安徽省宿州市埇桥区教育集团2024—2025学年度第一学期期末质量检测九年级数学试卷

这是一份安徽省宿州市埇桥区教育集团2024—2025学年度第一学期期末质量检测九年级数学试卷，共30页。试卷主要包含了的值为，如图，为矩形的对角线，已知，等内容，欢迎下载使用。
本卷共八大题计23小题满分150分
一.选择题：(本大题共10题，每小题4分，满分40分)
1．的值为（ ）
A．B．C．D．
2．由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
4．若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A． B．C．或D．无法确定
5．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，给出的四个条件①AB=BC；②∠ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD，从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）．
A．9mB．10mC．11mD．12m
8．如图所示，已知抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线x=1，下列结论错误的是（ ）

A．B．
C．当时，的取值范围是 D．
9．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．∠DCF＝∠DFCD．
10．如图，为矩形的对角线，已知，．点P沿折线以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作于点E，则的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分)
11．若是锐角，且，则锐角的度数为 ．
12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图像经过点C，E．若点，则k的值是 ．
14．已知直线经过抛物线的顶点，且当时，，
则 = 1 \* GB2 ⑴a与b的关系是 ；
= 2 \* GB2 ⑵当时，x的取值范围是 ．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：
16．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到）
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．在中，，是边上的高，，求和．
18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中：
(1)将先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到；
(2)以图中的点O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象经过点、点，顶点为．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求的正切值．
20．如图，一艘渔船在海面上航行，准备要停靠到渔港C，渔船航行到A处时，测得渔港C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘渔船调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东67°方向航行30海里到达渔港C．求的距离．（结果精确到0.1海里．参考数据：（，，，）
六、(本题满分12分)
21．某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：

请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
(1)在调查活动中，教育局采取的调查方式是___________（填写“普查”或“抽样调查”）；
(2)教育局抽取的初中生有___________人，扇形统计图中m的值是___________；
(3)已知平均每天完成作业时长在“”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是___________；
(4)若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有___________人．
七、(本题满分12分)
22．如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．
八、(本题满分14分)
23.如图1，点是四边形边上一动点.且，，过点作交的延长线于点，连接，.
(1)求证:；
(2)如图2,连接交于点.
①若.求证:；
②若.求的值.
安徽省宿州市埇桥区教育集团2024—2025学年度第一学期期末质量检测
九年级数学试卷
本卷共八大题计23小题满分150分
一.选择题：(本大题共10题，每小题4分，满分40分)
1．的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【详解】解：．
故选：B．
2．由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找到从左边向右边看的图形即可．
【详解】解：从左边向右边看，一个长方形里面有一条线段，且为实线，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左边向右边看的视图．
3．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】先根据反比例函数的性质得出k+1＞0，再解不等式即可得出结果．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴k+1＞0，
解得k>-1．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
4．若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A． B．C．或D．无法确定
【答案】B
【分析】把代入求解，注意的取值范围．
【详解】解：把代入得，
解得或，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为．
5．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，在网格中判断直角三角形，求角的余弦值等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
取格点D，连接，利用勾股定理可求得AD、、CD的长，然后根据勾股定理的逆定理可证得，进而根据余弦的定义，即可求解．
【详解】解：如图，取格点D，连接，
根据题意得：，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6．平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，给出的四个条件①AB=BC；②∠ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD，从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先确定组合的总数，再确定能判定是正方形的组合数，根据概率公式计算即可．
【详解】一共有①②，①③，①④，②③，②④；③④6种组合数，
其中能判定四边形是正方形有①②，①③，②④，③④4种组合数，
所以能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是，
故选D．
【点睛】本题考查了概率公式计算，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．
7．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）．
A．9mB．10mC．11mD．12m
【答案】A
【分析】设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入求出a、k的值即可．
【详解】解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，
∴当x＝2时，y＝9，
即AD＝9m，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题关键是用待定系数法求出函数的解析式．
8．如图所示，已知抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线x=1，下列结论错误的是（ ）

A．B．
C．当时，的取值范围是 D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上，可得，，再根据对称轴可得，即可判断；由抛物线与轴由两个的交点可判断；由对称轴和抛物线与轴的一个交点坐标为，可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，又由图象可知时，抛物线位于轴上方，，据此可判断；由对称轴可判断，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上，
∴，，
∵对称轴为直线x=1，
∴，
∴，
∴，故正确，不符合题意；
∵抛物线与轴由两个的交点，
∴，故正确，不合题意；
∵对称轴为直线x=1，与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∵时，抛物线位于轴上方，
∴当时，，故错误，符合题意；
∵，
∴，故正确，不合题意；
故选：C．
9．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．∠DCF＝∠DFCD．
【答案】B
【分析】由△AEF∽△CBF，可得，故A正确，不符合题意；
由三角形的中线的性质可得S△AEF＝S△ADF＝S△CDF，故B错误，符合题意；
过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM＝DE＝BC，得到CN＝NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故C正确，不符合题意；
由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D正确，不符合题意．
【详解】解：A、∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵点E是矩形ABCD的边AD的中点
∴AE＝AD＝BC，
∴AF＝FC，故A正确，不符合题意；
B、∵AF＝FC，
∴S△AFD＝S△CDF，
∵AE＝DE
∴S△AEF＝S△ADF＝S△CDF，
故B错误，符合题意；
C、过D作DM∥BE交AC于N，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF＝DC，
∴∠DCF＝∠DFC，故C正确，不符合题意；
D、设AD＝a，AB＝b，由△BAE∽△ADC，有．
∴b＝a
∵tan∠CAD＝，故D正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质、三角形中线的性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定及性质等知识点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.
10．如图，为矩形的对角线，已知，．点P沿折线以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作于点E，则的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据矩形的性质、勾股定理可得，再分和两种情况，解直角三角形分别求出的长，利用直角三角形的面积公式可得与间的函数关系式，由此即可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，，，
，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）当点在上，即时，
在中，，
在中，，，
，
；
（2）如图，当点在上，即时，
四边形是矩形，，
四边形是矩形，
，
，
综上，与间的函数关系式为，
观察四个选项可知，只有选项C的图象符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、二次函数与一次函数的图象，正确分两种情况讨论是解题关键．
二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分)
11．11．若是锐角，且，则锐角的度数为 ．
【答案】
【分析】此题考查了实数的运算和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．由已知求出的度数．
【详解】∵为锐角，且，
．
12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图像经过点C，E．若点，则k的值是 ．
【答案】4
【分析】作CF垂直y轴， 设点B的坐标为(0，a)，可证明（AAS），得到CF=OB=a，BF=AO=3，可得C点坐标，因为E为正方形对称线交点，所以E为AC中点，可得E点坐标，将点C、E的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值．
【详解】作CF垂直y轴于点F，如图，设点B的坐标为(0，a)，
∵四边形是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠OBA+∠OAB=∠OBA+∠FBC=90°
∴∠OAB=∠FBC
在△BFC和△AOB中
∴
∴BF=AO=3，CF=OB=a
∴OF=OB+BF=3+a
∴点C的坐标为(a，3+a)
∵点E是正方形对角线交点，
∴点E是AC中点，
∴点E的坐标为
∵反比例函数的图象经过点C，E
∴
解得：k=4
故答案为：4
【点睛】本题考查了反比例函数与图形的综合应用，巧用正方形的性质求C、E点的坐标是解题的关键．
14．已知直线经过抛物线的顶点，且当时，，
则 = 1 \* GB2 ⑴a与b的关系是 ；
= 2 \* GB2 ⑵当时，x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由，则该直线过点，则抛物线和x轴的交点为和，结合当时，，得到抛物线和直线的大致图象，进而求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
将代入并整理得：，
，
由，则该直线过点，
则抛物线和x轴的交点为和，结合当时，，
则抛物线和直线的大致图象如下图所示，
结合函数图象知，当时，，
∴x的取值范围是：，
故答案为：①②
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式，涉及到二次函数和一次函数的性质，画出函数大致图象是本题解题的关键．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：
【答案】
【分析】根据二次根式的性质、零指数幂的意义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义计算即可；
【详解】原式=
=；
=
=
16．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求该函数的表达式；
(2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，应用反比例函数解决实际问题，理解气压和气球体积的关系是解题的关键．
（1）设反比例函数关系式，再将点A的坐标代入即可得出答案；
（2）将代入关系式，求出解，再判断即可．
【详解】（1）设，
将代入，得，解得，
∴所求函数的表达式为；
（2）∵，
∴在第一象限内，p随V的增大而减小．
当时，．
∴为了安全起见，气体的体积应不小于．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．在中，，是边上的高，，求和．
【答案】，；
【分析】利用勾股定理求解 再求解 再利用勾股定理求解 由的正弦等于对边比斜边可得答案.
【详解】解：如图，，是边上的高，，


；
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，锐角的正弦的定义，掌握“锐角的正弦等于这个锐角的对边比斜边”是解题的关键.
18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中：
(1)将先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到；
(2)以图中的点O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）把A、B、C三点先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到A1，B1，C1，顺次连接得到的各点即可；
（2）延长OA1到A2，使0A2=20A1，同法得到其余各点，顺次连接即可．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（3，0）、点B（0，3），顶点为M．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求∠OBM的正切值．
【答案】(1)y=x2﹣4x+3；（2）
【分析】（1）先把A、B两点的坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）作MH⊥y轴于H，如图，先把抛物线解析式配成顶点式得到M点坐标，然后根据正切的定义求∠HBM的正切值即可．
【详解】（1）把A（3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c得：，
解得：，
所以y=x2﹣4x+3；
（2）作MH⊥y轴于H，如图，
∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴M（2，﹣1）．
∵MH⊥y轴，∴H（0，﹣1）．
在Rt△BMH中，tan∠HBM==，即∠OBM的正切值为．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和解直角三角形．
20．如图，一艘渔船在海面上航行，准备要停靠到渔港C，渔船航行到A处时，测得渔港C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘渔船调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东67°方向航行30海里到达渔港C．求的距离．（结果精确到0.1海里．参考数据：（，，，）
【答案】的距离约为海里
【分析】过B作于D，在中，利用正弦函数求得海里，海里，再在中，利用正切函数求出海里即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过B作于D，
由题意可知，，海里，
∴，
∴，
在中，，海里，
∴，
∴海里，海里，
在中，，
∴（海里），
∴（海里）
∴的距离约为海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
六、(本题满分12分)
21．某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：

请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
(1)在调查活动中，教育局采取的调查方式是___________（填写“普查”或“抽样调查”）；
(2)教育局抽取的初中生有___________人，扇形统计图中m的值是___________；
(3)已知平均每天完成作业时长在“”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是___________；
(4)若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有___________人．
【答案】(1)抽样调查；
(2)300，30
(3)
(4)3000
【分析】（1）根据题目中的“随机抽取几所学校部分初中生进行调查”可以判定是抽样调查；
（2）读图可得，A组有45人，占15%，即可求得总人数；用B组的人数除以总人数再乘100%即可得出答案；
（3）根据概率公式计算即可；
（4）由样本中平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生的比例乘以10000人即可；
【详解】（1）根据题目中的“随机抽取几所学校部分初中生进行调查”可以判定是抽样调查；
故答案为：抽样调查；
（2）教育局抽取的初中生人数为：（人）
B组人数为：
∴B组所占的百分比为：
∴
（3）∵9名初中生中有5名男生和4名女生，
∴从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，恰好抽到男生的概率是
（4）样本中平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生占比
∴该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有人．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解答本题的关键．
七、(本题满分12分)
22．如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】(1)
(2)2；P（-1，0）
【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；
（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可．
【详解】（1）解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，
顶点式为：，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，
由解得：，
∵P在线段AB上，
∴，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则
∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2．
【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
八、(本题满分14分)
23.如图1，点是四边形边上一动点.且，，过点作交的延长线于点，连接，.
(1)求证:；
(2)如图2,连接交于点.
①若.求证:；
②若.求的值.
【答案】(1)见解析; (2)①见解析; = 2 \* GB3 ②
【分析】(1)先证四边形是平行四边形，得，，进而可得
，，再证即可，
(2)①连接，先证四边形是平行四边形得，，再证四边形是平行四边形，然后证四边形是菱形即可，
②先证得再由得进而证得，则，然后求出即可.
【详解】(1)∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∴，
在和中，
∴
(2)①连接
∵
∴
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
∴
∵
∴
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形
∴
②∵
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
两边同时除以得：
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解得：或(舍去)
∴