数的图象在点和之间（包含这两个端点），
设直线l的解析式为，
当直线l经过点时，
把点，代入函数，
∴，解得，
∴直线l的解析式为，
∵点在直线l上，
∴；
当直线l经过点时，
把点，代入函数，
∴，解得，
∴直线l的解析式为，
∵点在直线l上，
∴；
当直线l经过点二次函数图象的顶点时，
∵直线l过点，
∴直线轴，
∴；
综上所述，直线l与的图象只有一个交点，求t的取值范围为或．售价x/（元/件）
80
100
销售量y/件
100
60